Геодезическое отклонение - Geodesic deviation

В ОТО , геодезическое отклонение описывает тенденцию объектов захода на посадку или отступают друг от друга при перемещении под действием пространственно изменяющееся гравитационного поле . Другими словами, если два объекта приводятся в движение по двум изначально параллельным траекториям, присутствие приливной гравитационной силы заставит траектории изгибаться друг к другу или от них, создавая относительное ускорение между объектами.

Математически приливная сила в общей теории относительности описывается тензором кривизны Римана , а траектория объекта, находящегося исключительно под действием силы тяжести, называется геодезической . Уравнение геодезического отклонения связывает тензор кривизны Римана с относительным ускорением двух соседних геодезических. В дифференциальной геометрии уравнение геодезического отклонения более известно как уравнение Якоби .

Математическое определение

Чтобы количественно оценить геодезическое отклонение, нужно начать с создания семейства близко расположенных геодезических, индексированных непрерывной переменной s и параметризованных аффинным параметром τ. То есть для каждого фиксированного s кривая, заметаемая γ _s (τ) при изменении τ, является геодезической. При рассмотрении геодезической массивного объекта часто бывает удобно выбрать τ как собственное время объекта . Если x ^μ ( s , τ) - координаты геодезической γ _s (τ), то касательный вектор этой геодезической равен

${\ displaystyle T ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partial \ tau}}.}$

Если τ - собственное время, то T ^μ - это четыре скорости объекта, движущегося по геодезической.

Также можно определить вектор отклонения , который представляет собой смещение двух объектов, движущихся по двум бесконечно удаленным геодезическим:

${\ displaystyle X ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partial s}}.}$

Относительное ускорение ^μ из двух объектов определяются, грубо говоря, как вторую производную разделения вектора Х ^мкм , как продвижение вдоль их соответствующих геодезических объектов. В частности, ^μ определяется путем взятия направленной ковариантной производной от X вдоль Т дважды:

${\ displaystyle A ^ {\ mu} = T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha} \ left (T ^ {\ beta} \ nabla _ {\ beta} X ^ {\ mu} \ right).}$

Уравнение геодезического отклонения связывает A ^μ , T ^μ , X ^μ и тензор Римана R ^μ _νρσ :

${\ displaystyle A ^ {\ mu} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ {\ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}$

Альтернативное обозначение ковариантной производной по направлению есть , поэтому уравнение геодезического отклонения можно также записать как ${\ Displaystyle Т ^ {\ альфа} \ набла _ {\ альфа}}$${\ displaystyle D / d \ tau}$

${\ displaystyle {\ frac {D ^ {2} X ^ {\ mu}} {d \ tau ^ {2}}} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ { \ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}$

Уравнение геодезического отклонения может быть получено из второго варианта лагранжиана точечной частицы вдоль геодезических или из первого варианта комбинированного лагранжиана. У лагранжевого подхода есть два преимущества. Во-первых, он позволяет применять различные формальные подходы к квантованию к системе геодезических отклонений. Во-вторых, он позволяет сформулировать отклонение для гораздо более общих объектов, чем геодезические (любая динамическая система, имеющая импульс, индексированный в одном пространстве-времени, по- видимому, имеет соответствующее обобщение геодезического отклонения).

Предел слабого поля

Связь между геодезическим отклонением и приливным ускорением можно увидеть более явно, исследуя геодезическое отклонение в пределе слабого поля , где метрика приблизительно равна Минковскому, а скорости пробных частиц предполагаются намного меньше c . Тогда касательный вектор T ^μ приблизительно равен (1, 0, 0, 0); т.е. отлична от нуля только времениподобная компонента.

Тогда пространственные компоненты относительного ускорения определяются выражением

${\ displaystyle A ^ {i} = - {R ^ {i}} _ {0j0} X ^ {j},}$

где i и j пробегают только пространственные индексы 1, 2 и 3.

В частном случае метрики, соответствующей ньютоновскому потенциалу Φ ( x , y , z ) массивного объекта при x = y = z = 0, имеем

${\ displaystyle {R ^ {i}} _ {0j0} = - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial x ^ {i} \ partial x ^ {j}}},}$

который является приливным тензором ньютоновского потенциала.

Смотрите также

• Бернхард Риманн
• Кривизна
• Глоссарий римановой и метрической геометрии

Рекомендации

• Стефани, Ханс (1982), Общая теория относительности - введение в теорию гравитационного поля , Cambridge University Press, ISBN   0-521-37066-3 .
• Вальд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , ISBN   978-0-226-87033-5 .

внешние ссылки

• Общая теория относительности и квантовая космология
• Тензоры и относительность: геодезическое отклонение