Бесплатная категория - Free category

В математике , то свободная категория или путь категория порожден ориентированный графом или колчан является категорией , что результаты свободно конкатенация стрелки вместе, всякий раза , когда цель одной стрелки является источником следующего.

Точнее, объекты категории - это вершины колчана, а морфизмы - это пути между объектами. Здесь путь определяется как конечная последовательность

${\ Displaystyle V_ {0} {\ xrightarrow {\; \; E_ {0} \; \;}} V_ {1} {\ xrightarrow {\; \; E_ {1} \; \;}} \ cdots { \ xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n}}$

где - вершина колчана, - край колчана, а n пробегает неотрицательные целые числа. Для каждой вершины колчана существует «пустой путь», который составляет тождественные морфизмы категории. ${\ displaystyle V_ {k}}$${\ displaystyle E_ {k}}$${\ displaystyle V}$

Операция композиции - это конкатенация путей. Указанные пути

${\ Displaystyle V_ {0} {\ xrightarrow {E_ {0}}} \ cdots {\ xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n}, \ quad V_ {n} {\ xrightarrow {F_ {0} }} W_ {0} {\ xrightarrow {F_ {1}}} \ cdots {\ xrightarrow {F_ {n-1}}} W_ {m},}$

их состав

${\ displaystyle \ left (V_ {n} {\ xrightarrow {F_ {0}}} W_ {0} {\ xrightarrow {F_ {1}}} \ cdots {\ xrightarrow {F_ {n-1}}} W_ { m} \ right) \ circ \ left (V_ {0} {\ xrightarrow {E_ {0}}} \ cdots {\ xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n} \ right): = V_ {0 } {\ xrightarrow {E_ {0}}} \ cdots {\ xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n} {\ xrightarrow {F_ {0}}} W_ {0} {\ xrightarrow {F_ {1 }}} \ cdots {\ xrightarrow {F_ {n-1}}} W_ {m}}$.

Обратите внимание, что результат композиции начинается с правого операнда композиции и заканчивается ее левым операндом.

Примеры

• Если Q - колчан с одной вершиной и одним ребром f, ведущим от этого объекта к самому себе, то свободная категория на Q имеет в качестве стрелок 1 , f , f ∘ f , f ∘ f ∘ f и т. Д.
• Пусть Q - колчан с двумя вершинами a , b и двумя ребрами e , f от a до b и b до a соответственно. Тогда свободная категория по Q имеет две стрелки личности и стрелку для каждой конечной последовательности переменных е с и е х, в том числе: е , е , е ∘ е , е ∘ е , е ∘ е ∘ е , е ∘ е ∘ е , и т.д.
• Если Q - колчан , то свободная категория на Q имеет (помимо трех тождественных стрелок) стрелки f , g и g ∘ f .${\ displaystyle a {\ xrightarrow {f}} b {\ xrightarrow {g}} c}$
• Если колчан Q имеет только одну вершины, то свободная категория на Q имеет только один объект, и соответствует свободному моноиду по краям Q .

Свойства

Категории малых категорий Cat имеют пренебрегающий функтор U в колчане категории Quiv :

U  : Кот → Quiv

который переводит объекты в вершины и морфизмы в стрелки. Интуитивно U «[забывает], какие стрелки являются составными, а какие - идентичными». Этот забывчивый функтор сопряжен справа с функтором, переводящим колчан в соответствующую свободную категорию.

Универсальная собственность

Свободная категорию на колчан можно описать до изоморфизма с помощью универсального свойства . Пусть C  : Quiv → Cat - функтор, переводящий колчан в свободную категорию на этом колчане (как описано выше), пусть U - функтор забывчивости, определенный выше, и пусть G - любой колчан. Тогда существует гомоморфизм графов I  : G → U ( C ( G )), и для любой категории D и любого гомоморфизма графов F  : G → U (D) существует единственный функтор F '  : C ( G ) → D такой, что что U ( F ' ) ∘ I = F , т.е. следующая диаграмма коммутирует :

Функтор C является левым сопряженным к забывчивым функтора U .

Смотрите также

• Бесплатная строгая моноидальная категория
• Бесплатный объект
• Присоединенные функторы

Ссылки