Константа Франсена – Робинсона - Fransén–Robinson constant

Константа Франсена – Робинсона , иногда обозначаемая F , представляет собой математическую константу, которая представляет собой площадь между графиком обратной гамма-функции , 1 / Γ ( x ) , и положительной осью x . То есть,

${\ displaystyle F = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ Gamma (x)}} \, dx = 2,8077702420285 ...}$

Другие выражения

Константа Франсена – Робинсона имеет числовое значение F = 2,8077702420285 ... (последовательность A058655 в OEIS ) и представление непрерывной дроби [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] (последовательность A046943 в OEIS ). Константа несколько близка к числу Эйлера e = 2,71828 .... Этот факт можно объяснить, аппроксимируя интеграл суммой:

${\ Displaystyle F = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ Gamma (x)}} \, dx \ приблизительно \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ Gamma (n)}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}},}$

и эта сумма является стандартным рядом для e . Разница в том

${\ displaystyle Fe = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- x}} {\ pi ^ {2} + (\ ln x) ^ {2}}} \, dx}$

или эквивалентно

${\ displaystyle F = e + {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} e ^ {\ pi \ tan \ theta} e ^ {- e ^ {\ pi \ tan \ theta}} \, d \ theta.}$

Константу Франсена – Робинсона также можно выразить с помощью функции Миттаг-Леффлера в качестве предела

${\ displaystyle F = \ lim _ {\ alpha \ to 0} \ alpha E _ {\ alpha, 0} (1).}$

Однако неизвестно, можно ли выразить F в замкнутой форме через другие известные константы.

История расчетов

Было приложено немало усилий для расчета числового значения постоянной Франсена – Робинсона с высокой точностью.

Значение было вычислено с точностью до 36 знаков после запятой Германом П. Робинсоном с использованием 11-точечной квадратуры Ньютона – Котеса , до 65 знаков - с помощью А. Франсена с использованием суммирования Эйлера – Маклорена и с точностью до 80 знаков - Франсеном и С. Ригге с использованием ряда Тейлора и других методов. . Уильям А. Джонсон вычислил 300 цифр, а Паскаль Себах смог вычислить 600 цифр, используя интеграцию Кленшоу – Кертиса .

Ссылки

• Франсен, Арне (1979). «Точное определение обратного гамма-интеграла». БИТ . 19 (1): 137–138. DOI : 10.1007 / BF01931232 . Руководство по ремонту  0530126 .

• Франсен, Арне; Ригге, Стаффан (1980). «Высокоточные значения гамма-функции и некоторых связанных коэффициентов». Математика вычислений . 34 (150): 553–566. DOI : 10.2307 / 2006104 . Руководство по ремонту  0559204 .

• Франсен, Арне (1981). «Дополнение и исправление к« Высокоточные значения гамма-функции и некоторых связанных коэффициентов » ». Математика вычислений . 37 (155): 233–235. DOI : 10.2307 / 2007517 . Руководство по ремонту  0616377 .

• Финч, Стив. "Константа Франсена-Робинзона" .

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Франсена – Робинсона» . MathWorld .

• Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид; Гиргенсон, Роланд (2003). Эксперименты в математике - вычислительные пути к открытиям . А.К. Петерс. п. 288. ISBN 1-56881-136-5.

Эта статья по математике незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . v т е