Неравенства Фреше - Fréchet inequalities

В вероятностной логике , то Фреше неравенство , также известное как неравенства Буля-Фреш , правила неявных в работе Джорджа Буля и явно полученный Морис Фреш , которые регулируют сочетание вероятностей о логических утверждениях или событиях , логически связанных друг с другом в конъюнкции ( И операции) или дизъюнкции ( иЛИ операции) , как в логических выражений или неисправностей или деревьев событий , распространенные в оценке риска , инженерное проектирование и искусственный интеллект . Эти неравенства можно рассматривать как правила о том, как ограничивать вычисления, включающие вероятности, без предположения о независимости или, действительно, без каких-либо предположений о зависимости . Неравенства Фреше тесно связаны с неравенствами Буля – Бонферрони – Фреше и с оценками Фреше .

Если A _i являются логическими предложениями или событиями , неравенства Фреше имеют вид

Вероятность логического соединения ( ) ${\ displaystyle \ land}$

${\ displaystyle \ max \ left (0, \, \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (A_ {k}) - (n-1) \ right) \ leq \ mathbb {P } \ left (\ bigwedge _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} \ right) \ leq \ min _ {k} \ {\ mathbb {P} (A_ {k}) \},}$

Вероятность логической дизъюнкции ( ) ${\ displaystyle \ lor}$

${\ Displaystyle \ макс _ {к} \ {\ mathbb {P} (A_ {k}) \} \ leq \ mathbb {P} \ left (\ bigvee _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} \ right) \ leq \ min \ left (1, \, \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (A_ {k}) \ right),}$

где P () обозначает вероятность события или предложения. В случае, когда есть только два события, скажем A и B , неравенства сводятся к

Вероятность логического соединения ( ) ${\ displaystyle \ land}$

${\ Displaystyle \ макс (0, \, \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) -1) \ leq \ mathbb {P} (A \ land B) \ leq \ min (\ mathbb {P} (A), \, \ mathbb {P} (B)),}$

Вероятность логической дизъюнкции ( ) ${\ displaystyle \ lor}$

${\ Displaystyle \ макс (\ mathbb {P} (A), \, \ mathbb {P} (B)) \ leq \ mathbb {P} (A \ lor B) \ leq \ min (1, \, \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B)).}$

Неравенства ограничивают вероятности двух видов совместных событий с учетом вероятностей отдельных событий. Например, если A означает «рак легких», а B означает «мезотелиому», то A и B «имеют и рак легких, и мезотелиому», а A ∨ B означает «рак легких или мезотелиому, или оба заболевания» и неравенство связывает риски этих событий.

Обратите внимание, что логические союзы обозначаются по-разному в разных полях, включая AND, &, ∧ и графические элементы AND . Логические дизъюнкции также обозначаются различными способами, включая OR, |, ∨ и графические элементы OR . Если события рассматриваются как множества, а не логические предложения , теоретико-множественные версии неравенств Фреше таковы:

Вероятность пересечения событий

${\ Displaystyle \ макс (0, \, \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) -1) \ leq \ mathbb {P} (A \ cap B) \ leq \ min (\ mathbb {P} (A), \, \ mathbb {P} (B)),}$

Вероятность объединения событий

${\ Displaystyle \ макс (\ mathbb {P} (A), \, \ mathbb {P} (B)) \ leq \ mathbb {P} (A \ cup B) \ leq \ min (1, \, \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B)).}$

Числовые примеры

Если вероятность события A равна P (A) = a = 0,7, а вероятность события B равна P (B) = b = 0,8, то вероятность соединения , то есть совместного события A и B, наверняка в интервале

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} (A \ land B) & \ in [\ max (0, \, a + b-1), \, \ min (a, \, b)] \\ & = [\ max (0, \, 0,7 + 0,8-1), \, \ min (0,7, \, 0,8)] \\ & = [0,5, \, 0,7] \ конец {выровнено}}.}$

Точно так же вероятность дизъюнкции A ∨ B заведомо лежит в интервале

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} (A \ lor B) & \ in [\ max (a, \, b), \, \ min (1, \, a + b)] \\ & = [\ max (0,7, \, 0,8), \, \ min (1, \, 0,7 + 0,8)] \\ & = [0,8, \, 1] \ end {выровнено}}.}$

Эти интервалы контрастируют с результатами, полученными с помощью правил вероятности, предполагающих независимость , где вероятность конъюнкции равна P (A & B) = a × b = 0,7 × 0,8 = 0,56, а вероятность дизъюнкции равна P (A ∨ B) = a + b - a × b = 0,94.

Когда предельные вероятности очень малы (или велики), интервалы Фреше сильно асимметричны относительно аналогичных результатов при независимости. Например, предположим, что P (A) = 0,000002 = 2 × 10 ⁻⁶ и P (B) = 0,000003 = 3 × 10 ⁻⁶ . Тогда неравенства Фреше говорят, что P (A & B) находится в интервале [0, 2 × 10 ⁻⁶ ], а P (A ∨ B) находится в интервале [3 × 10 ⁻⁶ , 5 × 10 ⁻⁶ ]. Однако, если A и B независимы, вероятность A и B равна 6 × 10 ^−12, что сравнительно очень близко к нижнему пределу (нулю) интервала Фреше. Точно так же вероятность A ∨ B составляет 4,999994 × 10 ⁻⁶ , что очень близко к верхнему пределу интервала Фреше. Это то, что оправдывает приближение редких событий, часто используемое в теории надежности .

Доказательства

Доказательства элементарны. Напомним, что P ( A ∨ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A & B ), откуда P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∨ B ) = P ( A & B ). Поскольку все вероятности не больше 1, мы знаем, что P ( A ∨ B ) ≤ 1, что означает, что P ( A ) + P ( B ) - 1 ≤ P ( A & B ). Поскольку все вероятности также положительны, мы можем аналогичным образом сказать 0 ≤ P ( A & B ), поэтому max (0, P ( A ) + P ( B ) - 1) ≤ P ( A & B ). Это дает нижнюю границу конъюнкции.

Чтобы получить оценку сверху, напомним, что P ( A & B ) = P ( A | B ) P ( B ) = P ( B | A ) P ( A ). Поскольку P ( A | B ) ≤ 1 и P ( B | A ) ≤ 1, мы знаем, что P ( A & B ) ≤ P ( A ) и P ( A & B ) ≤ P ( B ). Следовательно, P ( A & B ) ≤ min (P ( A ), P ( B )), что является верхней границей.

Наилучший характер этих границ следует из наблюдения, что они реализуются некоторой зависимостью между событиями A и B. Аналогичным образом выводятся сопоставимые границы дизъюнкции.

Расширения

Когда входные вероятности сами являются диапазонами интервалов, формулы Фреше по-прежнему работают как анализ границ вероятности . Хайлперин рассмотрел проблему вычисления вероятностных булевых выражений, включающих множество событий в сложных конъюнкциях и дизъюнкциях. Некоторые предложили использовать неравенства в различных приложениях искусственного интеллекта и расширили правила, чтобы учесть различные предположения о зависимости между событиями. Неравенства также могут быть обобщены на другие логические операции, включая даже modus ponens . Когда входные вероятности характеризуются распределениями вероятностей , аналогичные операции, которые обобщают логические и арифметические свертки без предположений о зависимости между входами, могут быть определены на основе связанного понятия границ Фреше .

Квантовые границы Фреше

Интересно, что аналогичные оценки справедливы и в квантовой механике в случае сепарабельных квантовых систем и что запутанные состояния нарушают эти ограничения. Рассмотрим составную квантовую систему. В частности, мы ориентируемся на составной квантовой системы AB из двух конечных подсистем , обозначаемых как A и B . Предположим, что нам известна матрица плотности подсистемы A , т. Е. Это положительно определенная матрица со следом один в (пространство эрмитовых матриц размерности ), и матрица плотности подсистемы B, обозначенная как Мы можем думать о и как маргинальные подсистем A и B . Зная об этих маргиналах, мы хотим вывести кое-что о суставе в разделе Мы ограничиваем наше внимание сочленениями, которые можно отделить . Матрица плотности в составной системе является разделимой, если существуют и которые являются смешанными состояниями соответствующих подсистем такие, что ${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} _ {ч} ^ {п \ раз п}}$${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle \ rho ^ {B}.}$${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ displaystyle \ rho ^ {B}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {AB}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {h} ^ {нм \ times нм}.}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {AB}}$${\ displaystyle p_ {k} \ geq 0, \ {\ rho _ {1} ^ {k} \}}$${\ displaystyle \ {\ rho _ {2} ^ {k} \}}$

${\ displaystyle \ rho ^ {AB} = \ sum _ {k} p_ {k} \ rho _ {1} ^ {k} \ otimes \ rho _ {2} ^ {k}}$

где

${\ displaystyle \ sum _ {k} p_ {k} = 1.}$

В противном случае это называется запутанным состоянием. ${\ displaystyle \ rho ^ {AB}}$

Для матриц разъемных плотности в следующем Фреше как оценки справедливы: ${\ displaystyle \ rho ^ {AB}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} _ {ч} ^ {нм \ раз нм}}$

${\ displaystyle {\ begin {case} \ rho ^ {AB} \ leq \ rho ^ {A} \ otimes I_ {m} \\\ rho ^ {AB} \ leq I_ {n} \ otimes \ rho ^ {B } \\ [6pt] \ rho ^ {AB} \ geq \ rho ^ {A} \ otimes I_ {m} + I_ {n} \ otimes \ rho ^ {B} -I_ {nm} \\\ rho ^ { AB} \ gneq 0 \ end {case}}}$

Эти неравенства матричные неравенства , обозначает тензорное произведение и на единичную матрицу размерности . Очевидно, что структурно указанные неравенства являются аналогами классических оценок Фреше для логической конъюнкции. Также стоит отметить, что, когда матрицы и ограничиваются диагональю, мы получаем классические оценки Фреше. ${\ displaystyle \ otimes}$${\ displaystyle I_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ rho ^ {A}, \ rho ^ {B}}$${\ displaystyle \ rho ^ {AB}}$

Верхняя граница известна в квантовой механике как критерий редукции матриц плотности; это было впервые доказано и независимо сформулировано. Получена нижняя оценка, которая дает байесовскую интерпретацию этих оценок.

Числовые примеры

Мы наблюдали, когда все матрицы и диагональны, мы получаем классические оценки Фреше. Чтобы показать это, снова рассмотрим предыдущий числовой пример: ${\ Displaystyle \ rho ^ {A}, \ rho ^ {B}}$${\ displaystyle \ rho ^ {AB}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho ^ {A} & = {\ text {diag}} (p_ {a}, p _ {\ bar {a}}) = {\ text {diag}} (0,7, 0.3) \\\ rho ^ {B} & = {\ text {diag}} (p_ {b}, p _ {\ bar {b}}) = {\ text {diag}} (0.8,0.2) \ end { выровнено}}}$

тогда у нас есть:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho ^ {AB} & = {\ text {diag}} (p_ {ab}, p_ {a {\ bar {b}}}, p _ {{\ bar {a}) } b}, p _ {{\ bar {a}} {\ bar {b}}}) \ leqslant \ rho ^ {A} \ otimes I_ {2} = {\ text {diag}} (0.7,0.7,0.3 , 0,3) \\\ rho ^ {AB} & = {\ text {diag}} (p_ {ab}, p_ {a {\ bar {b}}}, p _ {{\ bar {a}} b}, p _ {{\ bar {a}} {\ bar {b}}}) \ leqslant I_ {2} \ otimes \ rho ^ {B} = {\ text {diag}} (0.8,0.2,0.8,0.2) \ \\ rho ^ {AB} & = {\ text {diag}} (p_ {ab}, p_ {a {\ bar {b}}}, p _ {{\ bar {a}} b}, p _ {{\ bar {a}} {\ bar {b}}}) \ geqslant \ rho ^ {A} \ otimes I_ {2} + I_ {2} \ otimes \ rho ^ {B} -I_ {4} = {\ text {diag}} (0,5, -0,1,0,1, -0,5) \\\ rho ^ {AB} & = {\ text {diag}} (p_ {ab}, p_ {a {\ bar {b}}}, p _ {{\ bar {a}} b}, p _ {{\ bar {a}} {\ bar {b}}}) \ geqslant 0 \ end {align}}}$

что значит:

${\ displaystyle {\ begin {align} 0.5 & \ leqslant p_ {ab} \ leqslant 0.7 \\ 0 & \ leqslant p_ {a {\ bar {b}}} \ leqslant 0.2 \\ 0.1 & \ leqslant p _ {{\ bar {a}} b} \ leqslant 0.3 \\ 0 & \ leqslant p _ {{\ bar {a}} {\ bar {b}}} \ leqslant 0.2 \ end {выровнено}}}$

Следует отметить, что запутанные состояния нарушают указанные выше границы Фреше. Рассмотрим, например, запутанную матрицу плотности (которая неотделима):

${\ displaystyle \ rho ^ {AB} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}},}$

который имеет маргинальный

${\ displaystyle \ rho ^ {A} = \ rho ^ {B} = {\ text {diag}} \ left ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}} \ right ).}$

Запутанные состояния неотделимы, и легко проверить, что

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ rho ^ {A} \ otimes I_ {m} - \ rho ^ {AB} \ ngeqslant 0 \\ I_ {n} \ otimes \ rho ^ {B} - \ rho ^ { AB} \ ngeqslant 0 \ end {case}}}$

так как полученные матрицы имеют одно отрицательное собственное значение.

Другой пример нарушения вероятностных границ дается знаменитым неравенством Белла : запутанные состояния демонстрируют форму стохастической зависимости, более сильную, чем самая сильная классическая зависимость: и фактически они нарушают границы, подобные ограничениям Фреше.

Смотрите также

• Вероятностная логика
• Логическое соединение
• Логическая дизъюнкция
• Границы Фреше
• Неравенство Буля
• Неравенства Бонферрони
• Неравенства Бернштейна – Фреше.
• Анализ границ вероятности
• Вероятность объединения попарно независимых событий

Рекомендации