Критерий неприводимости Кона - Cohn's irreducibility criterion

Критерий неприводимости Артура Кона является достаточным условием для того, чтобы многочлен был неприводимым в, то есть, чтобы он не мог быть преобразован в произведение многочленов более низкой степени с целыми коэффициентами. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$

Критерий часто формулируется следующим образом:

Если простое число выражается в базе 10 как (где ), то многочлен ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = a_ {m} 10 ^ {m} + a_ {m-1} 10 ^ {m-1} + \ cdots + a_ {1} 10 + a_ {0}}$${\ displaystyle 0 \ leq a_ {i} \ leq 9}$

${\ displaystyle f (x) = a_ {m} x ^ {m} + a_ {m-1} x ^ {m-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

неприводимо в .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$

Теорема может быть обобщена на другие базисы следующим образом:

Предположим, что это натуральное число и такой многочлен, что . Если - простое число, то неприводимо в .${\ displaystyle b \ geq 2}$${\ displaystyle p (x) = a_ {k} x ^ {k} + a_ {k-1} x ^ {k-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$${\ displaystyle 0 \ leq a_ {i} \ leq b-1}$${\ displaystyle p (b)}$${\ displaystyle p (x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$

Версия теоремы с основанием 10 приписывается Кону Полиа и Сегу в одной из их книг, в то время как обобщение на любую базу b принадлежит Бриллхарту, Филазете и Одлыжко .

В 2002 году Рам Мурти дал упрощенное доказательство, а также немного истории теоремы в статье, доступной в Интернете.

Обратное к этому критерию состоит в том, что если p - неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, имеющими наибольший общий делитель 1, то существует такая база, что коэффициенты p образуют представление простого числа в этой базе; это гипотеза Буняковского, и ее истинность или ложность остается открытым вопросом.

Исторические заметки

• Поля и Сегу дали свое собственное обобщение, но оно имеет много побочных условий (например, в отношении местоположения корней), поэтому ему не хватает элегантности обобщения Бриллхарта, Филазеты и Одлыжко.
• Из контекста ясно, что «А. Кон», упомянутый Полией и Сегу, - это Артур Кон (1894–1940), ученик Иссаи Шура, которому в 1921 году была присуждена докторская степень в Университете Фредерика Уильяма .

Смотрите также

• Критерий Эйзенштейна
• Критерий неприводимости Перрона

Рекомендации

Внешние ссылки

• «Критерий неприводимости А. Кона» . PlanetMath .