Уравнения Клохесси – Уилтшира - Clohessy–Wiltshire equations

Уравнения Клохесси-Уилтшира описывают упрощенную модель относительного орбитального движения, в которой цель находится на круговой орбите, а космический корабль преследователя находится на эллиптической или круговой орбите. Эта модель дает первое приближение движения охотника в центрированной системе координат. Это очень полезно при планировании встречи преследователя с целью.

${\ displaystyle {\ ddot {x}} = 3n ^ {2} x + 2n {\ dot {y}}}$

${\ displaystyle {\ ddot {y}} = - 2n {\ dot {x}}}$

${\ displaystyle {\ ddot {z}} = - п ^ {2} z}$

${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}}}$

которая является орбитальной скоростью тела цели. радиус круговой орбиты целевого тела, и это гравитационный параметр . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ mu}$

Например, на низкой околоземной орбите и , следовательно , соответствует периоду обращения около 93 минут. ${\ displaystyle \ mu = 3.986E14 {\ frac {m ^ {3}} {s ^ {2}}}}$${\ displaystyle a = 6378137m + 415000m = 6793137m}$${\ displaystyle n = 0,00113 с ^ {- 1}}$

Решение

Мы можем получить решения этих связанных дифференциальных уравнений в замкнутой форме в матричной форме, что позволит нам найти положение и скорость охотника в любой момент времени с учетом начального положения и скорости.

${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} (t) = [\ Phi _ {rr} (t)] \ delta {\ vec {r_ {0}}} + [\ Phi _ {rv} (t) ] \ delta {\ vec {v_ {0}}}}$

${\ Displaystyle \ дельта {\ vec {v}} (t) = [\ Phi _ {vr} (t)] \ delta {\ vec {r_ {0}}} + [\ Phi _ {vv} (t) ] \ delta {\ vec {v_ {0}}}}$

куда

${\ displaystyle \ Phi _ {rr} (t) = {\ begin {bmatrix} 4-3 \ cos {nt} & 0 & 0 \\ 6 (\ sin {nt} -nt) & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos {nt} \ конец {bmatrix}}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {rv} (t) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {n}} \ sin {nt} & {\ frac {2} {n}} (1- \ cos {nt}) & 0 \\ {\ frac {2} {n}} (\ cos {nt} -1) & {\ frac {1} {n}} (4 \ sin {nt} -3nt) & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {n}} \ sin {nt} \ end {bmatrix}}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {vr} (t) = {\ begin {bmatrix} 3n \ sin {nt} & 0 & 0 \\ 6n (\ cos {nt} -1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -n \ sin {nt} \ конец {bmatrix}}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {vv} (t) = {\ begin {bmatrix} \ cos {nt} & 2 \ sin {nt} & 0 \\ - 2 \ sin {nt} & 4 \ cos {nt} -3 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos {nt} \ end {bmatrix}}}$

Обратите внимание, что и${\ Displaystyle \ Phi _ {vr} (t) = {\ frac {d} {dt}} \ Phi _ {rr} (t)}$${\ Displaystyle \ Phi _ {vv} (t) = {\ frac {d} {dt}} \ Phi _ {rv} (t)}$

Поскольку эти матрицы легко обратимы , мы также можем решить для начальных условий, учитывая только конечные условия и свойства орбиты целевого корабля.

Смотрите также

• Космическое рандеву
• Орбитальный маневр

использованная литература

3. Пруссинг, Джон Э. и Конвей, Брюс А. (2012), Орбитальная механика (2-е издание), Oxford University Press, Нью-Йорк, стр. 179–196. ISBN  9780199837700