Чебышевская навеска - Chebyshev linkage

Связь Чебышева является механической связью , которая преобразует вращательное движение аппроксимировать прямолинейное движение .

Его изобрел математик XIX века Пафнутий Чебышев , изучавший теоретические проблемы кинематических механизмов . Одной из проблем была конструкция рычага, который преобразует вращательное движение в приближенное прямолинейное движение. Это также изучал Джеймс Ватт в своих усовершенствованиях парового двигателя .

Прямолинейное соединение ограничивает точку P - среднюю точку звена L ₃ - на прямой линии на двух крайних точках и в центре движения. ( L ₁ , L ₂ , L ₃ и L ₄ такие, как показано на рисунке.) Между этими точками точка P немного отклоняется от идеальной прямой линии. Пропорции между ссылками

${\ Displaystyle L_ {1}: L_ {2}: L_ {3} = 2: 2,5: 1 = 4: 5: 2 \,}$

Точка P находится в середине  L ₃ . Это соотношение гарантирует, что звено  L ₃ лежит вертикально, когда оно находится на одном из крайних положений своего хода.

Математически длины связаны следующим образом:

${\ displaystyle L_ {4} = L_ {3} + {\ sqrt {L_ {2} ^ {2} -L_ {1} ^ {2}}}. \,}$

Можно показать, что если базовые пропорции, описанные выше, принять за длины, то для всех случаев

${\ Displaystyle L_ {4} = L_ {2}. \,}$

и это способствует воспринимаемому движению прямолинейных точек P .

Уравнения движения

Движение рычажного механизма может быть ограничено входным углом, который может изменяться посредством скоростей, сил и т. Д. Входные углы могут быть либо связью  L ₂ с горизонталью, либо связью  L ₄ с горизонталью. Независимо от входного угла, можно вычислить движение двух конечных точек для звена  L _3, которое мы назовем A и B, и средней точки P.

${\ Displaystyle х_ {А} = L_ {2} \ соз (\ varphi _ {1}) \,}$

${\ Displaystyle у_ {А} = L_ {2} \ грех (\ varphi _ {1}) \,}$

в то время как движение точки B будет вычислено с другим углом,

${\ displaystyle x_ {B} = L_ {1} -L_ {4} \ cos (\ varphi _ {2}) \,}$

${\ Displaystyle Y_ {B} = L_ {4} \ sin (\ varphi _ {2}) \,}$

И, наконец, мы запишем выходной угол через входной угол,

${\ displaystyle \ varphi _ {2} = \ arcsin \ left [{\ frac {L_ {2} \, \ sin (\ varphi _ {1})} {\ overline {AO_ {2}}}} \ right] - \ arccos \ left ({\ frac {L_ {4} ^ {2} + {\ overline {AO_ {2}}} ^ {2} -L_ {3} ^ {2}} {2 \, L_ {4 } \, {\ overline {AO_ {2}}}}} \ right) \,}$

Следовательно, мы можем записать движение точки P, используя две точки, определенные выше, и определение средней точки.

${\ displaystyle x_ {P} = {\ frac {x_ {A} + x_ {B}} {2}} \,}$

${\ displaystyle y_ {P} = {\ frac {y_ {A} + y_ {B}} {2}} \,}$

Углы ввода

Иллюстрация пределов

Пределы входных углов в обоих случаях следующие:

${\ displaystyle \ varphi _ {\ text {min}} = \ arccos \ left ({\ frac {4} {5}} \ right) \ приблизительно 36,8699 ^ {\ circ}. \,}$

${\ displaystyle \ varphi _ {\ text {max}} = \ arccos \ left ({\ frac {-1} {5}} \ right) \ приблизительно 101,537 ^ {\ circ}. \,}$

Применение

Чебышевские рычаги не получили широкого распространения в паровых машинах, но обычно используются в качестве конструкции «Конская голова» подъемного крана с подъемной стрелой . В этом приложении приблизительное прямое движение переводится от середины линии, но по сути это тот же механизм.

Смотрите также

Лямбда-механизм Чебышева (один синий и один зеленый) показывает идентичный путь движения

• Лямбда-механизм Чебышева.
• Связка Ватта , аналогичный прямолинейный механизм с обратным направлением одного из рычагов.
• Прямой механизм
• Скотт Рассел связь
• Рычажный механизм Hoeckens (4-стержневой рычажный механизм, преобразующий вращательное движение в приближенное прямолинейное движение)
• Звено Peaucellier – Lipkin (8-стержневое соединение, обеспечивающее идеальное линейное движение)
• Четырехзвенная навеска

Рекомендации

Внешние ссылки

• Корнельский университет, "Как нарисовать прямую линию, А.Б. Кемпе, бакалавр гуманитарных наук"
• Моделирование с использованием программного обеспечения Molecular Workbench
• GeoGebra моделирование связи