Лемма Сеа - Céa's lemma

Лемма CEA в это лемма в математике . Представлен Жаном Сеа в его докторской диссертации. диссертации, это важный инструмент для доказательства оценок погрешности метода конечных элементов, применяемого к эллиптическим уравнениям в частных производных .

Утверждение леммы

Позвольте быть вещественным гильбертовым пространством с нормой Позвольте быть билинейной формой со свойствами ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |.}$${\ displaystyle a: V \ times V \ to \ mathbb {R}}$

• ${\ Displaystyle | а (v, ш) | \ Leq \ гамма \ | v \ | \, \ | ш \ |}$ для некоторой константы и все в ( непрерывность ) ${\ displaystyle \ gamma> 0}$${\ displaystyle v, w}$${\ displaystyle V}$
• ${\ Displaystyle а (v, v) \ geq \ альфа \ | v \ | ^ {2}}$ для некоторой константы и все в ( коэрцитивность или -эллиптичность). ${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

Позвольте быть ограниченным линейным оператором . Рассмотрим задачу поиска элемента в таком, что ${\ displaystyle L: V \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle а (и, v) = L (v)}$ для всех в ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V.}$

Рассмотрим ту же задачу на конечномерном подпространстве в Итак, в удовлетворяет ${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle u_ {h}}$${\ displaystyle V_ {h}}$

${\ Displaystyle а (и_ {ч}, v) = L (v)}$ для всех в ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V_ {h}.}$

По теореме Лакса – Милграма каждая из этих задач имеет ровно одно решение. Лемма Сеа утверждает, что

${\ displaystyle \ | u-u_ {h} \ | \ leq {\ frac {\ gamma} {\ alpha}} \ | uv \ |}$ для всех в ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V_ {h}.}$

Другими словами, решение подпространства является "наилучшим" приближением in с точностью до константы ${\ displaystyle u_ {h}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle V_ {h},}$ ${\ displaystyle \ gamma / \ alpha.}$

Доказательство простое

${\ displaystyle \ alpha \ | u-u_ {h} \ | ^ {2} \ leq a (u-u_ {h}, u-u_ {h}) = a (u-u_ {h}, uv) + a (u-u_ {h}, v-u_ {h}) = a (u-u_ {h}, uv) \ leq \ gamma \ | u-u_ {h} \ | \ | uv \ |}$ для всех в ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V_ {h}.}$

Мы использовали -ортогональность и ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle u-u_ {h}}$${\ displaystyle V_ {h}}$

${\ displaystyle a (u-u_ {h}, v) = 0, \ \ forall \ v \ in V_ {h}}$

что непосредственно следует из ${\ displaystyle V_ {h} \ subset V}$

${\ Displaystyle а (и, v) = L (v) = а (и_ {ч}, v)}$ для всех в . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V_ {h}}$

Примечание: лемма Сеа верна и для комплексных гильбертовых пространств, тогда вместо билинейной формы используется полуторалинейная форма . Коэрцитивность предположение становится для всех в (обратите внимание на знак абсолютного значения вокруг ). ${\ Displaystyle а (\ cdot, \ cdot)}$${\ Displaystyle | а (v, v) | \ geq \ альфа \ | v \ | ^ {2}}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle а (v, v)}$

Оценка погрешности в энергетической норме

Решение подпространства - это проекция на подпространство по отношению к внутреннему произведению . ${\ displaystyle u_ {h}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle V_ {h}}$${\ Displaystyle а (\ cdot, \ cdot)}$

Во многих приложениях билинейная форма симметрична, поэтому ${\ displaystyle a: V \ times V \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle а (v, вес) = а (вес, v)}$ для всех в ${\ displaystyle v, w}$${\ displaystyle V.}$

Это, вместе с указанными выше свойствами этой формы, означает, что это внутренний продукт на Результирующую норму. ${\ Displaystyle а (\ cdot, \ cdot)}$${\ displaystyle V.}$

${\ Displaystyle \ | v \ | _ {a} = {\ sqrt {a (v, v)}}}$

называется энергетической нормой , так как во многих задачах соответствует физической энергии . Эта норма эквивалентна исходной норме ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |.}$

Используя -ортогональность и и неравенство Коши – Шварца${\ displaystyle a}$${\ displaystyle u-u_ {h}}$${\ displaystyle V_ {h}}$

${\ displaystyle \ | u-u_ {h} \ | _ {a} ^ {2} = a (u-u_ {h}, u-u_ {h}) = a (u-u_ {h}, uv) \ leq \ | u-u_ {h} \ | _ {a} \ cdot \ | uv \ | _ {a}}$ для всех в . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V_ {h}}$

Следовательно, в энергетической норме неравенство леммы Сеа принимает вид

${\ displaystyle \ | u-u_ {h} \ | _ {a} \ leq \ | uv \ | _ {a}}$ для всех в ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V_ {h}}$

(обратите внимание, что константа справа больше не присутствует). ${\ displaystyle \ gamma / \ alpha}$

Это говорит о том, что подпространственное решение является наилучшим приближением к полномасштабному решению относительно нормы энергии. Геометрически это означает, что это проекция решения на подпространство по отношению к внутреннему произведению (см. Рисунок рядом). ${\ displaystyle u_ {h}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u_ {h}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle V_ {h}}$${\ Displaystyle а (\ cdot, \ cdot)}$

Используя этот результат, можно также получить более точную оценку в норме . С ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ Displaystyle \ альфа \ | u-u_ {h} \ | ^ {2} \ leq a (u-u_ {h}, u-u_ {h}) = \ | u-u_ {h} \ | _ { a} ^ {2} \ leq \ | uv \ | _ {a} ^ {2} \ leq \ gamma \ | uv \ | ^ {2}}$ для всех ин , ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V_ {h}}$

следует, что

${\ displaystyle \ | u-u_ {h} \ | \ leq {\ sqrt {\ frac {\ gamma} {\ alpha}}} \ | uv \ |}$ для всех ин . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V_ {h}}$

Применение леммы Сеа

Мы применим лемму Сеа для оценки погрешности вычисления решения эллиптического дифференциального уравнения методом конечных элементов .

Струна с фиксированными концами под действием силы, направленной вниз.

Рассмотрим задачу поиска функции, удовлетворяющей условиям ${\ displaystyle u: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} -u '' = е {\ mbox {in}} [a, b] \\ u (a) = u (b) = 0 \ end {cases}}}$

где - заданная непрерывная функция . ${\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$

Физически, решение для этой двухточечной краевой задачи представляет собой форму , принятое в строке под действием силы таким образом, что в каждой точке между и плотность силы является (где это единичный вектор , указывающий вертикально, в то время как конечные точки строки находятся на горизонтальной линии, см. рисунок рядом). Например, этой силой может быть сила тяжести , когда она является постоянной функцией (поскольку сила тяжести одинакова во всех точках). ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle е (х) \ mathbf {е}}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle f}$

Пусть гильбертово пространство является пространством Соболева , который является пространством всех квадратично интегрируемых функций , определенных на которые имеют слабую производную от с также интегрируема с квадратом, и удовлетворяет условиям Скалярное произведение на этом пространстве ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (а, б),}$ ${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle v '}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle v (a) = v (b) = 0.}$

${\ displaystyle (v, w) = \ int _ {a} ^ {b} \! \ left (v (x) w (w) + v '(x) w' (x) \ right) \, dx}$ для всех и в ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle V.}$

После умножения исходной краевой задачи на в этом пространстве и выполнения интегрирования по частям получаем эквивалентную задачу ${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle а (и, v) = L (v)}$ для всех ин , ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V}$

с участием

${\ displaystyle a (u, v) = \ int _ {a} ^ {b} \! u '(x) v' (x) \, dx}$ ,

а также

${\ Displaystyle L (v) = \ int _ {a} ^ {b} \! f (x) v (x) \, dx.}$

Можно показать, что билинейная форма и оператор удовлетворяют условиям леммы Сеа. ${\ Displaystyle а (\ cdot, \ cdot)}$${\ displaystyle L}$

Функция в (красным) и типичный набор базисных функций в (синим). ${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle V_ {h}}$

Для того , чтобы определить конечное подпространство из рассмотрим раздел${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle V,}$

${\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {n-1} <x_ {n} = b}$

отрезка и пусть - пространство всех непрерывных функций, аффинных на каждом подынтервале в разбиении (такие функции называются кусочно-линейными ). Кроме того, предположим, что любая функция в принимает значение 0 в конечных точках. Отсюда следует, что это векторное подпространство , размерность которого равна (количество точек в разделе, которые не являются конечными точками). ${\ Displaystyle [а, б],}$${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle [a, b].}$${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n-1}$

Позвольте быть решением проблемы подпространства ${\ displaystyle u_ {h}}$

${\ Displaystyle а (и_ {ч}, v) = L (v)}$ для всех в ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V_ {h},}$

поэтому его можно рассматривать как кусочно-линейное приближение к точному решению.По лемме Сеа существует постоянная, зависящая только от билинейной формы, такая, что ${\ displaystyle u_ {h}}$${\ displaystyle u.}$${\ displaystyle C> 0}$${\ Displaystyle а (\ cdot, \ cdot),}$

${\ Displaystyle \ | и-и_ {ч} \ | \ Leq С \ | уф \ |}$ для всех в ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V_ {h}.}$

Чтобы явно вычислить ошибку между и рассмотреть функцию в том, что она имеет те же значения, что и в узлах раздела (так получается линейной интерполяцией на каждом интервале из значений в конечных точках интервала). Используя теорему Тейлора, можно показать , что существует константа, которая зависит только от конечных точек и такая, что ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u_ {h},}$${\ displaystyle \ pi u}$${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ pi u}$${\ Displaystyle [х_ {я}, х_ {я + 1}]}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b,}$

${\ displaystyle | u '(x) - (\ pi u)' (x) | \ leq Kh \ | u '' \ | _ {L ^ {2} (a, b)}}$

для всех , в котором находится самая большая длина подынтервалов в перегородке, а норма на правой стороне является L ² нормы . ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle [а, б],}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle [х_ {я}, х_ {я + 1}]}$

Это неравенство затем дает оценку ошибки

${\ Displaystyle \ | и- \ пи и \ |.}$

Тогда, подставляя в лемму Сеа, получаем, что ${\ displaystyle v = \ pi u}$

${\ displaystyle \ | u-u_ {h} \ | \ leq Ch \ | u '' \ | _ {L ^ {2} (a, b)},}$

где - константа, отличная от указанной выше (она зависит только от билинейной формы, которая неявно зависит от интервала ). ${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle [а, б]}$

Этот результат имеет фундаментальное значение, так как он утверждает, что метод конечных элементов может быть использован для приближенного вычисления решения нашей проблемы, и что ошибка в вычисленном решении уменьшается пропорционально размеру раздела . Лемма Сеа может быть применена к тому же линий для получения оценок ошибок для задач конечных элементов в более высоких измерениях (здесь область была в одном измерении), и при использовании полиномов более высокого порядка для подпространства ${\ displaystyle h.}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle V_ {h}.}$

Рекомендации

• Сеа, Жан (1964). Аппроксимация вариаций проблем с ограничениями (PDF) (кандидатская диссертация). Annales de l'Institut Fourier 14. 2 . С. 345–444 . Проверено 27 ноября 2010 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) (Оригинальная работа J. Céa)

• Джонсон, Клас (1987). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов . Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-34514-6 .

• Монах, Питер (2003). Методы конечных элементов для уравнений Максвелла . Издательство Оксфордского университета. ISBN   0-19-850888-3 .

• Roos, H.-G .; Stynes, M .; Тобиска, Л. (1996). Численные методы для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений: задачи конвекции-диффузии и обтекания . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   3-540-60718-8 .

• Eriksson, K .; Estep, D .; Hansbo, P .; Джонсон, К. (1996). Вычислительные дифференциальные уравнения . Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-56738-6 .

• Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: приложения к математической физике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   0-387-94442-7 .

• Бреннер, Сюзанна К .; Л. Риджуэй Скотт (2002). Математическая теория методов конечных элементов (2-е изд.). ISBN   0-387-95451-1 . OCLC   48892839 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Чиарле, Филипп Г. (2002). Метод конечных элементов для эллиптических задач ((переиздание SIAM Classics) под ред.). ISBN   0-89871-514-8 . OCLC   48892573 .