Уравнение Борна – Ланде - Born–Landé equation

Уравнение Борна – Ланде - это средство расчета энергии решетки кристаллического ионного соединения . В 1918 году Макс Борн и Альфред Ланде предложили, что энергия решетки может быть получена из электростатического потенциала ионной решетки и члена потенциальной энергии отталкивания.

${\ displaystyle E = - {\ frac {N_ {A} Mz ^ {+} z ^ {-} e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r_ {0}}} \ left (1 - {\ frac {1} {n}} \ right)}$

где:

• N _A = постоянная Авогадро ;
• M = постоянная Маделунга , относящаяся к геометрии кристалла;
• z ⁺ = числовое число заряда катиона
• z ^- = числовое число заряда аниона
• e = элементарный заряд , 1,6022 × 10 ⁻¹⁹ Кл
• ε ₀ = диэлектрическая проницаемость свободного пространства

  4π ε ₀ = 1,112 × 10 ^-10 C ² / (Дж · м)

• r ₀ = расстояние до ближайшего иона
• n = показатель Борна, обычно число от 5 до 12, определяется экспериментально путем измерения сжимаемости твердого тела или вычисляется теоретически.

Вывод

Ионная решетка моделируется как сборка твердых упругих сфер, которые сжимаются вместе за счет взаимного притяжения электростатических зарядов к ионам. Они достигают наблюдаемого равновесного расстояния друг от друга из-за уравновешивающего отталкивания на коротком расстоянии.

Электростатический потенциал

Электростатическая потенциальная энергия E _пара между парой ионов с одинаковым и противоположным зарядом равна:

${\ displaystyle E _ {\ text {pair}} = - {\ frac {z ^ {2} e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}}}$

где

z = величина заряда на одном ионе

e = элементарный заряд, 1,6022 × 10 ⁻¹⁹ Кл

ε ₀ = диэлектрическая проницаемость свободного пространства

4 π ε ₀ = 1,112 × 10 ⁻¹⁰ C ² / (Дж · м)

r = расстояние между ионными центрами

Для простой решетки, состоящей из ионов с равным и противоположным зарядом в соотношении 1: 1, взаимодействия между одним ионом и всеми другими ионами решетки необходимо суммировать для расчета E _M , иногда называемого энергией Маделунга или энергией решетки:

${\ displaystyle E _ {\ text {M}} = - {\ frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}}}$

где

M = постоянная Маделунга , которая связана с геометрией кристалла.

r = ближайшее расстояние между двумя ионами противоположного заряда

Отталкивающий термин

Борн и Ланде предположили, что отталкивающее взаимодействие между ионами решетки будет пропорционально 1/r ⁿтак что член энергии отталкивания E _R будет выражен:

${\ displaystyle E _ {\ text {R}} = {\ frac {B} {r ^ {n}}}}$

где

B = постоянное масштабирование силы отталкивающего взаимодействия

r = ближайшее расстояние между двумя ионами противоположного заряда

n = показатель Борна, число от 5 до 12, выражающее крутизну барьера отталкивания

Общая энергия

Таким образом, полная интенсивная потенциальная энергия иона в решетке может быть выражена как сумма потенциалов Маделунга и отталкивания:

${\ displaystyle E (r) = - {\ frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}} + {\ frac {B} {r ^ {n }}}}$

Минимизация этой энергии по отношению к r дает равновесное разделение r ₀ в терминах неизвестной константы B :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} E} {\ mathrm {d} r}} & = {\ frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {2}}} - {\ frac {nB} {r ^ {n + 1}}} \\ 0 & = {\ frac {z ^ {2} e ^ {2} M } {4 \ pi \ epsilon _ {0} r_ {0} ^ {2}}} - {\ frac {nB} {r_ {0} ^ {n + 1}}} \\ r_ {0} & = \ left ({\ frac {4 \ pi \ epsilon _ {0} nB} {z ^ {2} e ^ {2} M}} \ right) ^ {\ frac {1} {n-1}} \\ B & = {\ frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4 \ pi \ epsilon _ {0} n}} r_ {0} ^ {n-1} \ end {выровнено}}}$

Оценивая минимальную интенсивную потенциальную энергию и подставляя выражение для B через r _0, получаем уравнение Борна – Ланде:

${\ displaystyle E (r_ {0}) = - {\ frac {Mz ^ {2} e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r_ {0}}} \ left (1 - {\ гидроразрыв {1} {n}} \ right)}$

Расчетные энергии решетки

Уравнение Борна – Ланде дает представление об энергии решетки системы.

Сложный	Рассчитано	Экспериментальный
NaCl	−756 кДж / моль	−787 кДж / моль
LiF	−1007 кДж / моль	−1046 кДж / моль
CaCl 2	−2170 кДж / моль	−2255 кДж / моль

Родился показатель степени

Показатель Борна обычно составляет от 5 до 12. Приблизительные экспериментальные значения перечислены ниже:

Ионная конфигурация	Он	Ne	Ar, Cu +	Kr, Ag +	Xe, Au +
п	5	7	9	10	12

Смотрите также

• Уравнение капустинского
• Уравнение Борна – Майера

Рекомендации