Произвольно большой - Arbitrarily large

В математике фразы « произвольно большой» , « сколь угодно малый» и « сколь угодно длинный» используются в утверждениях, чтобы прояснить тот факт, что объект большой, маленький и длинный с небольшими ограничениями или ограничениями соответственно. Использование «произвольно» часто встречается в контексте действительных чисел (и их подмножеств ), хотя его значение может отличаться от «достаточно» и «бесконечно».

Примеры

Заявление

" неотрицательно при произвольно большом ". ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$

это сокращение для:

«Для каждого вещественного числа , неотрицательна для некоторого значения больше , чем .» ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$

В просторечии термин «произвольно длинный» часто используется в контексте последовательности чисел. Например, утверждение, что существуют «сколь угодно длинные арифметические прогрессии простых чисел », не означает, что существует какая-либо бесконечно длинная арифметическая прогрессия простых чисел (ее нет) или что существует какая-либо конкретная арифметическая прогрессия простых чисел, которая в каком-то смысле «сколь угодно долго». Скорее, эта фраза используется для обозначения того факта, что независимо от того, насколько велико число , существует некоторая арифметическая прогрессия простых чисел как минимум длины . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Подобно произвольно большим, можно также определить фразу « справедливо для произвольно малых действительных чисел» следующим образом: ${\ Displaystyle P (x)}$

${\ displaystyle \ forall \ epsilon \ in \ mathbb {R} _ {+}, \, \ exists x \ in \ mathbb {R}: | x | <\ epsilon \ land P (x)}$

Другими словами:

Каким бы малым ни было число, будет число меньшее, чем оно имеет место. ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle P (x)}$

Произвольно большой против достаточно большого против бесконечно большого

Хотя это похоже, «произвольно большой» не эквивалентен « достаточно большой ». Например, хотя верно, что простые числа могут быть сколь угодно большими (поскольку их бесконечно много из-за теоремы Евклида ), неверно, что все достаточно большие числа являются простыми.

Другой пример: утверждение « неотрицательно для произвольно больших ». можно переписать как: ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {R} {\ mbox {,}} \ существует x \ in \ mathbb {R} {\ mbox {такой, что}} x> n \ land f (x) \ geq 0 }$

Однако, используя « достаточно большой », та же фраза становится:

${\ displaystyle \ существует п \ in \ mathbb {R} {\ mbox {такой, что}} \ forall x \ in \ mathbb {R} {\ mbox {,}} x> n \ Rightarrow f (x) \ geq 0 }$

Кроме того, «произвольно большой» также не означает « бесконечно большой ». Например, хотя простые числа могут быть сколь угодно большими, бесконечно большого простого числа не существует, поскольку все простые числа (как и все другие целые числа) конечны.

В некоторых случаях такие фразы, как «утверждение верно для произвольно большого », используются в первую очередь для выделения, например « верно для всех , независимо от того, насколько велико ». В этих случаях фраза «произвольно большой» не имеет значения, указанного выше (т. Е. «Каким бы большим ни было число, будет некоторое большее число, для которого все еще сохраняется»). Вместо этого использование в этом случае фактически является синонимом слова «все». ${\ Displaystyle P (x)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle P (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle P (x)}$

Смотрите также

• Достаточно большой
• Математический жаргон

Рекомендации