Модель абелевой кучи - Abelian sandpile model

Идентификационный элемент песчаной группы прямоугольной сетки. Желтые пиксели соответствуют вершинам, несущим три частицы, сиреневые - двум частицам, зеленые - одной и черные - нулю.

Абелева модель кучи песка , также известная как модель Бак-Тан-Wiesenfeld , был впервые обнаружен пример динамической системы , где отображаются самоорганизованную критичность . Его представили Пер Бак , Чао Тан и Курт Визенфельд в статье 1987 года.

Модель представляет собой клеточный автомат . В исходной формулировке каждый участок в конечной сетке имеет соответствующее значение, соответствующее уклону сваи. Этот уклон нарастает по мере того, как «песчинки» (или «щепки») случайным образом кладут на сваю, пока уклон не превысит определенное пороговое значение, когда это место обрушится, перенося песок на соседние участки, увеличивая их уклон. Бак, Тан и Визенфельд рассмотрели процесс последовательного случайного размещения песчинок на сетке; каждое такое размещение песка на определенном участке может не иметь никакого эффекта или может вызвать каскадную реакцию, которая затронет многие участки.

С тех пор модель изучалась на бесконечной решетке, на других (неквадратных) решетках и на произвольных графах (включая ориентированные мультиграфы). Это тесно связано с долларовой игрой , разновидностью игры в бросание фишек, введенной Биггсом.

Определение (прямоугольные сетки)

Модель кучи песка является клеточным автоматом , первоначально определенный на прямоугольной сетку ( шахматный ) от стандартной квадратной решетки . Каждой вершине ( стороне , полю ) сетки мы сопоставляем значение ( песчинки , уклон , частицы ) , называемое (начальной) конфигурацией кучи песка. ${\ Displaystyle N \ раз M}$${\ displaystyle \ Gamma \ subset \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle (х, у) \ в \ гамма}$${\ Displaystyle Z_ {0} (х, у) \ в \ {0,1,2,3 \}}$${\ displaystyle z_ {0} \ in \ {0,1,2,3 \} ^ {\ Gamma}}$

Тогда динамика автомата на итерации определяется следующим образом: ${\ Displaystyle я \ в \ mathbb {N}}$

1. Выберите случайную вершину в соответствии с некоторым распределением вероятностей (обычно равномерным).${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}) \ in \ Gamma}$
2. Добавьте одну песчинку в эту вершину, оставив номера зерен для всех остальных вершин неизменными, то есть установить и для всех .
   ${\ displaystyle z_ {i} (x_ {i}, y_ {i}) = z_ {i-1} (x_ {i}, y_ {i}) + 1}$
   ${\ Displaystyle Z_ {я} (х, у) = Z_ {я-1} (х, у)}$${\ Displaystyle (х, у) \ neq (х_ {я}, у_ {я})}$
3. Если все вершины стабильны , т.е. для всех , то также конфигурация называется устойчивой. В этом случае перейдите к следующей итерации.${\ Displaystyle Z_ {я} (х, у) <4}$${\ Displaystyle (х, у) \ в \ гамма}$${\ displaystyle z_ {i}}$
4. Если хотя бы одна вершина нестабильна , т. Е. Для некоторых , вся конфигурация называется неустойчивой. В этом случае выберите произвольно любую неустойчивую вершину . Переверните эту вершину, уменьшив ее количество зерен на четыре и увеличив количество зерен каждого из (максимум четыре) прямых соседей на единицу, то есть установить , и если . Если вершина на границе домена опрокидывается, это приводит к чистой потере зерен (два зерна в углу сетки, одно зерно в противном случае).${\ displaystyle z_ {я} (x_ {u}, y_ {u}) \ geq 4}$${\ displaystyle (x_ {u}, y_ {u}) \ in \ Gamma}$${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle (x_ {u}, y_ {u}) \ in \ Gamma}$
   ${\ displaystyle z_ {i} (x_ {u}, y_ {u}) \ rightarrow z_ {i} (x_ {u}, y_ {u}) - 4,}$
   ${\ displaystyle z_ {i} (x_ {u} \ pm 1, y_ {u} \ pm 1) \ rightarrow z_ {i} (x_ {u} \ pm 1, y_ {u} \ pm 1) +1}$${\ displaystyle (x_ {u} \ pm 1, y_ {u} \ pm 1) \ in \ Gamma}$
   
5. Из-за перераспределения зерен опрокидывание одной вершины может сделать другие вершины нестабильными. Таким образом, повторяйте процедуру опрокидывания до тех пор, пока все вершины в конечном итоге не станут стабильными, и продолжайте следующую итерацию.${\ displaystyle z_ {i}}$

Падение нескольких вершин за одну итерацию называется лавиной . Гарантируется, что каждая лавина в конце концов остановится, т. Е. После конечного числа опрокидываний достигается некоторая устойчивая конфигурация, при которой автомат определен правильно. Более того, хотя часто будет много возможных вариантов порядка опрокидывания вершин, окончательная стабильная конфигурация не зависит от выбранного порядка; в этом смысле куча абелева . Точно так же количество раз, когда каждая вершина опрокидывается во время каждой итерации, также не зависит от выбора порядка опрокидывания.

Определение (неориентированные конечные мультиграфы)

Чтобы обобщить модель песчаной кучи от прямоугольной сетки стандартной квадратной решетки до произвольного неориентированного конечного мультиграфа , указывается специальная вершина, называемая стоком, которая не может опрокидываться. Конфигурации (состояние) модели является функцией подсчета неотрицательного числа зерен на каждой без раковины вершины. Неполная вершина с ${\ Displaystyle G = (V, E)}$${\ displaystyle s \ in V}$${\ displaystyle z: V \ setminus \ {s \} \ rightarrow \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle v \ in V \ setminus \ {s \}}$

${\ Displaystyle Z (v) \ geq \ deg (v)}$

нестабильно; его можно опрокинуть, что отправит по одной крупице каждому из своих (не принимающих) соседей:

${\ Displaystyle z (v) \ к z (v) - \ deg (v)}$

${\ Displaystyle г (и) \ к г (и) +1}$для всех , .${\ displaystyle u \ sim v}$${\ displaystyle u \ neq s}$

Затем клеточный автомат работает, как и раньше, то есть путем добавления на каждой итерации одной частицы к случайно выбранной вершине, не являющейся стоком, и опрокидыванию до тех пор, пока все вершины не станут стабильными.

Приведенное выше определение модели песчаной кучи для конечных прямоугольных сеток стандартной квадратной решетки затем можно рассматривать как частный случай этого определения: рассмотрим граф, который получается из добавления дополнительной вершины, стока и рисования дополнительных ребер. от стока до каждой граничной вершины такого, что степень каждой вершины, не являющейся стоком, равна четырем. Таким образом, можно также определить на модели песочной кучи непрямоугольных решеток стандартной квадратной решетки (или любой другой решетке): Intersect некоторое ограниченное подмножество из с . Контракт каждое ребро из которого две конечные точки не в . Единственная оставшаяся вершина за пределами then составляет сток результирующего графа песочницы. ${\ displaystyle \ Gamma \ subset \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle G = (V, E)}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle S \ cap \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle S \ cap \ mathbb {Z} ^ {2}}$

Переходные и повторяющиеся конфигурации

В динамике автомата с песочницей, определенной выше, одни стабильные конфигурации ( для всех ) появляются бесконечно часто, в то время как другие могут появляться только конечное число раз (если вообще появляются). Первые называются повторяющимися конфигурациями , а вторые - переходными . Таким образом, повторяющиеся конфигурации состоят из всех стабильных неотрицательных конфигураций, которые могут быть достигнуты из любой другой стабильной конфигурации путем многократного добавления песчинок к вершинам и опрокидывания. Легко видеть, что минимально устойчивая конфигурация , в которой каждая вершина несет песчинки, достижима из любой другой стабильной конфигурации (добавьте зерна в каждую вершину). Таким образом, эквивалентно повторяющиеся конфигурации - это именно те конфигурации, которые могут быть достигнуты из минимально стабильной конфигурации, только добавляя песчинки и стабилизируя. ${\ Displaystyle 0 \ Leq Z (v) <4}$${\ Displaystyle v \ в G \ setminus \ {s \}}$ ${\ displaystyle z_ {m}}$${\ displaystyle z_ {m} (v) = deg (v) -1}$${\ Displaystyle deg (v) -z (v) -1 \ geq 0}$

Не всякая неотрицательная стабильная конфигурация повторяется. Например, в каждой модели кучи песка на графе, состоящем по крайней мере из двух связанных вершин, не являющихся раковиной, каждая устойчивая конфигурация, в которой обе вершины несут ноль песчинок, является неповторяющейся. Чтобы доказать это, сначала обратите внимание, что добавление песчинок может только увеличить общее количество песчинок, переносимых двумя вершинами вместе. Таким образом, чтобы достичь конфигурации, в которой обе вершины несут нулевые частицы из конфигурации, в которой это не так, необходимо выполнить шаги, на которых по крайней мере одна из двух вершин опрокидывается. Рассмотрим последний из этих шагов. На этом этапе одна из двух вершин должна опрокинуться последней. Поскольку при опрокидывании песчинка переносится в каждую соседнюю вершину, это означает, что общее количество песчинок, переносимых обеими вершинами вместе, не может быть меньше единицы, что завершает доказательство.

Песчаная группа

Учитывая конфигурацию , для всех , не опрокидывание нестабильной без погружения вершины на конечный связной графе , пока не неустойчивой без раковины вершины остается привожу к уникальной стабильной конфигурации , которая называется стабилизацией из . Имея две стабильные конфигурации и , мы можем определить операцию , соответствующую добавлению зерен по вершинам с последующей стабилизацией полученной кучи песка. ${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle г (v) \ в \ mathbb {N} _ {0}}$${\ Displaystyle v \ в G \ setminus \ {s \}}$${\ displaystyle z ^ {\ circ}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle w}$${\ Displaystyle г * вес: = (г + ш) ^ {\ circ}}$

Принимая во внимание произвольное , но фиксированное упорядочение не-поглотителей вершин, несколько свержением операций, которые могут , например , иметь место при стабилизации неустойчивой конфигурации, могут быть эффективно закодированы с использованием графа лапласиана , где есть матрица степени и является матрица смежности из график. Удаление строки и столбца, соответствующих стоку, дает лапласиан редуцированного графа . Затем, начиная с конфигурации и опрокидывая каждую вершину, в общей сложности получается конфигурация , где - продукт сжатия. Кроме того, если соответствует количеству раз, когда каждая вершина опрокидывается во время стабилизации данной конфигурации , то ${\ displaystyle \ Delta = DA}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta '}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} (v) \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle z- \ Delta '{\ boldsymbol {\ cdot}} ~ \ mathbf {x}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ cdot}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle z ^ {\ circ} = z- \ Delta '{\ boldsymbol {\ cdot}} ~ \ mathbf {x}}$

В этом случае это называется функцией опрокидывания или одометра (стабилизации ). ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle z}$

Под операцией , множество периодических конфигураций образует абелева группа , изоморфных коядру восстановленного графа лапласиана , т.е. , в результате чего обозначает число вершин (включая раковину). В более общем смысле, набор стабильных конфигураций (переходных и рекуррентных) образует коммутативный моноид при выполнении операции . Тогда минимальный идеал этого моноида изоморфен группе рекуррентных конфигураций. ${\ displaystyle *}$${\ displaystyle \ Delta '}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {n-1} / \ mathbf {Z} ^ {n-1} \ Delta '}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle *}$

Группа, образованная повторяющимися конфигурациями, а также группа, которой первая изоморфна, чаще всего называют группой песчаных куч . Другие общие названия той же группы - критическая группа , группа Якоби или (реже) группа Пикара . Обратите внимание, однако, что некоторые авторы обозначают только группу, образованную рекуррентными конфигурациями, как группу песочницы, оставляя за собой название якобиева группа или критическая группа для (изоморфной) группы, определенной (или для связанных изоморфных определений). Наконец, некоторые авторы используют название «группа Пикара» для обозначения прямого продукта группы кучи песка и , естественно, проявляется в клеточном автомате, тесно связанном с моделью кучи песка, и называется «запуском фишек» или «долларовой игрой». ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {n-1} / \ mathbf {Z} ^ {n-1} \ Delta '}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {n-1} / \ mathbf {Z} ^ {n-1} \ Delta '}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Учитывая изоморфизмы, указанные выше, порядок группы песочницы является определителем , который по теореме о матричном дереве равен количеству остовных деревьев графа. ${\ displaystyle \ Delta '}$

Самоорганизованная критичность

Первоначальный интерес к модели обусловлен тем фактом, что при моделировании на решетках ее привлекает ее критическое состояние , в котором корреляционная длина системы и время корреляции системы стремятся к бесконечности без какой-либо тонкой настройки системный параметр. Это контрастирует с более ранними примерами критических явлений, таких как фазовые переходы между твердым телом и жидкостью или жидкостью и газом, где критическая точка может быть достигнута только путем точной настройки (например, температуры). Следовательно, в модели кучи песка мы можем сказать, что критичность самоорганизована .

Когда модель песчаной кучи достигает своего критического состояния, корреляция между реакцией системы на возмущение и деталями возмущения отсутствует. Обычно это означает, что падение еще одной песчинки на сваю может ничего не вызвать или может привести к обрушению всей сваи в результате массивного оползня. Модель также показывает 1 / ƒ шум , Общие для многих сложных систем в природе.

Эта модель отображает критическое поведение только в двух или более измерениях. Модель песчаной кучи может быть выражена в 1D; однако, вместо того, чтобы развиваться до своего критического состояния, одномерная модель песчаной кучи достигает минимально устойчивого состояния, когда каждый узел решетки приближается к критическому уклону.

Для двух измерений была выдвинута гипотеза, что соответствующая конформная теория поля состоит из симплектических фермионов с центральным зарядом c  = −2.

Характеристики

Принцип наименьшего действия

Стабилизация конфигураций микросхем подчиняется принципу наименьшего действия : каждая вершина опрокидывается не больше, чем необходимо в процессе стабилизации. Это можно формализовать следующим образом. Назовите последовательность опрокидываний допустимой, если она только опрокидывает нестабильные вершины, и стабилизирующей, если она приводит к стабильной конфигурации. Стандартный способ стабилизации песчаной кучи - найти максимальную законную последовательность; то есть, опрокидывая до тех пор, пока это возможно. Такая последовательность, очевидно, является стабилизирующей, и абелевым свойством песочной кучи является то, что все такие последовательности эквивалентны с точностью до перестановки порядка опрокидывания; то есть для любой вершины число опрокидываний одинаково во всех разрешенных стабилизирующих последовательностях. Согласно принципу наименьшего действия, минимальная стабилизирующая последовательность также эквивалентна перестановке порядка опрокидывания на допустимую (и все еще стабилизирующую) последовательность. В частности, конфигурация, полученная в результате минимальной стабилизирующей последовательности, такая же, как и в результате максимальной правовой последовательности. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$

Более формально, если это вектор такой, что это количество раз, когда вершина опрокидывается во время стабилизации (путем опрокидывания нестабильных вершин) конфигурации микросхемы , и является интегральным вектором (не обязательно неотрицательным) таким, что является стабильным, затем для всех вершин . ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} (v)}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$${\ displaystyle z- \ mathbf {n} \ Delta '}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} (v) \ leq \ mathbf {n} (v)}$${\ displaystyle v}$

Пределы масштабирования

Анимация идентичности песчаной кучи на квадратных сетках увеличивающегося размера. Черным цветом обозначены вершины с 0 зернами, зеленым - 1, фиолетовым - 2, а золотым - 3.

Анимация показывает повторяющуюся конфигурацию, соответствующую идентичности группы песчаных куч, на разных квадратных сетках увеличивающихся размеров , в результате чего конфигурации масштабируются, чтобы всегда иметь один и тот же физический размер. Визуально идентичности на более крупных сетках, кажется, становятся все более и более детализированными и «сходятся в непрерывное изображение». Математически это предполагает существование пределов масштабирования идентичности песочницы на квадратных сетках, основанных на понятии слабой * сходимости (или некотором другом обобщенном понятии сходимости). Действительно, существование пределов масштабирования повторяющихся конфигураций песчаных куч было доказано Уэсли Пегденом и Чарльзом Смартом. В дальнейшей совместной работе с Лайонелом Левином они использовали предел масштабирования для объяснения фрактальной структуры песчаной кучи на квадратных сетках. ${\ Displaystyle N \ раз N}$${\ displaystyle N \ geq 1}$

Обобщения и родственные модели

Модели песчаных куч на бесконечных сетках

30 миллионов зерен упали на участок бесконечной квадратной сетки, а затем опрокинулись в соответствии с правилами модели кучи песка. Белым цветом обозначены участки с 0 зернами, зеленым - 1, фиолетовым - 2, золотым - 3. Ограничивающая рамка - 3967 × 3967.

Существует несколько обобщений модели кучи песка на бесконечные сетки. Проблема в таких обобщениях состоит в том, что, как правило, больше не гарантируется, что каждая лавина в конечном итоге остановится. Таким образом, некоторые обобщения рассматривают только стабилизацию конфигураций, для которых это может быть гарантировано.

Довольно популярная модель на (бесконечной) квадратной решетке с узлами определяется следующим образом: ${\ Displaystyle (х, у) \ в \ mathbb {Z} ^ {2}}$

Начните с некоторой неотрицательной конфигурации значений, которая является конечной, что означает ${\ Displaystyle г (х, у) \ в \ mathbf {Z}}$

${\ displaystyle \ sum _ {x, y} z (x, y) <\ infty.}$

Любой сайт с ${\ Displaystyle (х, у)}$

${\ Displaystyle г (х, у) \ geq 4}$

является неустойчивым и может опрокинуть (или огнь ), посылая одну из своих фишек на каждого из своих четырех соседей:

${\ Displaystyle Z (x, y) \ rightarrow z (x, y) -4,}$

${\ Displaystyle Z (х \ pm 1, y) \ rightarrow z (x \ pm 1, y) +1,}$

${\ displaystyle z (x, y \ pm 1) \ rightarrow z (x, y \ pm 1) +1.}$

Поскольку исходная конфигурация конечна, процесс гарантированно завершится, и зерна разлетятся наружу.

Популярный частный случай этой модели дается, когда начальная конфигурация равна нулю для всех вершин, кроме начала координат. Если в начале координат находится огромное количество песчинок, конфигурация после релаксации образует фрактальные узоры (см. Рисунок). Когда исходное количество зерен в начале координат стремится к бесконечности, было показано, что масштабированные стабилизированные конфигурации сходятся к уникальному пределу.

Модели песочницы на ориентированных графах

Модель песчаной кучи может быть обобщена на произвольно ориентированные мультиграфы. Правила таковы, что любая вершина с ${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle г (v) \ geq \ deg ^ {+} (v)}$

нестабильно; опрокидывание снова отправляет фишки каждому из своих соседей, по одной на каждом исходящем ребре:

${\ Displaystyle Z (v) \ rightarrow z (v) - \ deg ^ {+} (v) + \ deg (v, v)}$

и для каждого : ${\ Displaystyle и \ neq v}$

${\ Displaystyle Z (U) \ rightarrow Z (U) + \ deg (v, u)}$

где - количество ребер от до . ${\ Displaystyle \ deg (v, u)}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$

В этом случае матрица Лапласа не является симметричной. Если мы укажем сток так , что есть путь от каждой другой вершины до , тогда операция стабилизации на конечных графах будет корректно определена и группа песочницы может быть записана ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {n-1} / \ mathbf {Z} ^ {n-1} \ Delta '}$

как прежде.

Порядок группы песочницы снова является определителем , который согласно общей версии теоремы о матричном дереве представляет собой количество ориентированных остовных деревьев, укорененных в сток. ${\ displaystyle \ Delta '}$

Расширенная модель песчаной кучи

Динамика песчаной насыпи, индуцированная гармонической функцией H = x * y на квадратной сетке 255x255.

Чтобы лучше понять структуру группы песчаных куч для различных конечных выпуклых сеток стандартной квадратной решетки , Ланг и Школьников представили расширенную модель песчаной кучи в 2019 году. Расширенная модель песчаной кучи определяется почти так же, как и обычная модель песчаной кучи (т. Е. Исходная Модель Бак – Танга – Визенфельда), за исключением того, что вершины на границе сетки теперь могут нести неотрицательное действительное число зерен. Напротив, вершины внутри сетки по-прежнему могут нести только целое число зерен. Правила опрокидывания остаются неизменными, т.е. предполагается, что как внутренние, так и граничные вершины становятся нестабильными и опрокидываются, если количество зерен достигает или превышает четыре. ${\ displaystyle \ Gamma \ subset \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ partial \ Gamma}$

Кроме того, повторяющиеся конфигурации расширенной модели песчаной кучи образуют абелеву группу, называемую расширенной группой песчаных куч , из которой обычная группа песчаных кучек является дискретной подгруппой . Однако, в отличие от обычной группы песчаных кучек, расширенная группа кучек является непрерывной группой Ли . Так как она порождается только добавление зерна песка до границы сетки, расширенная группа , кроме того , имеет куч песка на топологию в виде тора размерности и объем данного порядка обычной песочной кучи группы. ${\ Displaystyle \ partial \ Gamma}$${\ displaystyle | \ partial \ Gamma |}$

Особый интерес представляет вопрос, как рекуррентные конфигурации динамически меняются вдоль непрерывных геодезических этого тора, проходящего через единицу. Этот вопрос приводит к определению динамики песчаной насыпи.

${\ displaystyle D_ {H} (t) = (It \ Delta H) ^ {\ circ}}$ (расширенная модель песчаной кучи)

соответственно

${\ Displaystyle {\ тильда {D}} _ {H} (t) = (I + \ lfloor -t \ Delta H \ rfloor) ^ {\ circ}}$ (обычная песочная модель)

индуцированный целочисленной гармонической функцией в момент времени , с идентичностью группы песочницы и функции пола. Для полиномиальных гармонических функций низкого порядка динамика песчаной кучи характеризуется плавным преобразованием и очевидным сохранением пятен, составляющих идентичность песчаной кучи. Например, гармоническая динамика, вызванная эффектом, напоминает «плавное растяжение» идентичности по основным диагоналям, визуализированное в анимации. Конфигурации, появляющиеся в динамике, индуцированной одной и той же гармонической функцией на квадратных сетках разного размера, кроме того, предположительно имеют слабую * сходимость, что означает, что для них предположительно существуют пределы масштабирования. Это предлагает естественную перенормировку для расширенных и обычных групп песочницы, означающую отображение повторяющихся конфигураций на заданной сетке в повторяющиеся конфигурации на подсетке. Неформально, эта перенормировка просто отображает конфигурации, появляющиеся в данный момент в динамике песчаной кучи, индуцированные некоторой гармонической функцией на большей сетке, в соответствующие конфигурации, которые одновременно появляются в динамике песчаной насыпи, вызванной ограничением на соответствующую подсетку. . ${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle \ lfloor. \ rfloor}$${\ displaystyle H = xy}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$

Делимая куча песка

Сильно связанной моделью является так называемая модель делимой песчаной кучи , представленная Левином и Пересом в 2008 году, в которой вместо дискретного числа частиц в каждом участке существует действительное число, представляющее количество массы на участке. Если такая масса отрицательна, то это можно понимать как дыру. Падение происходит всякий раз, когда сайт имеет массу больше 1; он равномерно распределяет излишки между своими соседями, что приводит к тому, что, если сайт заполнен в определенный момент , он будет заполнен и в дальнейшем. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle s (x)}$${\ displaystyle t}$

Культурные ссылки

Песчаная куча Бак-Танга-Визенфельда упоминалась в эпизоде Numb3rs «Буйство», как математик Чарли Эппс объясняет своим коллегам решение уголовного расследования.

Компьютерная игра Hexplode базируется на абелевой модели песочной кучи на конечной гексагональной сетки , где вместо случайного размещения зерна, зерна размещаются игроками.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Пер Бак (1996). Как работает природа: наука самоорганизованной критичности . Нью-Йорк: Коперник. ISBN 978-0-387-94791-4.
• Пер Бак; Чао Тан; Курт Визенфельд (1987). «Самоорганизованная критичности: объяснение 1 / ƒ шум». Письма с физическим обзором . 59 (4): 381–384. Bibcode : 1987PhRvL..59..381B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.59.381 . PMID  10035754 .
• Пер Бак; Чао Тан; Курт Визенфельд (1988). «Самоорганизованная критичность». Physical Review . 38 (1): 364–374. Bibcode : 1988PhRvA..38..364B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.38.364 . PMID  9900174 .
• Кори, Роберт; Россин, Доминик; Салви, Бруно (2002). «Полиномиальные идеалы для песчаных куч и их оснований Грёбнера» (PDF) . Теор. Comput. Sci . 276 (1-2): 1-15. DOI : 10.1016 / S0304-3975 (00) 00397-2 . Zbl  1002.68105 .
• Кливанс, Кэролайн (2018). Математика запуска чипов . CRC Press.
• Перкинсон, Дэвид; Перлман, Джейкоб; Уилмс, Джон (2013). «Алгебраическая геометрия кучи». В Амини, Омид; Бейкер, Мэтью; Фабер, Ксандер (ред.). Тропическая и неархимедова геометрия. Бэллерс семинар по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрия, Бэллерс научно - исследовательский институт, Holetown, Барбадос, США, май 6-13, 2011 . Современная математика. 605 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 211–256. CiteSeerX  10.1.1.760.283 . DOI : 10.1090 / conm / 605/12117 . ISBN 978-1-4704-1021-6. S2CID  7851577 . Zbl  1281.14002 .

внешние ссылки

• Гарсия-Пуэнте, Луис Давид. «Песчаные сваи» (видео на YouTube) . YouTube . Брэди Харан . Проверено 15 января 2017 года .
• Элленберг, Иордания (2021-10-06). «Математика удивительной кучи песка» . Nautilus Quarterly .