Формулы Виета - Vieta's formulas

В математике , формулы Виета являются формулы , связывающие коэффициенты матрицы А многочлена для сумм и продуктов его корней . Названные в честь Франсуа Виэта (чаще называемого латинизированной формой его имени, «Франциск Виета»), формулы используются специально в алгебре .

Основные формулы

Любой общий многочлен степени n

${\ Displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

(с коэффициентами, являющимися действительными или комплексными числами и a _n 0 ), согласно фундаментальной теореме алгебры, имеет n (не обязательно различных) комплексных корней r ₁ , r ₂ , ..., r _n . Формулы Виета связывают коэффициенты полинома со знаковыми суммами произведений корней r ₁ , r ₂ , ..., r _n следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {cases} r_ {1} + r_ {2} + \ dots + r_ {n-1} + r_ {n} = - {\ dfrac {a_ {n-1}} {a_ {n) }}} \\ (r_ {1} r_ {2} + r_ {1} r_ {3} + \ cdots + r_ {1} r_ {n}) + (r_ {2} r_ {3} + r_ {2 } r_ {4} + \ cdots + r_ {2} r_ {n}) + \ cdots + r_ {n-1} r_ {n} = {\ dfrac {a_ {n-2}} {a_ {n}} } \\ {} \ quad \ vdots \\ r_ {1} r_ {2} \ dots r_ {n} = (- 1) ^ {n} {\ dfrac {a_ {0}} {a_ {n}}} . \ end {case}}}$

Формулы Виета могут быть записаны в виде

${\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {k} r_ {i_ { j}} \ right) = (- 1) ^ {k} {\ frac {a_ {nk}} {a_ {n}}},}$

для k = 1, 2, ..., n (индексы i _k отсортированы в порядке возрастания, чтобы гарантировать, что каждый продукт k корней используется ровно один раз).

Левые части формул Виета - это элементарные симметричные многочлены от корней.

Обобщение на кольца

Формулы Виета часто используются с полиномами с коэффициентами в любой области целостности R . Затем факторгруппы принадлежат к кольцу фракций из R (и , возможно , находятся в R самого , если случается быть обратимы в R ) и корни берутся в алгебраически замкнутом расширении . Обычно R - это кольцо целых чисел , поле дробей - это поле рациональных чисел, а алгебраически замкнутое поле - это поле комплексных чисел . ${\ displaystyle a_ {i} / a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle r_ {i}}$

В этом случае полезны формулы Виета, поскольку они обеспечивают связь между корнями без необходимости их вычислять.

Для многочленов над коммутативным кольцом , которое не является областью целостности, формулы Виета действительны только тогда, когда - не делитель нуля и множители как . Например, в кольце целых чисел по модулю 8 многочлен имеет четыре корня: 1, 3, 5 и 7. Формулы Виета неверны, если, скажем, и , потому что . Однако фактор as и as , и формулы Виета верны, если мы установим либо and, либо and . ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ Displaystyle P (x)}$${\ displaystyle a_ {n} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \ dots (x-r_ {n})}$${\ Displaystyle Р (х) = х ^ {2} -1}$${\ displaystyle r_ {1} = 1}$${\ displaystyle r_ {2} = 3}$${\ Displaystyle Р (х) \ neq (х-1) (х-3)}$${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle (х-1) (х-7)}$${\ Displaystyle (х-3) (х-5)}$${\ displaystyle r_ {1} = 1}$${\ displaystyle r_ {2} = 7}$${\ displaystyle r_ {1} = 3}$${\ displaystyle r_ {2} = 5}$

Пример

Формулы Виета применимы к квадратичным и кубическим многочленам:

Корни этого квадратного многочлена удовлетворяют условию ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ ${\ Displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} = {\ frac {c} {a}}.}$

Первое из этих уравнений можно использовать для определения минимума (или максимума) P ; см. Квадратное уравнение § формулы Виета .

Корни этого кубического удовлетворяют условию ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}}$ ${\ displaystyle P (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} + r_ {3} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} + r_ {1} r_ {3} + r_ {2} r_ {3} = {\ frac {c} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} r_ {3} = - {\ frac {d} {a}}.}$

Доказательство

Формулы Виета можно доказать, разложив равенство

${\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = a_ {n} (x-r_ { 1}) (x-r_ {2}) \ cdots (x-r_ {n})}$

(что верно, поскольку все корни этого многочлена), умножая множители в правой части и идентифицируя коэффициенты каждой степени${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ dots, r_ {n}}$${\ displaystyle x.}$

Формально, если раскрыть, то термины - именно там, где либо 0, либо 1, соответственно, включены ли они в продукт или нет, а k - количество исключенных, поэтому общее количество факторов в продукте равно n (считая с кратностью k ) - поскольку существует n двоичных вариантов (включить или x ), существуют термины - геометрически их можно понимать как вершины гиперкуба. Группировка этих терминов по степени доходности элементарных симметрических полиномов - для й ^к , всех различных к -кратным продуктам${\ Displaystyle (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \ cdots (x-r_ {n}),}$${\ displaystyle (-1) ^ {nk} r_ {1} ^ {b_ {1}} \ cdots r_ {n} ^ {b_ {n}} x ^ {k},}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle x ^ {k}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle r_ {i}.}$

В качестве примера рассмотрим квадратичный . Сравнивая идентичные степени , мы находим , и , с помощью которых мы можем, например, идентифицировать и , которые являются формулой Виета для . ${\ Displaystyle е (х) = а_ {2} х ^ {2} + а_ {1} х + а_ {0} = а_ {2} (х-г_ {1}) (х-г_ {2}) = a_ {2} (x ^ {2} -x (r_ {1} + r_ {2}) + r_ {1} r_ {2})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a_ {2} = a_ {2}}$${\ displaystyle a_ {1} = - a_ {2} (r_ {1} + r_ {2})}$${\ displaystyle a_ {0} = a_ {2} (r_ {1} r_ {2})}$${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - a_ {1} / a_ {2}}$${\ displaystyle r_ {1} r_ {2} = a_ {0} / a_ {2}}$${\ displaystyle n = 2}$

История

Как видно из названия, формулы были открыты французским математиком XVI века Франсуа Виетом для случая положительных корней.

По мнению британского математика 18-го века Чарльза Хаттона , цитируемого Функхаузером, общий принцип (не только для положительных вещественных корней) впервые был понят французским математиком 17-го века Альбертом Жираром :

... [Жирар] был первым человеком, который понял общую доктрину образования коэффициентов степеней из суммы корней и их произведений. Он был первым, кто открыл правила суммирования степеней корней любого уравнения.

Смотрите также

• Личности Ньютона
• Элементарный симметричный многочлен
• Симметричный полином
• Содержание (алгебра)
• Свойства корней многочлена
• Теорема Гаусса – Лукаса
• Теорема о рациональном корне

использованная литература

• "Теорема Виэта" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Funkhouser, H. Gray (1930), "Краткое изложение истории симметричных функций корней уравнений", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi : 10.2307 / 2299273 , JSTOR  2299273
• Винберг, Е.Б. (2003), курс алгебры , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 0-8218-3413-4

• Джукич, Душан; и другие. (2006), Сборник IMO: сборник задач, предложенных для Международных математических олимпиад, 1959–2004 , Спрингер, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN 0-387-24299-6