Векторная модель атома - Vector model of the atom

В физике , в частности , квантовой механики , то вектор модель атома является моделью из атома в терминах углового момента . Его можно рассматривать как расширение модели атома Резерфорда – Бора – Зоммерфельда на многоэлектронные атомы.

Введение

Иллюстрация векторной модели орбитального углового момента.

Модель представляет собой удобное представление угловых моментов электронов в атоме. Угловой момент всегда делится на орбитальный L , спин S и общий J :

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}

Учитывая, что в квантовой механике угловой момент квантован и существует соотношение неопределенности для компонентов каждого вектора, представление оказывается довольно простым (хотя базовая математика довольно сложна). Геометрически это дискретный набор прямоугольных конусов без кругового основания, в котором оси всех конусов выстроены на одной общей оси, обычно это ось z для трехмерных декартовых координат. Ниже приводится предыстория этой конструкции.

Математические основы угловых моментов

Конусы спинового углового момента, показанные здесь для частицы со спином 1/2

Коммутатор подразумевает, что для каждого из L , S и J в любой момент времени может быть измерена только одна компонента любого вектора углового момента; в то же время два других неопределенны. Коммутатор любых двух операторов углового момента (соответствующих направлениям компонент) отличен от нуля. Ниже приводится краткое изложение математики, относящейся к построению векторной модели.

Коммутационные соотношения (с использованием соглашения о суммировании Эйнштейна ) следующие:

{\ displaystyle {\ begin {align} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} _ {b}] = я \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {L }} _ {c} \\ & [{\ hat {S}} _ {a}, {\ hat {S}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {S} } _ {c} \\\ конец {выровнено}}}

где

L = ( L ₁ , L ₂ , L ₃ ), S = ( S ₁ , S ₂ , S ₃ ) и J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) (они соответствуют L = ( L _x , L _y , L _z ), S = ( S _x , S _y , S _z ) и J = ( J _x , J _y , J _z ) в декартовых координатах),
a , b , c ∊ {1,2,3} - индексы, обозначающие компоненты угловых моментов
ε _abc - это 3-индексный тензор перестановок в трехмерном пространстве.

Величины L , S и J , однако могут быть измерены в то же время, поскольку коммутирования квадрата углового оператора импульса (полный результирующий, а не компоненты) с какой - либо одного компонентой равен нуль, так что одновременное измерение с , с и с удовлетворением: ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {S}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {S}} _ { a}, {\ hat {S}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {J}} _ {a}, {\ hat {J}} ^ {2}] = 0 \\\ конец {выровнен}}}

Величины удовлетворяют всем следующим условиям с точки зрения операторов и компонент вектора:

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ hat {L}} ^ {2} = {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {L} = L ^ {2} = L_ { x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat {S}} ^ {2} = {\ hat {S}} _ {x } ^ {2} + {\ hat {S}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {S}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf { S} \ cdot \ mathbf {S} = S ^ {2} = S_ {x} ^ {2} + S_ {y} ^ {2} + S_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat { J}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z } ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {J} = J ^ {2} = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2 } + J_ {z} ^ {2}, \\\ конец {выровнено}}}

и квантовые числа:

{\ displaystyle {\ begin {align} & | \ mathbf {L} | = \ hbar {\ sqrt {\ ell (\ ell +1)}}, \ quad L_ {z} = m _ {\ ell} \ hbar, \\ & | \ mathbf {S} | = \ hbar {\ sqrt {s (s + 1)}}, \ quad S_ {z} = m_ {s} \ hbar, \\ & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}}, \ quad J_ {z} = m_ {j} \ hbar, \\\ конец {выровнено}}}

где

${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell}$ , - азимутальное квантовое число ,
s , - спиновое квантовое число, присущее типу частицы,
j , - квантовое число полного углового момента ,

которые соответственно принимают значения:

{\ displaystyle {\ begin {align} & m _ {\ ell} \ in \ {- \ ell, - (\ ell -1) \ cdots \ ell -1, \ ell \}, \ quad \ ell \ in \ {0 , 1 \ cdots n-1 \} \\ & m_ {s} \ in \ {- s, - (s-1) \ cdots s-1, s \}, \\ & m_ {j} \ in \ {- j , - (j-1) \ cdots j-1, j \}, \\ & m_ {j} = m _ {\ ell} + m_ {s}, \ quad j = | \ ell + s | \\\ end { выровнено}}}

Эти математические факты предполагают континуум всех возможных угловых моментов для соответствующего заданного квантового числа:

Одно направление постоянно, два других - переменные.
Величина векторов должна быть постоянной (для заданного состояния, соответствующего квантовому числу), поэтому два неопределенных компонента каждого из векторов должны быть ограничены кругом таким образом, чтобы измеримые и неизмеримые компоненты ( в момент времени) позволяют правильно построить величины для всех возможных неопределенных компонентов.

Геометрический результат - конус векторов, вектор начинается на вершине конуса, а его вершина достигает окружности конуса. Обычно для измеряемой составляющей углового момента используется z-компонента, поэтому ось конуса должна быть осью z, направленной от вершины к плоскости, определяемой круговым основанием конуса, перпендикулярно плоскости. . Для разных квантовых чисел конусы разные. Таким образом, существует дискретное количество состояний, в которых могут быть угловые моменты, управляемые указанными выше возможными значениями для , s и j . Используя предыдущую настройку вектора как части конуса, каждое состояние должно соответствовать конусу. Это для увеличения , с , и J , и уменьшаются , S и J > Отрицательные квантовые числа соответствуют шишкам отраженных в й - у плоскости. Одно из этих состояний для квантового числа, равного нулю, явно не соответствует конусу, а только кругу в плоскости x - y . ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell}$

Число конусов ( в том числе вырожденного плоского круга) равно кратность состояний . ${\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ ell +1}$

Модель Бора

Это можно рассматривать как расширение модели Бора, потому что Нильс Бор также предложил, чтобы угловой момент был квантован в соответствии с:

{\ Displaystyle L = м \ hbar}

где m - целое число, дает правильные результаты для атома водорода. Хотя модель Бора не применима к многоэлектронным атомам, это было первое успешное квантование углового момента, примененное к атому, предшествующее векторной модели атома.

Сложение угловых моментов

Для одноэлектронных атомов (например, водорода) существует только один набор конусов для вращающегося электрона. Для многоэлектронных атомов существует много состояний из-за увеличения количества электронов.

Угловые моменты всех электронов в атоме складываются векторно . Большинство атомных процессов, как ядерных, так и химических (электронных), за исключением абсолютно стохастического процесса радиоактивного распада , определяются спариванием спинов и взаимодействием угловых моментов из-за соседних нуклонов и электронов. Термин «связь» в этом контексте означает суперпозицию векторов угловых моментов, то есть величины и направления складываются.

В многоэлектронных атомах векторная сумма двух угловых моментов равна:

{\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J} _ {1} + \ mathbf {J} _ {2} \, \!}

для z-компоненты прогнозируемые значения:

{\ Displaystyle J_ {z} = J_ {1z} + J_ {2z} \, \!}

где

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {J} _ {z} = m_ {j} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {1z} = m_ {j_ {1}} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {2z} = m_ {j_ {2}} \ hbar \\\ конец {выровнено}} \, \!}

и величины:

{\ displaystyle {\ begin {align} & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {1} | = \ hbar { \ sqrt {j_ {1} (j_ {1} +1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {2} | = \ hbar {\ sqrt {j_ {2} (j_ {2} +1) }} \\\ конец {выровнен}}}

в котором

{\ displaystyle j \ in \ {| j_ {1} -j_ {2} |, | j_ {1} -j_ {2} | -1 \ cdots j_ {1} + j_ {2} -1, j_ {1 } + j_ {2} \} \, \!}

Этот процесс может повторяться для третьего электрона, затем для четвертого и т. Д. До тех пор, пока не будет найден полный угловой момент.

LS муфта

Иллюстрация муфты LS. Полный угловой момент J - фиолетовый, орбиталь L - синий, а спин S - зеленый.

Процесс сложения всех угловых моментов вместе является трудоемкой задачей, поскольку результирующие импульсы не являются определенными, все конусы прецессирующих импульсов вокруг оси z должны быть включены в расчет. Это можно упростить с помощью некоторых разработанных приближений, таких как схема связи Рассела-Сондерса в связи LS , названная в честь Х. Н. Рассела и Ф. А. Сондерса (1925).

Смотрите также

использованная литература

Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание) , Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

дальнейшее чтение

Атомный теории многих тел , И. Линдгрен, Дж Morrison, Springer-Verlag Series в: Химическая физика , N ^O 13, 1982, ISBN, Graduate уровень монографии по теории многих тел в контексте углового момента, с большим упором на графическое представление и методы.
Демистификация квантовой механики , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл, 2005, ISBN 0-07-145546-9

Languages

In other projects