Векторный лапласиан - Vector Laplacian

В математике и физике , то вектор оператор Лапласа , обозначаемое , названный в честь Пьера-Симона Лапласа , является дифференциальный оператор , определенный над векторным полем . Векторный лапласиан аналогичен скалярному лапласиану . В то время как скалярный лапласиан применяется к скалярному полю и возвращает скалярную величину, векторный лапласиан применяется к векторному полю , возвращая векторную величину. При вычислении в ортонормированных декартовых координатах возвращаемое векторное поле равно векторному полю скалярного лапласиана. ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ применяется к каждому компоненту вектора.

Определение

Вектор лапласиана из векторного поля определяется как ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}).}

В декартовых координатах это сводится к гораздо более простой форме:

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = (\ nabla ^ {2} A_ {x}, \ nabla ^ {2} A_ {y}, \ nabla ^ {2} A_ {z}), }

где , и - компоненты . Можно увидеть, что это частный случай формулы Лагранжа; см. тройное произведение вектора . ${\ displaystyle A_ {x}}$ ${\ displaystyle A_ {y}}$ ${\ displaystyle A_ {z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Для выражения векторного лапласиана в других системах координат см. Del в цилиндрических и сферических координатах .

Обобщение

Лапласиан любого тензорного поля ( «тензор» включает в себя скалярное и векторное) определяется как дивергенции от градиента тензора: ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {T} = (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {T}.}

В частном случае, когда - скаляр (тензор нулевой степени), лапласиан принимает знакомый вид. ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

Если - вектор (тензор первой степени), градиент представляет собой ковариантную производную, которая приводит к тензору второй степени, и дивергенция этого снова является вектором. Формула для векторного лапласиана, приведенная выше, может использоваться, чтобы избежать тензорной математики, и может быть показана как эквивалентная дивергенции матрицы Якоби, показанной ниже для градиента вектора: ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ displaystyle \ nabla \ mathbf {T} = (\ nabla T_ {x}, \ nabla T_ {y}, \ nabla T_ {z}) = {\ begin {bmatrix} T_ {xx} & T_ {xy} & T_ { xz} \\ T_ {yx} & T_ {yy} & T_ {yz} \\ T_ {zx} & T_ {zy} & T_ {zz} \ end {bmatrix}}, {\ text {where}} T_ {uv} \ Equiv {\ frac {\ partial T_ {u}} {\ partial v}}.}

И таким же образом скалярное произведение, которое оценивается как вектор, вектора градиентом другого вектора (тензор 2-й степени) можно рассматривать как произведение матриц:

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} A_ {x} & A_ {y} & A_ {z} \ end {bmatrix}} \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {x} & \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {y} & \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {z} \ end { bmatrix}}.}

Эта идентичность является результатом, зависящим от координат, и не является общим.

Использование в физике

Примером использования векторного лапласиана являются уравнения Навье-Стокса для ньютоновского потока несжимаемой жидкости :

{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} \ right) = \ rho \ mathbf {f} - \ nabla p + \ mu \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ right),}

где член с вектором лапласианом скорости поля представляет собой вязкие напряжения в жидкости. ${\ displaystyle \ mu \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ right)}$