Дисперсионная декомпозиция ошибок прогноза - Variance decomposition of forecast errors

В эконометрике и других применений многомерного анализа временных рядов , A разложение дисперсии или разложение дисперсии ошибки прогноза ( FEVD ) используется для помощи в интерпретации вектора авторегрессии (VAR) модели , как только она была установлена. Дисперсия разложения указывает количество информации , каждая переменная вносит свой вклад других переменных в авторегрессии. Он определяет, насколько дисперсия ошибки прогноза каждой из переменных может быть объяснена экзогенными шоками для других переменных.

Расчет дисперсии ошибки прогноза

Для VAR (p) формы

${\ displaystyle y_ {t} = \ nu + A_ {1} y_ {t-1} + \ dots + A_ {p} y_ {tp} + u_ {t}}$ .

Это можно изменить на структуру VAR (1), записав ее в сопутствующей форме (см. Общую матричную нотацию VAR (p))

${\ Displaystyle Y_ {t} = V + AY_ {t-1} + U_ {t}}$ куда

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} A_ {1} & A_ {2} & \ dots & A_ {p-1} & A_ {p} \\\ mathbf {I} _ {k} & 0 & \ dots & 0 & 0 \\ 0 & \ mathbf {I} _ {k} && 0 & 0 \\\ vdots && \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & \ mathbf {I} _ {k} & 0 \\\ end {bmatrix}}}$, , И${\ Displaystyle Y = {\ begin {bmatrix} y_ {1} \\\ vdots \\ y_ {p} \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle V = {\ begin {bmatrix} \ nu \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}}$${\ Displaystyle U_ {t} = {\ begin {bmatrix} u_ {t} \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

где , и являются мерными векторами - столбцов, является по одномерной матрице и , и являются мерными векторами - столбцов. ${\ displaystyle y_ {t}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle kp}$${\ displaystyle kp}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle kp}$

Среднеквадратичная ошибка h-шагового прогноза переменной равна ${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle \ mathbf {MSE} [y_ {j, t} (h)] = \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} \ sum _ {l = 1} ^ {k} (e_ {j } '\ Theta _ {i} e_ {l}) ^ {2} = {\ bigg (} \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} \ Theta _ {i} \ Theta _ {i}' {\ bigg)} _ {jj} = {\ bigg (} \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} \ Phi _ {i} \ Sigma _ {u} \ Phi _ {i} '{\ bigg)} _ {jj},}$

и где

• ${\ displaystyle e_ {j}}$является j- ^м столбцом, а нижний индекс относится к этому элементу матрицы${\ displaystyle I_ {k}}$${\ displaystyle jj}$

• ${\ Displaystyle \ Theta _ {я} = \ Phi _ {я} P,}$где представляет собой нижнюю треугольную матрицу , полученный путем разложения Холецкого из таких , что , где есть ковариационная матрица ошибок ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Sigma _ {u}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {u} = PP '}$${\ displaystyle \ Sigma _ {u}}$${\ displaystyle u_ {t}}$

• ${\ displaystyle \ Phi _ {i} = JA_ {i} J ',}$где так , что это по двухмерной матрице.${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {I} _ {k} & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}},}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle kp}$

Величина дисперсии ошибки прогноза переменной, учитываемой экзогенными шоками, по отношению к переменной определяется выражением${\ displaystyle j}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ omega _ {jl, h},}$

${\ displaystyle \ omega _ {jl, h} = \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} (e_ {j} '\ Theta _ {i} e_ {l}) ^ {2} / MSE [ y_ {j, t} (h)].}$

Смотрите также

• Дисперсионный анализ

Примечания