Unum (числовой формат) - Unum (number format)

Unums ( универсальные числа ) - это семейство форматов и арифметики, аналогичное плавающей запятой , предложенное Джоном Л. Густафсоном . Они разработаны как альтернатива широко распространенному стандарту IEEE 754 для операций с плавающей запятой, и последняя версия (известная как posits ) может использоваться в качестве замены для программ, которые не зависят от конкретных функций IEEE 754.

Тип I Unum

Первая версия unums, теперь официально известная как Type I unum , была представлена ​​в его книге «Конец ошибки» как надмножество формата с плавающей запятой IEEE-754. Двумя определяющими особенностями формата unum типа I являются:

• формат хранения переменной ширины и для мантиссы и экспоненты , и
• U-бит , который определяет , является ли UNUM соответствует точному количеству ( у  = 0), или интервал между последовательным точным unums ( у  = 1). Таким образом, числа покрывают всю расширенную прямую вещественных чисел [−∞, + ∞].

Для выполнения вычислений с форматом Густафсон предлагает использовать интервальную арифметику с парой единиц, которую он называет ubound , обеспечивая гарантию того, что полученный интервал содержит точное решение.

Уильям М. Кахан и Джон Л. Густафсон обсуждали unums на конференции Arith23 .

Тип II Unum

Unums типа II были представлены в конце 2016 года как полная переработка Unums, нарушившая совместимость с IEEE-754.

Тип III Unum (положительный и действительный)

В феврале 2017 года Густафсон официально представил единицы типа III, которые состоят из позиций для фиксированных значений, подобных плавающей запятой, и валидов для интервальной арифметики .

Posit

Posits - это аппаратно-дружественная версия unum, в которой устранены трудности, с которыми сталкивался исходный тип I unum из-за его переменного размера. Положения аналогичного размера по сравнению с поплавками предлагают больший динамический диапазон и больше дробных битов для точности. В независимом исследовании Линдстром, Ллойд и Хиттингер из Ливерморской национальной лаборатории Лоуренса подтвердили, что по точности эти поплавки превосходят поплавки. Положения имеют особенно высокую точность в диапазоне, близком к единице, в котором происходит большинство вычислений. Это делает его очень привлекательным для современной тенденции в глубоком обучении минимизировать количество используемых битов. Это потенциально помогает любым приложениям достичь ускорения, позволяя использовать меньшее количество битов (поскольку у него больше дробных битов для точности), тем самым уменьшая пропускную способность сети и памяти, а также требования к мощности, и приближая нас на один шаг к экзафлопности .

Позиции имеют индекс переменного размера и битовые поля мантиссы, причем разделение определяется индикатором «режима». Густафсон утверждает, что они обеспечивают лучшую точность, чем стандартные числа с плавающей запятой, при этом занимая меньше битов.

Положения имеют формат, отличный от формата чисел с плавающей запятой IEEE 754. Они состоят из четырех частей: знака, режима, показателя степени и дроби (также известной как мантисса). Для n- битной позиции режим может иметь длину от 2 до ( n  - 1). Формат режима таков, что это повторение бита одного знака и завершается битом другого знака.

Пример 1:

В примере 1 показан режим с 14 битами с одинаковым знаком (бит 0), завершающимися битом с другим знаком (бит 1). Поскольку имеется 14 битов с одинаковым знаком, продолжительность режима составляет 14.

Пример 2 показывает режим с 3 битами одного знака (бит 1), завершающимися битом другого знака (бит 0). Поскольку имеется 3 бита с одинаковым знаком, продолжительность режима составляет 3.

Биты знака, экспоненты и дроби очень похожи на IEEE 754; однако позиция может опускать один или оба из битов экспоненты и дроби, оставляя позицию, которая состоит только из битов знака и режима. В примере 3 показана максимально возможная длина выполнения режима для 16-битного положения, где бит завершения режима, бит экспоненты и биты дроби превышают длину размера позиции. Пример 4 иллюстрирует наименьшую возможную длину выполнения 1 для 16-битной позиции с одним битом экспоненты (битовое значение = 1) и 12 дробными битами (битовое значение = 100000000001).

Рекомендуемые размеры позиций и соответствующие биты экспоненты и размеры запросов:

Примечание . Ожидается, что 32-битного posit будет достаточно для решения почти всех классов приложений.

Quire

Quire - одна из самых полезных функций posit. Это особый тип данных, который дает положению «почти бесконечное» количество битов для накопления скалярных произведений. Он основан на работе Ульриха В. Кулиша и Уилларда Л. Миранкера .

Действительный

Gustafson еще не опубликовал полную спецификацию валидов, но они описаны как режим Unum типа III, ограничивающий результаты в заданном диапазоне.

Реализации

Есть несколько программных и аппаратных реализаций posit от сообщества. Первый полностью параметризованный аппаратный генератор положительной арифметики был предложен в 2018 году.

Реализации Unum были исследованы в Julia . и MATLAB . Также предоставляется версия C ++ с поддержкой любых размеров позиций в сочетании с любым количеством битов экспоненты. Быстрая реализация на C SoftPosit, предоставленная исследовательской группой NGA на основе Berkeley SoftFloat, является последним дополнением к доступным программным реализациям.

SoftPosit

SoftPosit - это программная реализация позиций, основанная на Berkeley SoftFloat. Это позволяет программно сравнивать позиции и числа с плавающей запятой. В настоящее время он поддерживает

• Добавлять
• Вычесть
• Умножить
• Делить
• Слил-умножить-сложить
• Плавлен-точечный продукт (с quire)
• Квадратный корень
• Преобразование posit в целое число со знаком и без знака
• Преобразование знакового и беззнакового целого числа в положительное
• Преобразование позиции в другой размер позиции
• Меньше, равно, меньше, чем равно сравнение
• Округлить до ближайшего целого числа

Вспомогательные функции

• преобразовать двойное в положительное
• преобразовать posit в double
• привести беззнаковое целое число к положению

для 16-битных позиций с одним битом экспоненты и 8-битных позиций с нулевым битом экспоненты. Поддержка 32-битных позиций и гибкого типа (2-32 бита с двумя битами экспоненты) ожидает проверки правильности. В настоящее время поддерживает системы x86_64. Он был протестирован на GNU gcc (SUSE Linux) 4.8.5 Apple LLVM версии 9.1.0 (clang-902.0.39.2).

Примеры :

Добавить с posit8_t

#include "softposit.h"

int main (int argc, char *argv[]){

    posit8_t pA, pB, pZ;
    pA = castP8(0xF2);
    pB = castP8(0x23);

    pZ = p8_add(pA, pB);

    //To check answer by converting it to double
    double dZ = convertP8ToDouble(pZ);
    printf("dZ: %.15f\n", dZ);

    //To print result in binary (warning: non-portable code)
    uint8_t uiZ = castUI8(pZ);
    printBinary((uint64_t*)&uiZ, 8);

    return 0;
}

Слитное скалярное произведение с quire16_t

//Convert double to posit
posit16_t pA = convertDoubleToP16(1.02783203125 );
posit16_t pB = convertDoubleToP16(0.987060546875);
posit16_t pC = convertDoubleToP16(0.4998779296875);
posit16_t pD = convertDoubleToP16(0.8797607421875);

quire16_t qZ;

//Set quire to 0
qZ = q16_clr(qZ);

//accumulate products without roundings
qZ = q16_fdp_add(qZ, pA, pB);
qZ = q16_fdp_add(qZ, pC, pD);

//Convert back to posit
posit16_t pZ = q16_to_p16(qZ);

//To check answer
double dZ = convertP16ToDouble(pZ);

Критика

Уильям М. Кахан, главный разработчик IEEE 754-1985, критикует униумы типа I по следующим причинам (некоторые из них рассматриваются в стандартах типа II и типа III):

• Описание unums обходных шагов с использованием исчисления для решения физических задач.
• Unums может быть дорогостоящим с точки зрения времени и энергопотребления.
• Каждое вычисление в пространстве unum может изменить длину структуры в битах. Это требует либо распаковки их в пространство фиксированного размера, либо выделения, освобождения и сборки мусора во время операций unum, аналогично проблемам при работе с записями переменной длины в массовом хранилище.
• Unums предоставляет только два вида числовых исключений: тихое и сигнальное NaN (Not-a-Number).
• Вычисление Unum может дать слишком слабые границы от выбора алгебраически правильного, но численно нестабильного алгоритма.
• Затраты и преимущества unum по сравнению с плавающей запятой с короткой точностью для задач, требующих низкой точности, не очевидны.
• Решение дифференциальных уравнений и вычисление интегралов с помощью unums гарантируют правильные ответы, но могут быть не такими быстрыми, как обычно работающие методы.

Смотрите также

• Карлсруэ Точная арифметика (KAA)
• Q (числовой формат)
• Значимые фигуры
• Устранение ошибок с плавающей точкой
• Гамма (γ) код Элиаса
• Коническая плавающая точка (TFP)

использованная литература

дальнейшее чтение

• Густафсон, Джон Л. (март 2013 г.). «Точность правильного размера: неограниченные вычисления: необходимость обеспечения точности правильного размера для экономии энергии, пропускной способности, хранилища и электроэнергии» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 06.06.2016 . Проверено 6 июня 2016 .
• Брюкнер, Рич (2015-03-02). «Слайдкаст: Джон Густафсон объясняет энергоэффективные универсальные вычисления» . Богатый отчет . Внутри HPC. Архивировано 10 июля 2016 года . Проверено 10 июня 2016 .
• Густафсон, Джон Л. (2015). «Конец числовой ошибки» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 06.06.2016 . Проверено 6 июня 2016 .
• Густафсон, Джон Л. (2016-06-03) [2016-02-22]. «Радикальный подход к вычислениям с действительными числами - Unums версии 2.0» (PPT). Архивировано 10 июля 2016 года . Проверено 10 июля 2016 .(NB. PDF-файлы поставляются без примечаний: [5] [6] )
• Густафсон, Джон Л. (2016-06-06). «Энергоэффективный и массово-параллельный подход к действительным числам» (PPT). OCRAR семинар. Архивировано 10 июля 2016 года . Проверено 10 июля 2016 . [7] [8]
• Густафсон, Джон Л. (2016). «Радикальный подход к вычислениям с действительными числами» (PDF) . SuperFri.org. Архивировано (PDF) из оригинала 10.07.2016 . Проверено 10 июля 2016 .
• Кулиш, Ульрих В. (2015). «Современная интервальная арифметика от закрытых интервалов до связанных наборов действительных чисел» (PDF) (препринт). Institut für Angewandte und Numerische Mathematik - Технологический институт Карлсруэ (KIT), Германия. ID 15/02. Архивировано (PDF) из оригинала на 2016-07-12 . Проверено 12 июля 2016 .
• Рис, Томас (2016-03-10). «Unum - целесообразное расширение IEEE 754» (PDF) (презентация). Лондонский университет Саут-Бэнк (LSBU), Великобритания: Институт информатики и автоматизации (IIA), факультет EEE & CS, Бременский университет прикладных наук , Германия. Архивировано (PDF) из оригинала на 2016-07-12 . Проверено 12 июля 2016 .
• Кахан, Уильям М. (15.07.2016). «Комментарии профессора В. Кахана к арифметике SORN» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала на 2016-08-01 . Проверено 1 августа 2016 .
• Хунхолд, Ласло (2016-11-08). Формат числа Unum: математические основы, реализация и сравнение с числами с плавающей запятой IEEE 754 (PDF) (дипломная работа бакалавра). Universität zu Köln , Mathematisches Institut. arXiv : 1701.00722v1 . Архивировано (PDF) из оригинала 07.01.2017 . Проверено 23 октября 2016 .
• Стербенз, Пэт Х. (1974-05-01). Вычисление с плавающей точкой . Серия Прентис-Холла в автоматических вычислениях (1-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис Холл . ISBN 0-13-322495-3.
• Пещера, Скип (2016-08-17). «Реализация языка программирования J 3-битных, 4-битных, 8-битных и 16-битных единиц точности» . Проверено 3 мая 2017 .(Ссылка для скачивания Роджера Стоукса: http://www.learningj.com/unumslab.zip )
• Инголе, Дипак (28.09.2017). Встроенная реализация явного прогнозного управления моделью (кандидатская диссертация). Словацкий технологический университет в Братиславе , Словакия.

внешние ссылки

• «Конференция по арифметике нового поколения (CoNGA)» . 2017. Архивировано 4 ноября 2017 года . Проверено 4 ноября 2017 .
• «СофтПозит» . 2018 . Проверено 13 июня 2018 .
• «Вклад исходного кода сообщества» . 2018 . Проверено 13 июня 2018 .
• «Анатомия положительного числа» . 2018-04-11 . Проверено 9 августа 2019 .