Поперечный (геометрия) - Transversal (geometry)

В геометрии , A трансверсально является линией , которая проходит через две строки в одной и той же плоскости в двух различных точках . Трансверсали играют определенную роль в установлении того , два или более других линий в евклидовой плоскости являются параллельными . Пересечения трансверсали с двумя линиями создают различные типы пар углов: последовательные внутренние углы , последовательные внешние углы , соответствующие углы и альтернативные углы . Как следствие постулата о параллельности Евклида , если две прямые параллельны, последовательные внутренние углы являются дополнительными , соответствующие углы равны, а альтернативные углы равны.


Восемь углов трансверсали. ( Вертикальные углы, такие как и ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ всегда совпадают.)		Поперечный между непараллельными линиями. Последовательные углы не являются дополнительными.	Поперечный между параллельными линиями. Последовательные углы являются дополнительными.

Углы поперечного

Трансверсаль дает 8 углов, как показано на графике слева вверху:

4 с каждой из двух линий, а именно α, β, γ и δ, а затем α ₁ , β ₁ , γ ₁ и δ ₁ ; а также
4 из которых являются внутренними (между двумя линиями), а именно α, β, γ ₁ и δ ₁ и 4 из которых являются внешними , а именно α ₁ , β ₁ , γ и δ.

Трансверсаль, которая разрезает две параллельные линии под прямым углом , называется перпендикулярной трансверсалью . В этом случае все 8 углов прямые.

Когда прямые параллельны , что часто рассматривается, трансверсаль дает несколько совпадающих и несколько дополнительных углов . Некоторые из этих пар углов имеют определенные имена и обсуждаются ниже: соответствующие углы, альтернативные углы и последовательные углы.

Альтернативные углы

Одна пара альтернативных углов. С параллельными линиями они совпадают.

Альтернативные углы - это четыре пары углов, которые:

имеют различные точки вершин ,
лежат по разные стороны от поперечного и
оба угла являются внутренними или оба угла являются внешними.

Если два угла одной пары совпадают (равны по мере), то углы каждой из других пар также совпадают.

Предложение 1.27 Элементов Евклида , теорема абсолютной геометрии (следовательно, действительная как в гиперболической, так и в евклидовой геометрии ), доказывает, что если углы пары альтернативных углов трансверсали совпадают, то две прямые параллельны (не пересекаются).

Из постулата о параллельности Евклида следует, что если две прямые параллельны, то углы пары чередующихся углов трансверсали конгруэнтны (Предложение 1.29 Элементов Евклида ).

Соответствующие углы

Одна пара соответствующих углов. С параллельными линиями они совпадают.

Соответствующие углы - это четыре пары углов, которые:

имеют различные точки вершин,
лежать по одну сторону от поперечного и
один угол внутренний, а другой внешний.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда два угла любой пары соответствующих углов любой трансверсали конгруэнтны (равны по мере).

Предложение 1.28 Элементов Евклида , теорема абсолютной геометрии (следовательно, действительная как в гиперболической, так и в евклидовой геометрии ), доказывает, что если углы пары соответствующих углов трансверсали совпадают, то две прямые параллельны (не пересекаются).

Из постулата о параллельности Евклида следует, что если две прямые параллельны, то углы пары соответствующих углов трансверсали конгруэнтны (Предложение 1.29 Элементов Евклида ).

Если углы одной пары соответствующих углов совпадают, то углы каждой из других пар также совпадают. На различных изображениях с параллельными линиями на этой странице соответствующие пары углов: α = α ₁ , β = β ₁ , γ = γ ₁ и δ = δ ₁ .

Последовательные внутренние углы

Одна пара последовательных углов. С параллельными линиями они складывают до двух прямых углов.

Последовательные внутренние углы - это две пары углов, которые:

имеют различные точки вершин,
лежать по одну сторону от поперечного и
оба внутренние.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда два угла любой пары последовательных внутренних углов любой трансверсали являются дополнительными (в сумме 180 °).

Предложение 1.28 Элементов Евклида , теорема абсолютной геометрии (следовательно, действительная как в гиперболической, так и в евклидовой геометрии ), доказывает, что если углы пары последовательных внутренних углов являются дополнительными, то две прямые параллельны (не пересекаются).

Из постулата о параллельности Евклида следует, что если две прямые параллельны, то углы пары последовательных внутренних углов трансверсали являются дополнительными (Предложение 1.29 Элементов Евклида ).

Если одна пара последовательных внутренних углов является дополнительной, другая пара также является дополнительной.

Другие характеристики трансверсалей

Если три прямые в общем положении образуют треугольник, затем разрезаются трансверсалью, длины шести результирующих отрезков удовлетворяют теореме Менелая .

Связанные теоремы

Формулировка Евклида постулата параллельности может быть выражена в терминах трансверсали. В частности, если внутренние углы на одной стороне трансверсали меньше двух прямых углов, линии должны пересекаться. Фактически, Евклид использует ту же фразу по-гречески, что обычно переводится как «поперечный».

Предложение 27 Евклида гласит, что если трансверсаль пересекает две прямые, так что чередующиеся внутренние углы совпадают, то прямые параллельны. Евклид доказывает это противоречием : если прямые не параллельны, они должны пересекаться, и образуется треугольник. Тогда один из альтернативных углов является внешним углом, равным другому углу, который является противоположным внутренним углом в треугольнике. Это противоречит предложению 16, которое гласит, что внешний угол треугольника всегда больше, чем противоположные внутренние углы.

Предложение Евклида 28 расширяет этот результат двумя способами. Во-первых, если трансверсаль пересекает две прямые, так что соответствующие углы совпадают, то прямые параллельны. Во-вторых, если трансверсаль пересекает две прямые, так что внутренние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, тогда прямые параллельны. Они следуют из предыдущего предложения, если применить тот факт, что противоположные углы пересекающихся прямых равны (Предложение 15) и что смежные углы на прямой являются дополнительными (Предложение 13). Как отмечает Прокл , Евклид дает только три из шести возможных таких критериев для параллельных прямых.

Предложение 29 Евклида является обратным двум предыдущим. Во-первых, если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то альтернативные внутренние углы совпадают. Если нет, то один угол больше другого, что означает, что его добавка меньше, чем добавка другого угла. Это означает, что на одной стороне трансверсали есть внутренние углы, которые меньше двух прямых углов, что противоречит пятому постулату. Предложение продолжается, утверждая, что на трансверсале двух параллельных прямых соответствующие углы конгруэнтны, а внутренние углы на одной стороне равны двум прямым углам. Эти утверждения следуют так же, как предложение 28 следует из предложения 27.

Доказательство Евклида существенно использует пятый постулат, однако современные трактовки геометрии вместо этого используют аксиому Плейфэра . Чтобы доказать предложение 29 в предположении аксиомы Плейфэра, пусть трансверсаль пересекает две параллельные прямые, и предположим, что чередующиеся внутренние углы не равны. Проведите третью линию через точку, где трансверсаль пересекает первую линию, но под углом, равным углу, который образует трансверсаль со второй линией. В результате через точку проходят две разные линии, обе параллельны другой прямой, что противоречит аксиоме.

В высших измерениях

В пространствах с более высокой размерностью линия, которая пересекает каждую из набора прямых в различных точках, является трансверсалью этого набора прямых. В отличие от двумерного (плоского) случая наличие трансверсалей не гарантируется для наборов из более чем двух прямых.

В евклидовом 3-пространство, Регул представляет собой набор косых линий , $R$ , такая , что через каждую точку на каждой линии $R$ , проходит трансверсаль $R$ и через каждую точку секущей из $R$ проходит линию $R$ . Множество трансверсалей регуля $R$ также является регулятором, называемым противоположным регулятором , $R o$ . В этом пространстве три взаимно наклонных линии всегда можно продолжить до регуля.

Languages

In other projects