Function that relates the circular functions and hyperbolic functions without using complex numbers
Функция Гудермана , названная в честь Кристофа Гудермана (1798–1852), связывает круговые функции и гиперболические функции без явного использования комплексных чисел .
Он определяется для всех x как
gd
x
=
∫
0
x
sech
t
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {gd} x=\int _{0}^{x}\operatorname {sech} t\,dt.}
Функция, обратная функции Гудермана, иногда называется функцией Ламберта и записывается .
gd
−
1
x
{\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}x}
lam
x
{\displaystyle \operatorname {lam} x}
Характеристики Альтернативные определения
gd
x
=
arcsin
(
tanh
x
)
=
arctan
(
sinh
x
)
=
arccsc
(
coth
x
)
=
sgn
(
x
)
arccos
(
sech
x
)
=
sgn
(
x
)
arcsec
(
cosh
x
)
=
2
arctan
[
tanh
(
1
2
x
)
]
=
2
arctan
(
e
x
)
−
1
2
π
=
−
i
ln
(
sech
x
+
i
tanh
x
)
=
−
i
2
ln
(
1
+
i
sinh
x
1
−
i
sinh
x
)
=
−
i
ln
(
1
+
i
sinh
x
cosh
x
)
=
−
i
ln
(
1
+
i
tanh
x
2
1
−
i
tanh
x
2
)
=
−
i
ln
(
i
tanh
(
x
2
−
i
π
4
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} x&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)=\operatorname {arccsc} (\coth x)\\&=\operatorname {sgn} (x)\arccos \left(\operatorname {sech} x\right)=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arcsec} (\cosh x)\\&=2\arctan \left[\tanh \left({\tfrac {1}{2}}x\right)\right]\\&=2\arctan(e^{x})-{\tfrac {1}{2}}\pi =-i\ln \left(\operatorname {sech} x+i\tanh x\right)\\&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+i\sinh x}{1-i\sinh x}}\right)=-i\ln \left({\frac {1+i\sinh x}{\cosh x}}\right)\\&=-i\ln \left({\frac {1+i\tanh {\frac {x}{2}}}{1-i\tanh {\frac {x}{2}}}}\right)=-i\ln \left(i\tanh {\left({\frac {x}{2}}-{\frac {i\pi }{4}}\right)}\right).\end{aligned}}}
Некоторые личности
sin
(
gd
x
)
=
tanh
x
;
csc
(
gd
x
)
=
coth
x
;
cos
(
gd
x
)
=
sech
x
;
sec
(
gd
x
)
=
cosh
x
;
tan
(
gd
x
)
=
sinh
x
;
cot
(
gd
x
)
=
csch
x
;
tan
(
1
2
gd
x
)
=
tanh
(
1
2
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\operatorname {gd} x)=\tanh x;\quad &\csc(\operatorname {gd} x)=\coth x;\\\cos(\operatorname {gd} x)=\operatorname {sech} x;\quad &\sec(\operatorname {gd} x)=\cosh x;\\\tan(\operatorname {gd} x)=\sinh x;\quad &\cot(\operatorname {gd} x)=\operatorname {csch} x;\\\tan \left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {gd} x\right)=\tanh \left({\tfrac {1}{2}}x\right).\end{aligned}}}
Обратный
График обратной функции Гудермана
gd
−
1
x
=
∫
0
x
sec
t
d
t
−
π
/
2
<
x
<
π
/
2
=
ln
|
1
+
sin
x
cos
x
|
=
1
2
ln
|
1
+
sin
x
1
−
sin
x
|
=
ln
|
1
+
tan
x
2
1
−
tan
x
2
|
=
ln
|
tan
x
+
sec
x
|
=
ln
|
tan
(
x
2
+
π
4
)
|
=
artanh
(
sin
x
)
=
arsinh
(
tan
x
)
=
2
artanh
(
tan
x
2
)
=
arcoth
(
csc
x
)
=
arcsch
(
cot
x
)
=
sgn
(
x
)
arcosh
(
sec
x
)
=
sgn
(
x
)
arsech
(
cos
x
)
=
−
i
gd
(
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ^{-1}x&=\int _{0}^{x}\sec t\,dt\qquad -\pi /2<x<\pi /2\\[8pt]&=\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|=\ln \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|\\[8pt]&=\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|\\[8pt]&=\operatorname {artanh} (\sin x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)\\&=2\operatorname {artanh} \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\&=\operatorname {arcoth} (\csc x)=\operatorname {arcsch} (\cot x)\\&=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arsech} (\cos x)\\&=-i\operatorname {gd} (ix)\end{aligned}}}
Некоторые личности
sinh
(
gd
−
1
x
)
=
tan
x
;
csch
(
gd
−
1
x
)
=
cot
x
;
cosh
(
gd
−
1
x
)
=
sec
x
;
sech
(
gd
−
1
x
)
=
cos
x
;
tanh
(
gd
−
1
x
)
=
sin
x
;
coth
(
gd
−
1
x
)
=
csc
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\tan x;\quad &\operatorname {csch} (\operatorname {gd} ^{-1}x)=\cot x;\\\cosh(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\sec x;\quad &\operatorname {sech} (\operatorname {gd} ^{-1}x)=\cos x;\\\tanh(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\sin x;\quad &\coth(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\csc x.\end{aligned}}}
Производные
d
d
x
gd
x
=
sech
x
;
d
d
x
gd
−
1
x
=
sec
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x;\quad {\frac {d}{dx}}\;\operatorname {gd} ^{-1}x=\sec x.}
История Функция была введена Иоганном Генрихом Ламбертом в 1760-х годах одновременно с гиперболическими функциями . Он назвал его «трансцендентным углом», и он носил разные названия до 1862 года, когда Артур Кейли предложил дать ему нынешнее название как дань уважения работе Гудермана в 1830-х годах по теории специальных функций. Гудерманн опубликовал статьи в журнале Crelle, Theorie der Potenzialoder cyklisch-hyperbolischen Functionen (1833), книге, которая разъясняла sinh and cosh широкой аудитории (под прикрытием и ).
S
i
n
{\displaystyle {\mathfrak {Sin}}}
C
o
s
{\displaystyle {\mathfrak {Cos}}}
Обозначение gd было введено Кэли, где он начинает с вызова gd. u - величина, обратная интегралу секущей функции :
u
=
∫
0
ϕ
sec
t
d
t
=
ln
(
tan
(
1
4
π
+
1
2
ϕ
)
)
{\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \left(\tan \left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\phi \right)\right)}
а затем выводит «определение» трансцендентного:
gd
u
=
i
−
1
ln
(
tan
(
1
4
π
+
1
2
u
i
)
)
{\displaystyle \operatorname {gd} u=i^{-1}\ln \left(\tan \left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}ui\right)\right)}
сразу заметив, что это реальная функция от u .
Приложения
1
2
π
−
gd
x
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} x}
В проекции Меркатора линия постоянной широты параллельна экватору (на проекции) и смещена на величину, пропорциональную обратному гудерманиану широты.
Гудерманиан (со сложным аргументом) может использоваться в определении поперечной проекции Меркатора .
Гудерманиан также появляется в решении динамического эффекта Казимира в виде движущегося зеркала . Смотрите также использованная литература
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {gd} x & = \ arcsin \ left (\ tanh x \ right) = \ arctan (\ sinh x) = \ operatorname {arccsc} (\ coth x) \\ & = \ operatorname {sgn} (x) \ arccos \ left (\ operatorname {sech} x \ right) = \ operatorname {sgn} (x) \ operatorname {arcsec} (\ ch x) \\ & = 2 \ arctan \ left [\ tanh \ left ({\ tfrac {1} {2}} x \ right) \ right] \\ & = 2 \ arctan (e ^ {x}) - {\ tfrac {1} {2}} \ pi = -i \ ln \ left (\ operatorname {sech} x + i \ tanh x \ right) \\ & = - {\ frac {i} {2}} \ ln \ left ({\ frac {1 + i \ sinh x} {1-i \ sinh x}} \ right) = - i \ ln \ left ({\ frac {1 + i \ sinh x} {\ ch x}} \ right) \\ & = - i \ ln \ left ({\ frac {1 + i \ tanh {\ frac {x} {2}}} {1-i \ tanh {\ frac {x} {2}}}} \ right) = - i \ ln \ left (i \ tanh {\ left ({\ frac {x} {2}} - {\ frac {i \ pi} {4}} \ right)} \ right). \ end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3cc8f0096cc0490863252ecad30965ece90644)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {gd} ^ {- 1} x & = \ int _ {0} ^ {x} \ sec t \, dt \ qquad - \ pi / 2 <x <\ pi / 2 \\ [8pt] & = \ ln \ left | {\ frac {1+ \ sin x} {\ cos x}} \ right | = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left | {\ гидроразрыв {1+ \ sin x} {1- \ sin x}} \ right | = \ ln \ left | {\ frac {1+ \ tan {\ frac {x} {2}}} {1- \ tan { \ frac {x} {2}}}} \ right | \\ [8pt] & = \ ln \ left | \ tan x + \ sec x \ right | = \ ln \ left | \ tan \ left ({\ frac { x} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ right | \\ [8pt] & = \ operatorname {artanh} (\ sin x) = \ operatorname {arsinh} (\ tan x) \\ & = 2 \ operatorname {artanh} \ left (\ tan {\ frac {x} {2}} \ right) \\ & = \ operatorname {arcoth} (\ csc x) = \ operatorname {arcsch} (\ cot x) \\ & = \ operatorname {sgn} (x) \ operatorname {arcosh} (\ sec x) = \ operatorname {sgn} (x) \ operatorname {arsech} (\ cos x) \\ & = -i \ OperatorName {gd} (ix) \ end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a55f3b584b9badd6f78dfe2564c634bd7a64d7)
