Закон Тициуса – Боде - Titius–Bode law

Закон Тициуса – Боде (иногда называемый просто законом Боде ) - это формульное предсказание расстояния между планетами в любой данной солнечной системе . Формула предполагает, что каждая планета, простираясь наружу, должна быть примерно вдвое дальше от Солнца, чем предыдущая. Гипотеза правильно предсказывала орбиты Цереры (в поясе астероидов ) и Урана , но провалилась в качестве предсказателя орбиты Нептуна . Он назван в честь Иоганна Даниэля Тициуса и Иоганна Элерта Боде .

Более поздняя работа Благга и Ричардсона значительно исправила исходную формулу и сделала прогнозы, которые впоследствии были подтверждены новыми открытиями и наблюдениями. Именно эти переформулировки предлагают «лучшие феноменологические представления расстояний, с которыми можно исследовать теоретическое значение законов типа Тициуса-Боде».

Формулировка

Закон связывает большую полуось каждой планеты с направлением от Солнца в таких единицах, что большая полуось Земли равна 10: ${\ displaystyle ~ a_ {n} ~}$

${\ Displaystyle ~ а = 4 + х ~}$

где такое, что, за исключением первого шага, каждое значение в два раза превышает предыдущее значение. Есть еще одно представление формулы: ${\ Displaystyle ~ х = 0,3,6,12,24,48,96,192,384,768 \ ldots ~}$

${\ Displaystyle ~ а = 4 + 3 \ раз 2 ^ {п} ~}$

где Полученные значения можно разделить на 10, чтобы преобразовать их в астрономические единицы ( AU ), в результате получится выражение: ${\ Displaystyle ~ N = - \ infty, 0,1,2, \ ldots ~.}$

${\ displaystyle a = 0,4 + 0,3 \ times 2 ^ {n} ~.}$

Для далеких внешних планет, за пределами Сатурна , каждая планета, по прогнозам, будет примерно вдвое дальше от Солнца, чем предыдущий объект. В то время как закон Тициуса-Боде предсказывает Сатурн , Уран , Нептун и Плутон примерно 10, 20, 39 и 77  а.е. , но фактические значения ближе к 10, 19, 30, 40  AU .

Эта форма закона дает хорошее первое предположение; переформулировки Благга и Ричардсона следует считать каноническими.

Происхождение и история

Иоганн Даниэль Тициус (1729–1796)

Иоганн Элерт Боде (1747–1826)

Первое упоминание о серии, приближающей закон Боде, встречается в учебнике Д. Грегори (1715 г.):

«... если предположить, что расстояние от Земли до Солнца разделено на десять равных частей, из них расстояние до Меркурия будет примерно четыре, до Венеры - семь, Марса - пятнадцать, Юпитера - пятьдесят две, и расстояние до Сатурна - девяносто. пять."

Подобное предложение, вероятно, перефразированное из Грегори (1715), появляется в работе, опубликованной К. Вольфом в 1724 году.

В 1764 году К. Бонне писал:

«Мы знаем семнадцать планет [то есть больших планет и их спутников], которые входят в состав нашей солнечной системы; но мы не уверены, что их больше нет».

В своем переводе работы Бонне в 1766 году Дж. Д. Тициус добавил два своих абзаца к приведенному выше утверждению. Вставки были размещены внизу страницы 7 и вверху страницы 8. Нового абзаца нет ни в оригинальном французском тексте Бонне, ни в переводах работы на итальянский и английский языки.

Текст, вставленный Тицием, состоит из двух частей. Первая часть объясняет последовательность планетных расстояний от Солнца:

Обратите внимание на расстояния планет друг от друга и осознайте, что почти все они отделены друг от друга в пропорции, соответствующей их телесной величине. Разделите расстояние от Солнца до Сатурна на 100 частей; тогда Меркурий отделен от Солнца четырьмя такими частями, Венера - 4 + 3 = 7 такими частями, Земля - ​​4 + 6 = 10, Марс - 4 + 12 = 16. Но обратите внимание, что от Марса к Юпитеру происходит отклонение от этой столь точной последовательности. От Марса следует пространство из 4 + 24 = 28 таких частей, но пока планеты там не замечено. Но должен ли Лорд-Архитектор оставить это место пустым? Нисколько. Поэтому давайте предположим, что это пространство, без сомнения, принадлежит еще неоткрытым спутникам Марса, давайте также добавим, что, возможно, Юпитер все еще имеет вокруг себя несколько меньших, которые еще не были обнаружены ни одним телескопом. Рядом с этим еще неизведанным для нас космосом возвышается сфера влияния Юпитера на 4 + 48 = 52 части; а у Сатурна 4 + 96 = 100 частей.

В 1772 году Дж. Э. Боде , которому тогда было двадцать пять лет, опубликовал астрономический сборник, в который он включил следующую сноску, цитируя Тициуса (в более поздних изданиях):

Последнее обстоятельство, по-видимому, следует, в частности, из удивительной связи, которую наблюдают шесть известных планет на своих расстояниях от Солнца. Пусть расстояние от Солнца до Сатурна примем за 100, тогда Меркурий отделен от Солнца 4 такими частями. Венера 4 + 3 = 7. Земля 4 + 6 = 10. Марс 4 + 12 = 16. Теперь в этом столь упорядоченном развитии появляется пробел. После Марса следует пространство из 4 + 24 = 28 частей, в котором еще не было видно ни одной планеты. Можно ли поверить, что Основатель вселенной оставил это пространство пустым? Конечно нет. Отсюда мы приходим к расстоянию до Юпитера на 4 + 48 = 52 части и, наконец, к расстоянию до Сатурна на 4 + 96 = 100 частей.

Эти два утверждения, несмотря на их своеобразное выражение и радиусы, используемые для орбит, кажутся проистекающими из античного алгоритма, созданного коссистом .

Было обнаружено множество прецедентов, предшествующих семнадцатому веку. Тициус был учеником немецкого философа К.Ф. фон Вольфа (1679–1754), а вторая часть текста Тициуса, вставленного в работу Бонне, находится в книге фон Вольфа (1723 г.), что предполагает, что Тициус узнал об этой связи от него. В литературе XX века о законе Тициуса-Боде авторство приписывается фон Вольфу. Предыдущая версия была написана Д. Грегори (1702), в которой последовательность планетарных расстояний 4, 7, 10, 16, 52 и 100 стала геометрической прогрессией с отношением 2. Это ближайшая формула Ньютона, которая была процитирована. по Бенджамин Мартин и Tomàs CERDA лет до немецкого издания книги Боннэ. В течение следующих двух столетий последующие авторы продолжали представлять свои собственные модифицированные версии, по-видимому, не подозревая о предшествующей работе.

Тициус и Боде надеялись, что закон приведет к открытию новых планет, и действительно, открытие Урана и Цереры , расстояние между которыми хорошо согласуется с законом, способствовало известности закона. Однако расстояние до Нептуна было очень несоответствующим, и действительно, Плутон, который больше не считается планетой, находится на среднем расстоянии, которое примерно соответствует тому, которое предсказал закон Тициуса-Боде для следующей планеты от Урана.

Первоначально опубликованный, закон приблизительно удовлетворялся всеми известными на тот момент планетами, т. Е. Меркурием через Сатурн, с промежутком между четвертой и пятой планетами. Викариус (Иоганн Фридрих) Вурм (1787) предложил модифицированную версию закона Тициуса-Боде, которая учитывала известные тогда спутники Юпитера и Сатурна и лучше предсказывала расстояние до Меркурия.

Закон Тициуса-Боде считался интересным, но не имевшим большого значения до открытия Урана в 1781 году, который, как оказалось, почти точно вписался в серию. Основываясь на этом открытии, Боде призвал своих современников искать пятую планету. Церера , самый большой объект в поясе астероидов , была найдена в месте, предсказанном Боде в 1801 году.

В то время закон Боде был широко принят, пока в 1846 году Нептун не был обнаружен в месте, не соответствующем закону. В то же время из-за большого количества обнаруженных в поясе астероидов Церера больше не была большой планетой. В 1898 году астроном и логик К. С. Пирс использовал закон Боде как пример ошибочного рассуждения.

Открытие Плутона в 1930 году еще больше запутало проблему: хотя и не приближалось к его предсказанному положению согласно закону Боде, оно было очень близко к положению, определенному законом для Нептуна. Последующее открытие пояса Койпера - и в частности объекта Эрида , который массивнее Плутона, но не соответствует закону Боде - еще больше дискредитировал эту формулу.

Возможная более ранняя версия

В 1760 году Томас Серда преподавал известный курс астрономии, по результатам которого был составлен учебник Tratado de Astronomía .

В Tratado de Astronomía Серда получает планетарные расстояния из орбитальных периодов , применяя третий закон Кеплера с точностью до 10 ⁻³  . Масштабируя среднее расстояние от Земли до Солнца как 10 и округляя до целых чисел, можно выразить геометрическую прогрессию как

${\ displaystyle {\ frac {\; 10 \, D_ {n} -4 \;} {\; 10 \, D _ {(n-1)} - 4 \;}} = 2 ~, \ quad {\ text {from}} ~ n = 2 ~ {\ text {to}} ~ n = 8 ~.}$

Используя равномерное круговое движение фиктивной средней аномалии Кеплера , значения, соответствующие отношениям каждой планеты, могут быть получены как ${\ Displaystyle \; R_ {п} \;}$

${\ displaystyle r_ {n} = {\ frac {\; R_ {n} -R_ {1} \;} {\; R _ {(n-1)} - R_ {1}}} ~,}$

в результате получаем 1,82, 1,84, 1,86, 1,88 и 1,90, в которых

${\ displaystyle r_ {n} = 2 - {\ tfrac {1} {50}} \ left (12-n \ right) ~,}$

соотношение между кеплеровской последовательностью и законом Тициуса – Боде было бы числовым совпадением. Отношение близко к 2, но гармонично увеличивается с 1,82.

Средняя скорость планеты от до уменьшается при удалении от Солнца и отличается от равномерного спуска на восстановление от (орбитальный резонанс). ${\ Displaystyle ~ п = 1 ~}$${\ Displaystyle ~ п = 8 ~}$${\ Displaystyle ~ п = 2 ~}$${\ Displaystyle ~ п = 7 ~}$

Данные

Закон Тициуса-Боде предсказывает, что планеты будут присутствовать на определенных расстояниях в астрономических единицах , которые можно сравнить с данными наблюдений для планет и двух карликовых планет в солнечной системе:

Графический график восьми планет, Плутона и Цереры в сравнении с первыми десятью предсказанными расстояниями.

м	k	Расстояние по правилу T – B (AU)	Планета	Большая полуось (AU)	Отклонение от прогноза 1
${\ displaystyle - \ infty}$	0	0,4	Меркурий	0,39	−3,23%
0	1	0,7	Венера	0,72	+ 3,33%
1	2	1.0	Земля	1,00	0,00%
2	4	1.6	Марс	1,52	−4,77%
3	8	2,8	Церера 2	2,77	-1,16%
4	16	5.2	Юпитер	5.20	+ 0,05%
5	32	10.0	Сатурн	9,58	−4,42%
6	64	19,6	Уран	19,22	-1,95%
-	-	-	Нептун	30.07	-
7	128	38,8	Плутон 2	39,48	+ 1,02%

¹ Для больших k каждое расстояние по правилу Тициуса – Боде примерно в два раза больше предыдущего значения. Следовательно, произвольная планета может быть найдена в пределах от -25% до + 50% от одного из предсказанных положений. Для малых k предсказанные расстояния не полностью удваиваются, поэтому диапазон отклонения потенциала меньше. Обратите внимание, что большая полуось пропорциональна 2/3 степени орбитального периода . Например, планеты в орбитальном резонансе 2: 3 (такие как плутино относительно Нептуна ) будут различаться по расстоянию на (2/3) ^2/3 = -23,69% и + 31,04% относительно друг друга.

² Церера и Плутон - это карликовые планеты, а не большие планеты .

Формулировка Blagg

В 1913 году Мэри Блэгг , астроном из Оксфорда, повторно посетила закон. Она проанализировала орбиты планетной системы и спутниковых систем внешних газовых гигантов Юпитера, Сатурна и Урана. Она изучила журнал расстояний, пытаясь найти лучшую «среднюю» разницу.

Функция f формулировки Благга закона планетных расстояний Тициуса-Боде

Ее анализ привел к другой формуле:

куда:

Обратите внимание, что в ее формулировке Закон для Солнечной системы лучше всего представлен прогрессией в 1,7275 , а не в 2.

Благг исследовал спутниковые системы Юпитера, Сатурна и Урана и обнаружил одинаковый коэффициент прогрессии (1,7275) в каждой из них.

Константы формулировки Благга закона Тициуса-Боде

Система	А	B	${\ displaystyle \ alpha}$	${\ displaystyle \ beta}$
Планеты	0,4162	2,025	112,4 °	56,6 °
Юпитер	0,4523	1,852	113,0 °	36,0 °
Сатурн	3,074	0,0071	118,0 °	10,0 °
Уран	2,98	0,0805	125,7 °	12,5 °

Ее статья появилась в «Ежемесячных уведомлениях Королевского астрономического общества» за 1913 год и была забыта до 1953 года, когда А. Э. Рой из обсерватории Университета Глазго наткнулся на нее во время исследования другой проблемы. Он отметил, что сама Благг предположила, что ее формула может дать приблизительные средние расстояния до других тел, еще не открытых в 1913 году. С тех пор были обнаружены шесть тел в трех системах, исследованных Благгом: Плутон, Юпитер IX Синопа, X Лизитея, XI Карме, XII Ананке и Уран V Миранда.

Рой обнаружил, что все шесть подходят очень близко. Кроме того, подтвердилось еще одно предсказание Благга: некоторые тела были сгруппированы на определенных расстояниях.

Ее формула также предсказывала, что если бы трансплутоническая планета существовала, она была бы на расстоянии ~ 68 а.е. от Солнца.

Сравнение формулировки Благга с наблюдением

Тела в скобках не были известны в 1913 году, когда Благг писала свою статью. Некоторые из рассчитанных расстояний в системах Сатурна и Урана не очень точны. Это связано с тем, что низкие значения константы B в приведенной выше таблице делают их очень чувствительными к точному виду функции f.

Формулировка Ричардсона

В 1945 году Д. Е. Ричардсон независимо пришел к такому же выводу, что и Благг, что коэффициент прогрессии равен не 2, а 1,728:

где - осциллирующая функция , представленная расстояниями от смещенной от центра точки до точек, изменяющихся под углом на "эллипсе распределения". ${\ displaystyle \ varrho _ {n}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ varrho _ {n}}$

Историческая инерция

Ньето, проводивший первый современный всесторонний обзор Закона Тициуса-Боде, отметил, что «психологическая сила Закона об астрономии была такова, что люди всегда были склонны рассматривать его первоначальную форму как ту, на которой основываются теории». Он подчеркнул, что «будущие теории должны избавиться от предвзятости попыток объяснить коэффициент прогрессии, равный 2»:

Следует подчеркнуть одну вещь: необходимо отказаться от исторической предвзятости в пользу коэффициента прогрессии, равного 2. Должно быть ясно, что первую формулировку Тициуса (с ее асимметричным первым членом) следует рассматривать как хорошее первое предположение. Конечно, это не обязательно следует рассматривать как лучшее предположение для отсылки к теориям. Но в астрономии вес истории тяжел ... Несмотря на то, что число 1,73 намного лучше, астрономы придерживаются первоначального числа 2.

Теоретические объяснения

Никакое твердое теоретическое объяснение не лежит в основе закона Тициуса-Боде, но возможно, что при сочетании орбитального резонанса и недостатка степеней свободы любая стабильная планетная система с высокой вероятностью удовлетворяет соотношению типа Тициуса-Боде. Поскольку это может быть математическое совпадение, а не «закон природы», его иногда называют правилом, а не «законом». С одной стороны, астрофизик Алан Босс заявляет, что это просто совпадение, и планетарный научный журнал Icarus больше не принимает статьи, пытающиеся предоставить улучшенные версии «закона». С другой стороны, растущее количество данных из экзопланетных систем указывает на обобщенное выполнение этого правила в других планетных системах.

Орбитальный резонанс от основных орбитальных тел создает области вокруг Солнца , свободные от долгосрочных стабильных орбит. Результаты моделирования формирования планет подтверждают идею о том, что случайно выбранная стабильная планетная система, скорее всего, будет удовлетворять закону Тициуса – Боде.

Дубрулль и Гранер показали, что степенные правила расстояния могут быть следствием моделей коллапсирующего облака планетных систем, обладающих двумя симметриями: инвариантностью вращения (т. Е. Облако и его содержимое осесимметричны) и масштабной инвариантностью (т. Е. Облако и его содержимое выглядит одинаково во всех масштабах). Последнее является особенностью многих явлений, которые, как считается, играют роль в формировании планет, таких как турбулентность.

Естественные спутниковые системы и экзопланетные системы

Доступно лишь ограниченное количество систем, на которых в настоящее время можно проверить закон Боде. Две солнечные планеты имеют достаточно большие луны, которые, вероятно, образовались в процессе, аналогичном тому, который сформировал планеты. Четыре больших спутника Юпитера и самый большой внутренний спутник (например, Амальтея ) цепляются за регулярный, но не Тициус-Боде интервал, при этом четыре самых внутренних спутника зафиксированы на орбитальных периодах, каждый из которых вдвое больше, чем у следующего внутреннего спутника. Точно так же большие спутники Урана имеют регулярное расстояние, отличное от Тициуса – Боде. Однако, по словам Мартина Харвита,

«Небольшая новая формулировка этого закона позволяет нам включать не только планетные орбиты вокруг Солнца, но и орбиты лун вокруг своих родительских планет».

Новая формулировка известна как « закон Дермотта ».

Из недавних открытий внесолнечных планетных систем лишь немногие имеют достаточно известных планет, чтобы проверить, применимы ли аналогичные правила. Попытка с 55 Cancri предложил уравнение и спорно предсказывает неоткрытой планеты или астероида поле на 2  АС . Кроме того, орбитальный период и большая полуось самой внутренней планеты в 55 Cancri систем были значительно пересмотрены (от 2.817 до 0.737 дней и дней от 0,038  AU 0,016  AU , соответственно) с моментом публикации этих исследований. ${\ displaystyle ~ a_ {n} = 0,0142 \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ left (\, 0.9975 \, n \, \ right)} = 0,0142 \ cdot {\ bigl (} \, 2.7115 \, {\ bigr)} ^ {n} ~,}$${\ Displaystyle ~ п = 5 ~}$

Недавние астрономические исследования показывают, что планетные системы вокруг некоторых других звезд могут подчиняться законам Тициуса – Боде. Бовэрд и Лайнуивер применили обобщенное соотношение Тициуса – Боде к 68 экзопланетным системам, содержащим четыре или более планет. Они показали, что 96% этих экзопланетных систем придерживаются обобщенного соотношения Тициуса-Боде в такой же или большей степени, чем Солнечная система. Расположение потенциально необнаруженных экзопланет предсказывается в каждой системе.

Последующие исследования обнаружили пять кандидатов в планеты из 97 планет, предсказанных для 68 планетных систем. Исследование показало, что реальное количество планет может быть больше. Частота появления планет размером с Марс и Меркурий в настоящее время неизвестна, поэтому многие планеты могут быть пропущены из-за их небольшого размера. Другие возможные причины, которые могут объяснить очевидные несоответствия, включают планеты, которые не проходят мимо звезды, или обстоятельства, при которых предсказанное пространство занято околозвездными дисками . Несмотря на такие допущения, количество планет, найденных с помощью предсказаний закона Тициуса – Боде, было меньше, чем ожидалось.

В статье 2018 года идея гипотетической восьмой планеты вокруг TRAPPIST-1 под названием «TRAPPIST-1i» была предложена с использованием закона Тициуса – Боде. Прогноз TRAPPIST-1i основан исключительно на законе Тициуса – Боде с периодом обращения 27,53 ± 0,83 суток .

Наконец, необработанная статистика экзопланетных орбит убедительно указывает на общее выполнение законов Тициуса – Боде (с экспоненциальным увеличением больших полуосей как функцией планетарного индекса) во всех экзопланетных системах; при построении слепой гистограммы больших полуосей орбит для всех известных экзопланет, для которых известна эта величина, и сравнении ее с тем, что следует ожидать, если планеты распределяются в соответствии с законами Тициуса-Боде, значительная степень согласия (т. е. , 78%).

Смотрите также

• Закон Дермотта
• Фаэтон (гипотетическая планета)
• Логарифмическая спираль
• Потенциал Леннарда-Джонса

Сноски

использованная литература

дальнейшее чтение

• Призрачная рука, разнесшая планеты New Scientist 9 апреля 1994 г., стр. 13
• Растения и планеты: Закон Тициуса-Боде, объясненный Г. Дж. Р. Пердейком
• Distancias planetarias y ley de Titius-Bode (испанский) доктора Рамона Пареса