Счетчик песка -The Sand Reckoner

Псаммит ( греческий : Ψαμμίτης , Psammites ) является работа Архимеда , древнегреческий математик 3 века до н.э. , в котором он установлен, чтобы определить верхнюю границу для числа песчиноккоторые вписываются в вселенной . Для этого ему пришлось оценить размер Вселенной в соответствии с современной моделью и изобрести способ говорить об очень больших числах. Работа, также известная на латыни как Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli , которая в переводе занимает около восьми страниц, адресована сиракузскому царю Гелону II (сыну Иеро II ) и, вероятно, является наиболее доступной работой Архимеда; в каком-то смысле это первая исследовательско-разъяснительная работа .

Именование больших чисел

Во-первых, Архимеду пришлось изобрести систему именования больших чисел . Система счисления используется в то время можно было выразить числа до несметного (μυριάς - 10000), а также путем использования слова мириады себя, можно сразу же распространить это назвать все числа до мириады мириад (10 ⁸ ). Архимед называл числа до 10 ⁸ «первым порядком», а сам 10 ⁸ - «единицей второго порядка». Затем множители этой единицы стали вторым порядком, до этой единицы потребовалось мириады раз, 10 ⁸ · 10 ⁸ = 10 ¹⁶ . Это стало «единицей третьего порядка», кратные которой были третьим порядком, и так далее. Архимед продолжал называть числа таким образом до бесчисленного множества раз до единицы 10 ^8-го порядка, т . Е .. ${\ displaystyle (10 ^ {8}) ^ {(10 ^ {8})} = 10 ^ {8 \ cdot 10 ^ {8}}}$

Сделав это, Архимед назвал определенные им порядки «порядками первого периода», а последний - «единицей второго периода». Затем он построил порядки второго периода, взяв кратные этой единицы, аналогично тому, как были построены порядки первого периода. Продолжая таким образом, он, в конце концов, достиг приказов мириад-мириадов периода. Наибольшее число, названное Архимедом, было последним числом в этот период, т.е. ${\ displaystyle (10 ^ {8}) ^ {(10 ^ {8})}}$

${\ displaystyle \ left (\ left (10 ^ {8} \ right) ^ {(10 ^ {8})} \ right) ^ {(10 ^ {8})} = 10 ^ {8 \ cdot 10 ^ { 16}}.}$

Другой способ описания этого числа - единица, за которой следуют (в сокращенном масштабе ) восемьдесят квадриллионов (80 · 10 ¹⁵ ) нулей.

Система Архимеда напоминает позиционную систему счисления с основанием 10 ⁸ , что примечательно тем, что древние греки использовали очень простую систему записи чисел , в которой использовались 27 различных букв алфавита для единиц с 1 по 9, от десятков до 10. 90 и сотни от 100 до 900.

Архимед также обнаружил и доказал закон показателей , необходимые для управления полномочиями 10. ${\ displaystyle 10 ^ {a} 10 ^ {b} = 10 ^ {a + b}}$

Оценка размеров Вселенной

Затем Архимед оценил верхнюю границу количества песчинок, необходимых для заполнения Вселенной. Для этого он использовал гелиоцентрическую модель из Аристарх Самосский . Оригинальная работа Аристарха утеряна. Однако эта работа Архимеда - одна из немногих сохранившихся ссылок на его теорию, согласно которой Солнце остается неподвижным, пока Земля вращается вокруг Солнца. По словам Архимеда:

Его гипотезы [Аристарха] состоят в том, что неподвижные звезды и Солнце остаются неподвижными, что Земля вращается вокруг Солнца по окружности, Солнце находится в середине орбиты, и что сфера неподвижных звезд, расположенная примерно в том же центре, что и Солнце, настолько велика, что круг, по которому, по его предположениям, вращается Земля, имеет такую ​​пропорцию, как расстояние между неподвижными звездами, на которое центр сферы относится к ее поверхности.

Причина большого размера этой модели в том, что греки не могли наблюдать звездный параллакс с помощью доступных методов, что означает, что любой параллакс является чрезвычайно тонким, и поэтому звезды должны быть размещены на больших расстояниях от Земли (при условии, что гелиоцентризм является истинным). ).

По словам Архимеда, Аристарх не указывал, насколько далеко звезды были от Земли. Поэтому Архимеду пришлось сделать следующие предположения:

• Вселенная была сферической
• Отношение диаметра Вселенной к диаметру орбиты Земли вокруг Солнца равнялось отношению диаметра орбиты Земли вокруг Солнца к диаметру Земли.

Это предположение также можно выразить, сказав, что звездный параллакс, вызванный движением Земли по своей орбите, равен солнечному параллаксу, вызванному движением вокруг Земли. Положите в пропорции:

${\ displaystyle {\ frac {\ text {Диаметр Вселенной}} {\ text {Диаметр орбиты Земли вокруг Солнца}}} = {\ frac {\ text {Диаметр орбиты Земли вокруг Солнца}} {\ text { Диаметр Земли}}}}$

Чтобы получить верхнюю границу, Архимед сделал следующие предположения об их размерах:

• что периметр Земли не превышал 300 мириад стадий (5,55 · 10 ⁵ км).
• что Луна была не больше Земли, а Солнце не более чем в тридцать раз больше Луны.
• что угловой диаметр Солнца, если смотреть с Земли, был больше 1/200 прямого угла (π / 400 радиан = 0,45 ° градусов ).

Затем Архимед пришел к выводу, что диаметр Вселенной не превышает 10 ¹⁴ стадий (в современных единицах - около 2 световых лет ), и что для ее заполнения потребуется не более 10 ⁶³ песчинок. С этими измерениями каждая песчинка в мысленном эксперименте Архимеда была бы примерно 19 мкм (0,019 мм) в диаметре.

Расчет количества песчинок во Вселенной Аристархии

Архимед утверждает, что сорок семян мака, положенных рядом, равнялись бы одному греческому дактилю (ширине пальца), который был приблизительно 19 мм (3/4 дюйма) в длину. Поскольку объем представляет собой куб линейного размера («Поскольку было доказано, что сферы имеют тройное соотношение диаметров друг к другу»), то сфера диаметром в один дактиль будет содержать (используя нашу текущую систему счисления) 40 ³ , или 64 000 семян мака.

Затем он заявил (без доказательств), что каждое маковое зерно может содержать мириады (10 000) песчинок. Умножив эти две цифры, он предложил 640 000 000 как количество гипотетических песчинок в сфере диаметром в один дактиль.

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, он округлил 640 миллионов до одного миллиарда, отметив только, что первое число меньше второго и, следовательно, количество песчинок, рассчитанное впоследствии, будет превышать фактическое количество песчинок. Напомним, что мета-цель Архимеда в этом эссе заключалась в том, чтобы показать, как вычислять с помощью того, что ранее считалось невероятно большими числами, а не просто точно рассчитать количество песчинок во Вселенной.

Греческий стадион имел длину 600 греческих футов, и каждая ступня была длиной 16 дактилей, так что на стадионе было 9600 дактилей. Архимед округлил это число до 10 000 (бесчисленное множество), чтобы упростить вычисления, еще раз отметив, что полученное число будет превышать фактическое количество песчинок.

Куб 10 000 - это триллион (10 ¹² ); и умножение миллиарда (количество песчинок в дактильной сфере) на триллион (количество дактильных сфер в сфере стадиона) дает 10 ²¹ , количество песчинок в сфере стадиона.

Архимед подсчитал, что Вселенная Аристархии имеет диаметр 10 ¹⁴ стадий, поэтому во Вселенной должно быть (10 ¹⁴ ) ³ стадион-сферы, или 10 ⁴² . Умножение 10 ²¹ на 10 ⁴² дает 10 ⁶³ , количество песчинок во Вселенной Аристархии.

Следуя оценке Архимеда мириада (10 000) песчинок в маке; 64000 семян мака в дактиль-сфере; длина стадиона - 10 000 дактилей; и принимая 19 мм за ширину дактиля, диаметр типичной песчинки Архимеда был бы 18,3 мкм, что сегодня мы бы назвали песчинкой ила . В настоящее время самая мелкая песчинка имеет диаметр 50 мкм.

Дополнительные расчеты

По пути Архимед провел несколько интересных экспериментов и вычислений. Один из экспериментов заключался в оценке углового размера Солнца, видимого с Земли. Метод Архимеда особенно интересен, поскольку он учитывает конечный размер зрачка глаза, и поэтому может быть первым известным примером экспериментов в психофизике , области психологии, занимающейся механикой человеческого восприятия, развитие которой обычно приписывают Герману. фон Гельмгольца . Другое интересное вычисление учитывает солнечный параллакс и разные расстояния между наблюдателем и Солнцем, независимо от того, просматривается ли он из центра Земли или с поверхности Земли на восходе солнца. Это может быть первое известное вычисление солнечного параллакса.

Цитировать

Некоторые, царь Гелон, думают, что песка бесконечно много; и я имею в виду под песком не только то, что есть вокруг Сиракуз и остальной части Сицилии, но также то, что можно найти во всех регионах, будь то населенные или необитаемые. Опять же, есть такие, которые, не считая его бесконечным, все же думают, что не было названо ни одного числа, которое было бы достаточно большим, чтобы превысить его величину. И ясно, что те, кто придерживается этой точки зрения, если они вообразили массу, состоящую из песка, в других отношениях такую ​​же большую, как масса Земли, включая в нее все моря и впадины Земли, заполненные до высоты, равной до самой высокой из гор, было бы во много раз дальше от признания того, что можно выразить любое число, превышающее количество взятого таким образом песка.

Но я постараюсь показать вам с помощью геометрических доказательств, которым вы сможете следовать, что из чисел, названных мною и приведенных в работе, которую я послал Зевксиппу, некоторые превышают не только число массы тела. песок, равный по величине Земле, засыпанный описанным способом, но также имеющий массу, равную по величине Вселенной.

-  Archimedis Syracusani Arenarius и Dimensio Circuli

использованная литература

дальнейшее чтение

• Песок Reckoner , по Джиллиан Брэдшоу . Forge (2000), 348pp, ISBN  0-312-87581-9 . Это исторический роман о жизни и творчестве Архимеда.

внешние ссылки

• Оригинальный греческий текст
• The Sand Reckoner (с комментариями)
• The Sand Reckoner (Arenario) - итальянский аннотированный перевод с примечаниями об Архимеде и греческой математической нотации и единицах измерения . Исходный файл греческого текста Аренария (для LaTeX).
• «Архимед», «Счетчик песка » Илана Варди; включает буквальную английскую версию оригинального греческого текста