Тригонометрические функции - Trigonometric functions

Основа тригонометрии: если два прямоугольных треугольника имеют одинаковые острые углы , они подобны , поэтому их стороны пропорциональны . Константы пропорциональности записываются внутри изображения: sin θ , cos θ , tan θ , где θ - это стандартная мера пяти острых углов.

В математике , то тригонометрические функции (называемые также круговые функции , угловые функции или гониометрические функции ) являются действительными функциями , которые относятся угол с прямоугольного треугольника с соотношением длин двух боковых. Они широко используются во всех науках, связанных с геометрией , таких как навигация, механика твердого тела , небесная механика , геодезия и многие другие. Они относятся к числу простейших периодических функций и, как таковые, также широко используются для изучения периодических явлений с помощью анализа Фурье .

Тригонометрические функции, наиболее широко используемые в современной математике, - это синус , косинус и тангенс . Их обратные величины - соответственно косеканс , секанс и котангенс , которые используются реже. Каждая из этих шести тригонометрических функций имеет соответствующую обратную функцию и аналог среди гиперболических функций .

Самые старые определения тригонометрических функций, относящиеся к прямоугольным треугольникам, определяют их только для острых углов . Чтобы распространить эти определения на функции, область определения которых представляет собой всю проективно расширенную действительную линию , часто используются геометрические определения с использованием стандартной единичной окружности (т. Е. Окружности с радиусом 1 единица). Современные определения выражают тригонометрические функции как бесконечный ряд или как решения дифференциальных уравнений . Это позволяет расширить область синусоидальных и косинусных функций на всю комплексную плоскость , а область других тригонометрических функций - на комплексную плоскость, из которой удалены некоторые изолированные точки.

Определения прямоугольного треугольника

В этом прямоугольном треугольнике: sin A = а/c; cos A =б/c; загар A =а/б.
График шести тригонометрических функций, единичный круг и линия для угла θ = 0,7 радиана . Точки, обозначенные 1 , Sec ( θ ) , Csc ( θ ), представляют длину отрезка прямой от начала координат до этой точки. Sin ( θ ) , Tan ( θ ) и 1 - это высоты линии, начинающейся от оси x , а Cos ( θ ) , 1 и Cot ( θ ) - длины вдоль оси x, начиная с начала координат.

В этом разделе заглавная буква обозначает вершину треугольника и меру соответствующего угла; Строчная форма той же буквы обозначает противоположную сторону треугольника и его длину. В следующих определениях θ соответствует A на диаграмме.

Если задан угол θ , то все стороны прямоугольного треугольника четко определены с точностью до коэффициента масштабирования. Это означает, что соотношение любых двух длин сторон зависит только от θ . Таким образом, эти шесть соотношений определяют шесть функций от θ , которые являются тригонометрическими функциями. Точнее, шесть тригонометрических функций:

синус
косеканс
косинус
секущий
касательная
котангенс

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов составляет прямой угол, то есть 90 ° илиπ/2 радианы .

Резюме отношений между тригонометрическими функциями
Функция Сокращенное название Описание Отношение
используя радианы используя градусы
синус грех противоположный/гипотенуза
косинус потому что соседний/гипотенуза
касательная загар (или  тг ) противоположный/соседний
котангенс детская кроватка (или  котан, или  котг, или  ctg, или  ctn ) соседний/противоположный
секущий сек гипотенуза/соседний
косеканс csc (или  cosec ) гипотенуза/противоположный
Вверху: тригонометрическая функция sin θ для выбранных углов θ , π - θ , π + θ и 2 π - θ в четырех квадрантах.
Внизу: график зависимости синусоиды от угла. Определены углы от верхней панели.

Радианы против градусов

В геометрических приложениях аргументом тригонометрической функции обычно является мера угла . Для этой цели удобна любая угловая единица , а углы обычно измеряются в условных единицах градусов, в которых прямой угол равен 90 °, а полный поворот равен 360 ° (особенно в элементарной математике ).

Однако в исчислении и математическом анализе тригонометрические функции обычно рассматриваются более абстрактно как функции действительных или комплексных чисел , а не углов. Фактически, функции sin и cos могут быть определены для всех комплексных чисел в терминах экспоненциальной функции через ряды степеней или как решения дифференциальных уравнений с конкретными начальными значениями ( см. Ниже ), без ссылки на какие-либо геометрические понятия. Остальные четыре тригонометрические функции (tan, cot, sec, csc) могут быть определены как частные и обратные величины sin и cos, за исключением случаев, когда в знаменателе стоит ноль. Для реальных аргументов можно доказать, что эти определения совпадают с элементарными геометрическими определениями, если аргумент рассматривать как угол, выраженный в радианах . Более того, эти определения приводят к простым выражениям для производных и неопределенным интегралам для тригонометрических функций. Таким образом, за пределами элементарной геометрии радианы считаются математически естественной единицей измерения углов.

При Радианы (рад) используются, то угол задается как длина дуги на единичной окружности , натянутой ею: угол , который стягивает дугу длины 1 на единичной окружности составляет 1 рад (≈ 57,3 °), и полный поворот (360 °) - это угол 2 π (≈ 6,28) рад. Для действительного числа x обозначения sin x , cos x и т. Д. Относятся к значению тригонометрических функций, вычисленных под углом x рад. Если предусмотрены единицы измерения градусов, знак градуса должен быть явно показан (например, sin x ° , cos x ° и т. Д.). Используя это стандартное обозначение, аргумент x для тригонометрических функций удовлетворяет соотношению x = (180 x / π ) °, так что, например, sin π = sin 180 °, когда мы берем x = π . Таким образом, символ градуса можно рассматривать как математическую константу, такую, что 1 ° = π / 180 ≈ 0,0175.

Определения единичного круга

На этой иллюстрации шесть тригонометрических функций произвольного угла θ представлены как декартовы координаты точек, относящихся к единичной окружности . Ординаты A , B и D - это sin θ , tan θ и csc θ , соответственно, а абсциссы A , C и E - это cos θ , cot θ и sec θ , соответственно.
Знаки тригонометрических функций в каждом квадранте. Мнемоника « все с cience т eachers (являются) с Razy» перечислены функции , которые положительно из квадрантов я IV. Это вариант мнемоники « Все ученики берут исчисление ».

Шесть тригонометрических функций могут быть определены как значения координат точек на евклидовой плоскости , которые связаны с единичной окружностью , которая является окружностью радиуса один с центром в начале O этой системы координат. В то время как определения прямоугольного треугольника позволяют определять тригонометрические функции для углов от 0 до радиана (90 °), определения единичного круга позволяют расширить область тригонометрических функций на все положительные и отрицательные действительные числа.

Пусть будет луч, полученный поворотом на угол θ положительной половины оси x ( вращение против часовой стрелки для и вращение по часовой стрелке для ). Этот луч пересекает единичную окружность в точке Луч продолжается до линии , при необходимости, пересекает линию уравнения в точке и линии уравнения в точке касательной к единичной окружности в точке А , является перпендикулярной к и пересекает у - и х -axes в точках и в координаты этих точек приведены значения всех тригонометрических функций для любого произвольного действительного значения & thetas следующим образом.

Тригонометрические функции соз и грех определены, соответственно, как х - и у -координаты значений точки А . То есть,

а также

В диапазоне это определение совпадает с определением прямоугольного треугольника, в котором прямоугольный треугольник принимает единичный радиус OA в качестве гипотенузы . А поскольку уравнение справедливо для всех точек единичной окружности, это определение косинуса и синуса также удовлетворяет тождеству Пифагора

Остальные тригонометрические функции можно найти вдоль единичной окружности как

а также
а также

Применяя методы пифагорейского тождества и геометрического доказательства, можно легко показать, что эти определения совпадают с определениями тангенса, котангенса, секанса и косеканса в терминах синуса и косинуса, т. Е.

Тригонометрические функции: синус , косинус , касательная , косеканс (пунктир) , секанс (пунктир) , котангенс (пунктир) - анимация

Поскольку поворот на угол не меняет положение или размер фигуры, точки A , B , C , D и E одинаковы для двух углов, разность которых кратна целому числу . Таким образом, тригонометрические функции - это периодические функции с периодом . То есть равенства

а также

для любого угла θ и любого целого k . То же самое и с четырьмя другими тригонометрическими функциями. Наблюдая за знаком и монотонностью функций синуса, косинуса, косеканса и секанса в четырех квадрантах, можно показать, что 2 π - наименьшее значение, для которого они периодичны (т. Е. 2 π - основной период этих функций. ). Однако после поворота на угол точки B и C уже возвращаются в свое исходное положение, так что функция тангенса и функция котангенса имеют основной период π . То есть равенства

а также

для любого угла θ и любого целого k .

Алгебраические значения

Единичная окружность , с некоторыми точками , меченных их косинусом и синусом (в указанном порядке), и соответствующие углами в радианах и градусах.

В алгебраические выражения для самых важных углов следующим образом :

( прямой угол )
( прямой угол )

Запись числителей в виде квадратных корней из последовательных неотрицательных целых чисел со знаменателем 2 обеспечивает простой способ запоминания значений.

Такие простые выражения обычно не существуют для других углов, которые являются рациональными кратными прямому углу. Для угла, который измеряется в градусах и кратен трем, синус и косинус могут быть выражены квадратными корнями , см. Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах . Таким образом, эти значения синуса и косинуса могут быть построены с помощью линейки и компаса .

Для угла, равного целому числу градусов, синус и косинус могут быть выражены через квадратные корни и кубический корень из не действительного комплексного числа . Теория Галуа позволяет доказать, что, если угол не кратен 3 °, ненастоящие кубические корни неизбежны.

Для угла, который измеряется в градусах, является рациональным числом , синус и косинус являются алгебраическими числами , которые могут быть выражены через корни n- й степени . Это связано с тем , что группы Галуа этих круговых многочленов являются циклическими .

Для угла, который измеряется в градусах, не является рациональным числом, тогда либо угол, либо и синус, и косинус являются трансцендентными числами . Это следствие теоремы Бейкера , доказанной в 1966 году.

Простые алгебраические значения

В следующей таблице приведены простейшие алгебраические значения тригонометрических функций. Символ представляет собой бесконечно удаленную точку на проективно удлиненной вещественной прямой ; он не подписан, потому что, когда он появляется в таблице, соответствующая тригонометрическая функция стремится к одной стороне и к другой стороне, когда аргумент стремится к значению в таблице.

Радиан Степень грех потому что загар детская кроватка сек Cosec
0 °
π/12 15 °
π/10 18 °
π/8 22,5 °
π/6 30 °
π/5 36 °
π/4 45 °
3 π/10 54 °
π/3 60 °
3 π/8 67,5 °
2 π/5 72 °
5 π/12 75 °
π/2 90 °

В исчислении

Графики синуса, косинуса и тангенса
Синусоидальная функция (синий) близко аппроксимируется своим многочленом Тейлора степени 7 (розовый) для полного цикла с центром в начале координат.
Анимация для аппроксимации косинуса полиномами Тейлора.
вместе с первыми многочленами Тейлора

Современная тенденция в математике является построение геометрии из исчисления , а не наоборот. Поэтому, за исключением очень элементарного уровня, тригонометрические функции определяются с использованием методов исчисления.

Тригонометрические функции дифференцируемы и аналитичны в каждой точке, где они определены; то есть везде для синуса и косинуса и для касательной везде, кроме точки π / 2 + k π для любого целого числа k .

Тригонометрические функции являются периодическими функциями , и их примитивный период равен 2 π для синуса и косинуса и π для касательной, которая увеличивается на каждом открытом интервале ( π / 2 + k π , π / 2 + ( k + 1 ) π ) . В каждой конечной точке этих интервалов касательная функция имеет вертикальную асимптоту .

В исчислении есть два эквивалентных определения тригонометрических функций с использованием степенных рядов или дифференциальных уравнений . Эти определения эквивалентны, поскольку, начиная с одного из них, легко получить другое как свойство. Однако определение через дифференциальные уравнения как-то более естественно, поскольку, например, выбор коэффициентов степенного ряда может показаться совершенно произвольным, а пифагорова тождество намного легче вывести из дифференциальных уравнений.

Определение дифференциальными уравнениями

Синус и косинус можно определить как единственное решение проблемы начального значения :

Снова дифференцируя, и , таким образом, и синус, и косинус являются решениями обыкновенного дифференциального уравнения

Применяя правило частного к касательной , получаем

Расширение серии Power

Применяя дифференциальные уравнения к степенным рядам с неопределенными коэффициентами, можно вывести рекуррентные соотношения для коэффициентов ряда Тейлора функций синуса и косинуса. Эти рекуррентные соотношения легко решаются и дают разложения в ряды

Радиус сходимости этих рядов бесконечно. Следовательно, синус и косинус могут быть расширены до целых функций (также называемых «синусом» и «косинусом»), которые (по определению) являются комплексными функциями , которые определены и голоморфны на всей комплексной плоскости .

Будучи определенными как доли целых функций, другие тригонометрические функции могут быть расширены до мероморфных функций , то есть функций, голоморфных во всей комплексной плоскости, за исключением некоторых изолированных точек, называемых полюсами . Здесь полюсы - это числа формы для касательной и секущей или для котангенса и косеканса, где k - произвольное целое число.

Соотношения повторяемости также могут быть вычислены для коэффициентов ряда Тейлора других тригонометрических функций. Эти ряды имеют конечный радиус сходимости . Их коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию: они перечисляют чередующиеся перестановки конечных множеств.

Точнее, определяя

U n , n- е число вверх / вниз ,
B n , n- е число Бернулли , и
E n , - n- е число Эйлера ,

one имеет следующие расширения серий:

Частичное расширение фракции

Существует представление ряда как разложение частичной дроби, где суммируются только что переведенные обратные функции , так что полюса функции котангенса и обратной функции совпадают:

Эту идентичность можно доказать с помощью уловки Герглотца . Объединение (- n ) -го с n- м слагаемым приводит к абсолютно сходящемуся ряду:

Точно так же можно найти частичное разложение для секущих, косекансных и касательных функций:

Бесконечное расширение продукта

Следующее бесконечное произведение для синуса имеет большое значение в комплексном анализе:

Для доказательства этого разложения см. Синус . Отсюда можно сделать вывод, что

Связь с экспоненциальной функцией (формула Эйлера)

и являются действительной и мнимой частью соответственно.

Формула Эйлера связывает синус и косинус с экспоненциальной функцией :

Эта формула обычно рассматривается для реальных значений x , но остается верной для всех комплексных значений.

Доказательство : Let and One имеет для j = 1, 2 . Правило фактор предполагает , таким образом , что . Следовательно, - постоянная функция, равная1 , т.к. это доказывает формулу.


Надо

Решив эту линейную систему через синус и косинус, можно выразить их через экспоненциальную функцию:

Когда x реально, это можно переписать как

Большинство тригонометрических тождеств можно доказать, выразив тригонометрические функции в терминах комплексной экспоненциальной функции, используя приведенные выше формулы, а затем используя тождество для упрощения результата.

Определения с использованием функциональных уравнений

Можно также определить тригонометрические функции, используя различные функциональные уравнения .

Например, синус и косинус образуют уникальную пару непрерывных функций , удовлетворяющих формуле разности

и добавленное условие

В комплексной плоскости

Синус и косинус комплексного числа можно выразить через вещественные синусы, косинусы и гиперболические функции следующим образом:

Воспользовавшись преимуществом раскраски области , можно изобразить тригонометрические функции как комплексные функции. На графике можно увидеть различные особенности, уникальные для сложных функций; например, функции синуса и косинуса могут быть неограниченными по мере того, как мнимая часть становится больше (поскольку белый цвет представляет бесконечность), а тот факт, что функции содержат простые нули или полюса , очевиден из того факта, что цветовой цикл вокруг каждого нуля или полюса ровно один раз. Сравнение этих графиков с графиками соответствующих гиперболических функций подчеркивает взаимосвязь между ними.

Тригонометрические функции на комплексной плоскости
Комплекс sin.jpg
Комплекс cos.jpg
Комплекс tan.jpg
Комплекс Cot.jpg
Комплекс Sec.jpg
Комплекс Csc.jpg

Основные личности

Многие тождества связывают тригонометрические функции. В этом разделе собраны самые основные; для получения дополнительных сведений см. Список тригонометрических идентичностей . Эти тождества могут быть доказаны геометрически из определений единичного круга или определений прямоугольного треугольника (хотя для последних определений необходимо соблюдать осторожность для углов, которые не находятся в интервале [0, π / 2] , см. Доказательства тригонометрических тождеств ). Для негеометрических доказательств, использующих только инструменты исчисления , можно напрямую использовать дифференциальные уравнения способом, аналогичным приведенному выше доказательству тождества Эйлера. Можно также использовать тождество Эйлера для выражения всех тригонометрических функций в терминах комплексных экспонент и с использованием свойств экспоненциальной функции.

Паритет

Косинус и секанс - четные функции ; остальные тригонометрические функции являются нечетными . То есть:

Периоды

Все тригонометрические функции являются периодическими функциями периода 2 π . Это наименьший период, за исключением тангенса и котангенса, у которых π является наименьшим периодом. Это означает, что для каждого целого k имеется

Пифагорейская идентичность

Тождество Пифагора , является выражением теоремы Пифагора в терминах тригонометрических функций. это

Формулы суммы и разности

Формулы суммы и разности позволяют разложить синус, косинус и тангенс суммы или разности двух углов на синусы и косинусы и тангенсы самих углов. Их можно вывести геометрически, используя аргументы, восходящие к Птолемею . Их также можно произвести алгебраически, используя формулу Эйлера .

Сумма
Разница

Когда два угла равны, формулы суммы сводятся к более простым уравнениям, известным как формулы двойного угла .

Эти тождества можно использовать для получения тождеств продукта к сумме .

Установив все тригонометрические функции могут быть выражены в виде рациональных дробей от :

Вместе с

это подстановка касательных полууглов , которая сводит вычисление интегралов и первообразных тригонометрических функций к вычислению рациональных дробей.

Производные и первообразные

Эти производные тригонометрических функций являются результатом тех из синуса и косинуса путем применения правила фактор . Значения, указанные для первообразных в следующей таблице, можно проверить путем их дифференцирования. Число  C - постоянная интегрирования .

В качестве альтернативы производные «ко-функций» могут быть получены с использованием тригонометрических тождеств и цепного правила:

Обратные функции

Тригонометрические функции периодичны и, следовательно, не инъективны , поэтому, строго говоря, у них нет обратной функции . Однако на каждом интервале, на котором тригонометрическая функция является монотонной , можно определить обратную функцию, и это определяет обратные тригонометрические функции как многозначные функции . Чтобы определить истинную обратную функцию, необходимо ограничить область действия интервалом, в котором функция является монотонной и, таким образом, биективна от этого интервала к своему изображению функцией. Стандартный выбор для этого интервала, называемый набором основных значений , приведен в следующей таблице. Как обычно, обратные тригонометрические функции обозначаются префиксом «arc» перед названием или его сокращением.

Нотации грех -1 , потому -1 , и т.д., часто используются для ArcSin и агссоз и т.д. Когда это обозначение используется, обратные функции можно было бы смешивать с мультипликативным обратными. Обозначение с префиксом "arc" позволяет избежать такой путаницы, хотя "arcsec" для arcsecant можно спутать с " arcsecond ".

Так же, как синус и косинус, обратные тригонометрические функции также могут быть выражены в терминах бесконечных рядов. Их также можно выразить в виде комплексных логарифмов .

Приложения

Углы и стороны треугольника

В этом разделе A , B , C обозначают три (внутренних) угла треугольника, а a , b , c обозначают длины соответствующих противоположных краев. Они связаны различными формулами, названными по тригонометрическим функциям, которые они включают.

Закон синусов

Закон синусов гласит , что для произвольного треугольника со сторонами через , Ь и с и углов противоположных сторон этих , B и C :

,

где Δ - площадь треугольника, или, что то же самое,

,

где R - радиус описанной окружности треугольника .

Это можно доказать, разделив треугольник на два правильных и используя приведенное выше определение синуса. Закон синусов полезен для вычисления длин неизвестных сторон треугольника, если известны два угла и одна сторона. Это обычная ситуация, возникающая в триангуляции , методе определения неизвестных расстояний путем измерения двух углов и доступного замкнутого расстояния.

Закон косинусов

Закон косинусов (также известные как формула косинус или косинусы) является продолжением теоремы Пифагора :

,

или эквивалентно,

.

В этой формуле угол при C противоположен стороне  c . Эту теорему можно доказать, разделив треугольник на два прямоугольных и используя теорему Пифагора .

Закон косинусов можно использовать для определения стороны треугольника, если известны две стороны и угол между ними. Его также можно использовать для определения косинусов угла (и, следовательно, самих углов), если известны длины всех сторон.

Закон касательных

Следующие ниже все образуют закон касательных

;
;
.

Объяснение формул на словах было бы громоздким, но схемы сумм и разностей для длин и соответствующих противоположных углов очевидны в теореме.

Закон котангенсов

Если

(радиус вписанной окружности для треугольника)

а также

(полупериметр треугольника),

то следующие все образуют закон котангенсов

;
;
.

Следует, что

.

На словах теорема такова: котангенс полуугла равен отношению полупериметра минус противоположная сторона к указанному углу и внутреннему радиусу треугольника.

Лиссажу кривая , фигура образована с функцией тригонометрии на основе.

Периодические функции

Анимация аддитивного синтеза в виде прямоугольной волны с увеличением числа гармоник
Базисные синусоидальные функции (внизу) при добавлении могут образовывать пилообразную волну (вверху). Все базовые функции имеют узлы в узлах пилообразной формы, а все, кроме основной ( k = 1 ), имеют дополнительные узлы. Колебания, наблюдаемые вокруг пилообразного зуба при большом k , называют феноменом Гиббса.

Тригонометрические функции также важны в физике. Функции синуса и косинуса, например, используются для описания простого гармонического движения , которое моделирует многие природные явления, такие как движение массы, прикрепленной к пружине, и, для малых углов, маятниковое движение массы, подвешенной на пружине. нить. Функции синуса и косинуса являются одномерными проекциями равномерного кругового движения .

Тригонометрические функции также оказываются полезными при изучении общих периодических функций . Характерные волновые структуры периодических функций полезны для моделирования повторяющихся явлений, таких как звуковые или световые волны .

В довольно общих условиях периодическая функция f ( x ) может быть выражена как сумма синусоидальных или косинусоидальных волн в ряду Фурье . Обозначая базисные функции синуса или косинуса через φ k , разложение периодической функции f ( t ) принимает вид:

Например, прямоугольную волну можно записать в виде ряда Фурье

На анимации прямоугольной волны вверху справа видно, что всего несколько членов уже дают довольно хорошее приближение. Внизу показано наложение нескольких членов в разложении пилообразной волны .

История

В то время как раннее изучение тригонометрии можно проследить до древности, тригонометрические функции в том виде, в котором они используются сегодня, были разработаны в средневековый период. Хорда функция была обнаружена Гиппарх из Никеи (180-125 г. до н.э.) и Птолемея из римского Египта (90-165 н.э.). Функции синуса и версина (1 - косинус) можно проследить до функций джья и коти-джья, используемых в индийской астрономии периода Гупта ( Арьябхатия , Сурья Сиддханта ), путем перевода с санскрита на арабский, а затем с арабского на латинский. (См . Таблицу синусов Арьябхаты .)

Все шесть тригонометрических функций, используемых в настоящее время, были известны в исламской математике к IX веку, как и закон синусов , используемый при решении треугольников . За исключением синуса (который был заимствован из индийской математики), другие пять современных тригонометрических функций были открыты персидскими и арабскими математиками, включая косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Аль-Хваризми (ок. 780–850) составил таблицы синусов, косинусов и тангенсов. Около 830 года Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази открыл котангенс и составил таблицы касательных и котангенсов. Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (853–929) открыл взаимные функции секанса и косеканса и составил первую таблицу косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °. Позднее тригонометрические функции изучались математиками, включая Омара Хайяма , Бхаскара II , Насира ад-Дина ат-Туси , Джамшида аль-Каши (14 век), Улугбека (14 век), Региомонтана (1464 год), Ретикуса и ученика Ретикуса. Валентин Отон .

Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1400 г.) сделал первые шаги в анализе тригонометрических функций в терминах бесконечных рядов . (См серии Мадхава и синус таблицы Мадхава в .)

Термины касательная и секанс впервые были введены датским математиком Томасом Финке в его книге Geometria rotundi (1583).

Французский математик 17 века Альбер Жирар впервые опубликовал аббревиатуры sin , cos и tan в своей книге « Тригонометрия» .

В статье, опубликованной в 1682 году, Лейбниц доказал, что sin x не является алгебраической функцией от x . Хотя результат Лейбница был представлен как отношения сторон прямоугольного треугольника и, таким образом, представлялся рациональными функциями , он установил, что они на самом деле являются трансцендентными функциями своего аргумента. Задача ассимиляции круговых функций в алгебраические выражения была решена Эйлером в его « Введении в анализ бесконечного» (1748 г.). Его метод заключался в том, чтобы показать, что функции синуса и косинуса представляют собой чередующиеся ряды, образованные из четных и нечетных членов соответственно экспоненциального ряда . Он представил « формулу Эйлера », а также рядом современный аббревиатуры ( грех. , COS. , Тан. , Раскладушка. , Сек. , И COSEC. ).

Некоторые функции были обычными исторически, но теперь используются редко, например, аккорд , версин (который появился в самых ранних таблицах), кавер-синус , гаверсинус , эксеканс и экзосеканс . Список тригонометрических тождеств показывает больше отношения между этими функциями.

  • crd ( θ ) = 2 sin (θ/2)
  • versin ( θ ) = 1 - cos ( θ ) = 2 sin 2 (θ/2)
  • покрываетin ( θ ) = 1 - sin ( θ ) = versin (π/2- θ )
  • хаверсин ( θ ) =1/2versin ( θ ) = sin 2 (θ/2)
  • exsec ( θ ) = sec ( θ ) - 1
  • excsc ( θ ) = exsec (π/2- θ ) = csc ( θ ) - 1

Этимология

Слово синус происходит от латинского sinus , означающего «изгиб; залив», а точнее «свисающая складка верхней части тоги », «пазухи одежды», которая была выбрана как перевод того, что интерпретировалось как арабское слово jaib , означающее «карман» или «складка» в переводах двенадцатого века произведений Аль-Баттани и Аль-Хваризми на средневековую латынь . Выбор был основан на неправильном прочтении арабской письменной формы jyb ( جيب ), которая сама возникла как транслитерация с санскрита jīvā , которая вместе со своим синонимом jyā (стандартный санскритский термин для синуса) переводится как "тетива", находясь в оборот заимствован от древнегреческого χορδή «струна».

Слово тангенс происходит от латинского tangens, означающего «касающийся», поскольку линия касается окружности с единичным радиусом, тогда как секанс происходит от латинского secans - «разрезание», поскольку линия пересекает окружность.

Префикс « со- » (в «косинус», «котангенс», «косеканс») находится в Эдмунд Гюнтер «ы Canon triangulorum (1620), который определяет COSINUS как аббревиатура для синусового Complementi (синус дополнительного угла ) и аналогичным образом переходит к определению котангенов .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки