Правило сумм в квантовой механике - Sum rule in quantum mechanics

В квантовой механике , A правило сумм представляет собой формулу для переходов между энергетическими уровнями, в которых сумма сильных переходных выражается в простой форме. Правила сумм используются для описания свойств многих физических систем, включая твердые тела, атомы, атомные ядра и ядерные составляющие, такие как протоны и нейтроны.

Правила сумм основаны на общих принципах и полезны в ситуациях, когда поведение отдельных уровней энергии слишком сложно для описания точной квантово-механической теорией. В общем, правила сумм выводятся с помощью квантово-механической алгебры Гейзенберга для построения операторных равенств, которые затем применяются к частицам или энергетическим уровням системы.

Вывод правил сумм

Предположим, что гамильтониан имеет полный набор собственных функций с собственными значениями : ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$${\ displaystyle | п \ rangle}$${\ displaystyle E_ {n}}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle.}$

Для эрмитова оператора мы итеративно определяем повторяющийся коммутатор следующим образом: ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {C}} ^ {(k)}}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} {\ hat {C}} ^ {(0)} & \ Equiv {\ hat {A}} \\ {\ hat {C}} ^ {(1)} & \ Equiv [{\ hat {H}}, {\ hat {A}}] = {\ hat {H}} {\ hat {A}} - {\ hat {A}} {\ hat {H}} \\ { \ hat {C}} ^ {(k)} & \ Equiv [{\ hat {H}}, {\ hat {C}} ^ {(k-1)}], \ \ \ k = 1,2, \ ldots \ end {выровнены}}}$

Оператор эрмитов, поскольку он определен как эрмитов. Оператор антиэрмитский: ${\ displaystyle {\ hat {C}} ^ {(0)}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ Displaystyle {\ шляпа {C}} ^ {(1)}}$

${\ displaystyle \ left ({\ hat {C}} ^ {(1)} \ right) ^ {\ dagger} = ({\ hat {H}} {\ hat {A}}) ^ {\ dagger} - ({\ hat {A}} {\ hat {H}}) ^ {\ dagger} = {\ hat {A}} {\ hat {H}} - {\ hat {H}} {\ hat {A} } = - {\ hat {C}} ^ {(1)}.}$

По индукции находим:

${\ displaystyle \ left ({\ hat {C}} ^ {(k)} \ right) ^ {\ dagger} = (- 1) ^ {k} {\ hat {C}} ^ {(k)}}$

а также

${\ displaystyle \ langle m | {\ hat {C}} ^ {(k)} | n \ rangle = (E_ {m} -E_ {n}) ^ {k} \ langle m | {\ hat {A} } | n \ rangle.}$

Для эрмитова оператора имеем

${\ displaystyle | \ langle m | {\ hat {A}} | n \ rangle | ^ {2} = \ langle m | {\ hat {A}} | n \ rangle \ langle m | {\ hat {A} } | n \ rangle ^ {\ ast} = \ langle m | {\ hat {A}} | n \ rangle \ langle n | {\ hat {A}} | m \ rangle.}$

Используя это соотношение, получаем:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ langle m | [{\ hat {A}}, {\ hat {C}} ^ {(k)}] | m \ rangle & = \ langle m | {\ hat { A}} {\ hat {C}} ^ {(k)} | m \ rangle - \ langle m | {\ hat {C}} ^ {(k)} {\ hat {A}} | m \ rangle \ \ & = \ sum _ {n} \ langle m | {\ hat {A}} | n \ rangle \ langle n | {\ hat {C}} ^ {(k)} | m \ rangle - \ langle m | {\ hat {C}} ^ {(k)} | n \ rangle \ langle n | {\ hat {A}} | m \ rangle \\ & = \ sum _ {n} \ langle m | {\ hat { A}} | n \ rangle \ langle n | {\ hat {A}} | m \ rangle (E_ {n} -E_ {m}) ^ {k} - (E_ {m} -E_ {n}) ^ {k} \ langle m | {\ hat {A}} | n \ rangle \ langle n | {\ hat {A}} | m \ rangle \\ & = \ sum _ {n} (1 - (- 1) ^ {k}) (E_ {n} -E_ {m}) ^ {k} | \ langle m | {\ hat {A}} | n \ rangle | ^ {2}. \ end {align}}}$

Результат можно записать как

${\ displaystyle \ langle m | [{\ hat {A}}, {\ hat {C}} ^ {(k)}] | m \ rangle = {\ begin {cases} 0, & {\ mbox {if} } k {\ mbox {четно}} \\ 2 \ sum _ {n} (E_ {n} -E_ {m}) ^ {k} | \ langle m | {\ hat {A}} | n \ rangle | ^ {2}, & {\ mbox {if}} k {\ mbox {нечетное}}. \ End {ases}}}$

За это дает: ${\ displaystyle k = 1}$

${\ displaystyle \ langle m | [{\ hat {A}}, [{\ hat {H}}, {\ hat {A}}]] | m \ rangle = 2 \ sum _ {n} (E_ {n } -E_ {m}) | \ langle m | {\ hat {A}} | n \ rangle | ^ {2}.}$

пример

См. Силу осциллятора .

Ссылки