Псевдотензор напряжения – энергии – импульса - Stress–energy–momentum pseudotensor

В теории общей теории относительности , в стресс-псевдотензора энергии-импульса , такие как псевдотензора Ландау-Лифшица , является продолжением негравитационное тензора энергии-импульса , который включает в себя энергию-импульс силы тяжести. Он позволяет определить энергию-импульс системы гравитирующего вещества. В частности, он позволяет всей материи плюс гравитирующей энергии-импульсу образовывать сохраняющийся ток в рамках общей теории относительности , так что полная энергия-импульс пересекает гиперповерхность (3-мерную границу) любого компактного гиперобъема пространства-времени ( 4-мерное подмногообразие) обращается в нуль.

Некоторые люди (например, Эрвин Шредингер ) возражали против этого вывода на том основании, что псевдотензоры являются неподходящими объектами в общей теории относительности, но закон сохранения требует только использования 4- расходимости псевдотензора, который в данном случае является тензором (который также исчезает). Кроме того, большинство псевдотензоров - это участки струйных пучков , которые теперь признаны совершенно допустимыми объектами в общей теории относительности.

Псевдотензор Ландау – Лифшица

Использование псевдотензора Ландау-Лифшица , в стресс-энергии-импульса псевдотензора для комбинированного вещества (включая фотоны и нейтрино) плюс сила тяжести, позволяет законы сохранения энергии-импульса , чтобы быть продлен в общей теории относительности . Вычитание тензора напряжения-энергии-импульса материи из комбинированного псевдотензора приводит к гравитационному псевдотензору энергии-импульса.

Требования

Ландау и Лифшиц руководствовались четырьмя требованиями при поиске псевдотензора импульса гравитационной энергии : ${\ displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} \,}$

1. чтобы он был полностью построен из метрического тензора , чтобы иметь чисто геометрическое или гравитационное происхождение.
2. чтобы он был симметричным по индексу, т. е. (чтобы сохранить угловой момент )${\ Displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} = t_ {LL} ^ {\ nu \ mu} \,}$
3. что при добавлении к тензору энергии-импульса вещества его полная 4- дивергенция исчезает (это требуется для любого сохраняющегося тока ), так что мы имеем сохраняющееся выражение для полного напряжения-энергии-импульса.${\ Displaystyle Т ^ {\ му \ ню} \,}$
4. что он обращается в нуль локально в инерциальной системе отсчета (которая требует, чтобы он содержал только производные метрики первого порядка, а не второго или более высокого порядка ). Это связано с тем, что принцип эквивалентности требует, чтобы гравитационное силовое поле, символы Кристоффеля , исчезли локально в некоторых системах отсчета. Если гравитационная энергия является функцией его силового поля, как это обычно бывает для других сил, то соответствующий гравитационный псевдотензор также должен исчезнуть локально.

Определение

Ландау и Лифшиц показали, что существует уникальная конструкция, удовлетворяющая этим требованиям, а именно:

${\ displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} = - {\ frac {c ^ {4}} {8 \ pi G}} G ^ {\ mu \ nu} + {\ frac {c ^ {4 }} {16 \ pi G (-g)}} \ left ((- g) \ left (g ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ alpha \ beta} -g ^ {\ mu \ alpha} g ^ {\ nu \ beta} \ right) \ right) _ {, \ alpha \ beta}}$

куда:

• G ^μν - тензор Эйнштейна (построенный по метрике)
• g ^μν - обратный метрическому тензору
• g = det ( g _μν ) - определитель метрического тензора. g <0 , отсюда его появление как.${\ displaystyle -g}$
• ${\ textstyle {} _ {, \ alpha \ beta} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {\ alpha} \ partial x ^ {\ beta}}} \,}$являются частными производными , а не ковариантными производными .
• G - гравитационная постоянная Ньютона .

Проверка

Изучив 4 условия требований, мы видим, что первые 3 относительно легко продемонстрировать:

1. Поскольку тензор Эйнштейна,, сам построен из метрики, следовательно,${\ Displaystyle G ^ {\ mu \ nu} \,}$${\ displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu}}$
2. Поскольку тензор Эйнштейна, симметричен, так и дополнительные члены симметричны на первый взгляд.${\ Displaystyle G ^ {\ mu \ nu} \,}$${\ displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu}}$
3. Псевдотензор Ландау-Лифшиц сконструирован таким образом, что при добавлении к тензору энергии- материи, ее общая 4- расхождение равно нулю: . Это следует из аннулирования тензора Эйнштейна с тензором энергии , с помощью уравнений поля Эйнштейна ; оставшийся член алгебраически обращается в нуль из-за коммутативности частных производных, применяемых по антисимметричным индексам.${\ Displaystyle Т ^ {\ му \ ню} \,}$${\ displaystyle \ left (\ left (-g \ right) \ left (T ^ {\ mu \ nu} + t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} \ right) \ right) _ {, \ mu} = 0}$${\ Displaystyle G ^ {\ mu \ nu} \,}$${\ Displaystyle Т ^ {\ му \ ню} \,}$
4. Псевдотензор Ландау-Лифшиц , как представляется , включает второй производные термины в метрике, но на самом деле явные вторые производные термины в псевдотензоре отменить с неявными вторыми производной терминов , содержащихся в тензоре Эйнштейна , . Это более очевидно, когда псевдотензор напрямую выражается через метрический тензор или связность Леви-Чивита ; выживают только первые производные члены в метрике, и они исчезают, когда система отсчета локально инерционна в любой выбранной точке. В результате весь псевдотензор исчезает локально (опять же, в любой выбранной точке) , что демонстрирует делокализацию гравитационной энергии-импульса.${\ Displaystyle G ^ {\ mu \ nu} \,}$${\ displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} = 0}$

Космологическая постоянная

Когда псевдотензор Ландау-Лифшиц сформулировал это было принято считать , что космологическая постоянная , была равна нулю. В настоящее время мы не делаем этого предположения , и выражение требует добавления члена, дающего: ${\ displaystyle \ Lambda \,}$${\ displaystyle \ Lambda \,}$

${\ displaystyle t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} = - {\ frac {c ^ {4}} {8 \ pi G}} \ left (G ^ {\ mu \ nu} + \ Lambda g ^ { \ mu \ nu} \ right) + {\ frac {c ^ {4}} {16 \ pi G (-g)}} \ left (\ left (-g \ right) \ left (g ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ alpha \ beta} -g ^ {\ mu \ alpha} g ^ {\ nu \ beta} \ right) \ right) _ {, \ alpha \ beta}}$

Это необходимо для согласования с уравнениями поля Эйнштейна .

Версии с метрическим и аффинным подключением

Ландау и Лифшиц также предоставляют два эквивалентных, но более длинных выражения для псевдотензора Ландау – Лифшица:

• Версия метрического тензора :

  ${\ displaystyle {\ begin {align} (- g) \ left (t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} + {\ frac {c ^ {4} \ Lambda g ^ {\ mu \ nu}} {8 \ pi G}} \ right) = {\ frac {c ^ {4}} {16 \ pi G}} {\ bigg [} & \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ mu \ nu } \ right) _ {, \ alpha} \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ alpha \ beta} \ right) _ {, \ beta} - \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ mu \ alpha} \ right) _ {, \ alpha} \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ nu \ beta} \ right) _ {, \ beta} + {} \\ & {\ frac {1} {8}} \ left (2g ^ {\ mu \ alpha} g ^ {\ nu \ beta} -g ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ alpha \ beta} \ right) \ left (2g _ {\ sigma \ rho} g _ {\ lambda \ omega} -g _ {\ rho \ lambda} g _ {\ sigma \ omega} \ right) \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ sigma \ omega} \ right) _ {, \ alpha} \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ rho \ lambda} \ right) _ {, \ beta} - {} \\ & \ left ( g ^ {\ mu \ alpha} g _ {\ beta \ sigma} \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ nu \ sigma} \ right) _ {, \ rho} \ left ({\ sqrt { -g}} g ^ {\ beta \ rho} \ right) _ {, \ alpha} + g ^ {\ nu \ alpha} g _ {\ beta \ sigma} \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ mu \ sigma} \ right) _ {, \ rho} \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ beta \ rho} \ right) _ {, \ alpha} \ right) + {} \ \ & \ left. {\ frac {1} {2}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ alpha \ beta} \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ alpha \ sig ma} \ right) _ {, \ rho} \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ rho \ beta} \ right) _ {, \ sigma} + g _ {\ alpha \ beta} g ^ { \ sigma \ rho} \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ mu \ alpha} \ right) _ {, \ sigma} \ left ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ nu \ бета} \ right) _ {, \ rho} \ right] \ end {align}}}$

• Версия аффинного подключения :

  ${\ displaystyle {\ begin {align} t_ {LL} ^ {\ mu \ nu} + {\ frac {c ^ {4} \ Lambda g ^ {\ mu \ nu}} {8 \ pi G}} = { \ frac {c ^ {4}} {16 \ pi G}} {\ Big [} & \ left (2 \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ sigma} \ Gamma _ {\ sigma \ rho} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ alpha \ rho} ^ {\ sigma} \ Gamma _ {\ beta \ sigma} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ alpha \ sigma} ^ {\ sigma} \ Gamma _ {\ beta \ rho} ^ {\ rho} \ right) \ left (g ^ {\ mu \ alpha} g ^ {\ nu \ beta} -g ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ alpha \ beta } \ right) + {} \\ & \ left (\ Gamma _ {\ alpha \ rho} ^ {\ nu} \ Gamma _ {\ beta \ sigma} ^ {\ rho} + \ Gamma _ {\ beta \ sigma } ^ {\ nu} \ Gamma _ {\ alpha \ rho} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ sigma \ rho} ^ {\ nu} \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ nu} \ Gamma _ {\ sigma \ rho} ^ {\ rho} \ right) g ^ {\ mu \ alpha} g ^ {\ beta \ sigma} + \\ & \ left (\ Gamma _ {\ alpha \ rho} ^ {\ mu} \ Gamma _ {\ beta \ sigma} ^ {\ rho} + \ Gamma _ {\ beta \ sigma} ^ {\ mu} \ Gamma _ {\ alpha \ rho} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ sigma \ rho} ^ {\ mu} \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} \ Gamma _ {\ sigma \ rho} ^ {\ rho} \ right) g ^ {\ nu \ alpha} g ^ {\ beta \ sigma} + \\ & \ left. \ слева (\ Gamma _ {\ alpha \ sigma} ^ {\ mu} \ Gamma _ {\ beta \ rho} ^ {\ nu} - \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} \ Gamma _ {\ sigma \ rho} ^ {\ nu} \ right) g ^ {\ alpha \ beta} g ^ {\ sigma \ rho} \ right] \ end {выровнено}}}$

Это определение энергии-импульса ковариантно применимо не только при преобразованиях Лоренца, но и при общих преобразованиях координат.

Псевдотензор Эйнштейна

Этот псевдотензор был первоначально разработан Альбертом Эйнштейном .

Поль Дирак показал, что смешанный псевдотензор Эйнштейна

${\ displaystyle {t _ {\ mu}} ^ {\ nu} = {\ frac {c ^ {4}} {16 \ pi G {\ sqrt {-g}}}} \ left (\ left (g ^ { \ alpha \ beta} {\ sqrt {-g}} \ right) _ {, \ mu} \ left (\ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ nu} - \ delta _ {\ beta} ^ {\ nu} \ Gamma _ {\ alpha \ sigma} ^ {\ sigma} \ right) - \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu} g ^ {\ alpha \ beta} \ left (\ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ sigma} \ Gamma _ {\ sigma \ rho} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ alpha \ sigma} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ beta \ rho} ^ {\ sigma} \ right) {\ sqrt {-g}} \ right)}$

удовлетворяет закону сохранения

${\ displaystyle \ left (\ left ({T _ {\ mu}} ^ {\ nu} + {t _ {\ mu}} ^ {\ nu} \ right) {\ sqrt {-g}} \ right) _ { , \ nu} = 0.}$

Ясно, что этот псевдотензор для гравитационного напряжения-энергии построен исключительно на основе метрического тензора и его первых производных. Следовательно, он обращается в нуль в любом случае, когда система координат выбирается так, чтобы первые производные метрики обращались в нуль, потому что каждый член в псевдотензоре квадратичен по первым производным метрики. Однако он не является симметричным и поэтому не подходит в качестве основы для определения углового момента.

Смотрите также

• Тензор Беля – Робинсона
• Гипотеза Куперстока о локализации энергии
• Гравитационная волна

Примечания

использованная литература

• Нелинейные возмущения и законы сохранения на искривленном фоне в ОТО и других метрических теориях А.Н. Петрова
• lantonov.blogspot.com/2012/02/landau-lifshitz-pseudotensor.html