Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии к универсальной геометрии -Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry
Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry - это книга математика Нормана Дж. Вильдбергера 2005 года, посвященная предлагаемому альтернативному подходу к евклидовой геометрии и тригонометрии , называемому рациональной тригонометрией . В книге предлагается заменить обычные базовые величины тригонометрии, евклидова расстояния имеры угла квадратом расстояния и квадратом синуса угла соответственно. Это логически эквивалентно стандартной разработке (поскольку количества замены могут быть выражены в терминах стандартных и наоборот). Автор утверждает, что его подход имеет некоторые преимущества, такие как устранение необходимости в иррациональных числах.
Книга была «по существу самостоятельно издана» Вильдбергером через его издательскую компанию Wild Egg. Формулы и теоремы в книге считаются правильной математикой, но утверждения о практическом или педагогическом превосходстве в первую очередь продвигаются самим Вильдбергером и получили неоднозначные отзывы.
Обзор
Основная идея Божественных пропорций состоит в том, чтобы заменить расстояния квадратом евклидова расстояния , переименованного в этой книге как квадранс , и заменить углы квадратами их синусов, переименованных в этой книге как распространение и рассматриваемые как мера разделения (скорее, чем количество вращения) между двумя строками. Divine Proportions определяет обе эти концепции непосредственно из декартовых координат точек, которые определяют отрезок линии или пару пересекающихся линий, а не косвенно из расстояний и углов. Определенные таким образом, они являются рациональными функциями этих координат и могут быть вычислены напрямую без необходимости использования квадратных корней, необходимых для вычисления расстояний по координатам, или обратных тригонометрических функций, необходимых для вычисления углов для координат.
Согласно Divine Proportions , эта замена имеет несколько ключевых преимуществ:
- Для точек, заданных координатами рациональных чисел, квадранс пар точек и разброс троек точек снова являются рациональными, что позволяет избежать необходимости в иррациональных числах или концепциях пределов, используемых для определения действительных чисел.
- Избегая действительных чисел, он также избегает того, что, по утверждению Вильдбергера, является фундаментальными проблемами в определении углов и вычислимости действительных чисел.
- Это позволяет распространить аналогичные концепции непосредственно на другие системы счисления, такие как конечные поля, с помощью тех же формул для квадранта и разброса, которые можно было бы использовать для рациональных чисел.
Кроме того, этот метод позволяет избежать неоднозначности двух дополнительных углов, образованных парой линий, поскольку оба угла имеют одинаковый разброс. Эта система считается более интуитивной и легко расширяется от двух до трех измерений. Однако в обмен на эти преимущества теряется аддитивность расстояний и углов: например, если отрезок линии делится на две части, его длина равна сумме длин двух частей, но объединение квадрантов частей является более сложный и требует квадратных корней.
Организация и темы
Божественные пропорции разделены на четыре части. В части I представлен обзор использования квадранса и разброса для замены расстояния и угла, а также приводятся аргументы в пользу их преимуществ. Часть II формализует претензии, сделанные в части I, и строго их доказывает. Вместо того, чтобы определять линии как бесконечные наборы точек, они определяются своими однородными координатами , которые могут использоваться в формулах для проверки падения точек и линий. Как и синус, косинус и тангенс заменяются рациональными эквивалентами, называемыми «крест» и «скручивание», а Divine Proportions разрабатывает различные аналоги тригонометрических тождеств, включающих эти величины, включая версии теоремы Пифагора , закона синусов и закона величин. косинусы .
В части III разрабатывается геометрия треугольников и конических сечений с использованием инструментов, разработанных в двух предыдущих частях. Хорошо известные результаты, такие как формула Герона для вычисления площади треугольника по длинам его сторон или теорема о вписанном угле в форме, что углы, образуемые хордой окружности из других точек окружности, равны, переформулированы в терминах квадрансности и размаха и, таким образом, обобщены на произвольные поля чисел. Наконец, в части IV рассматриваются практические приложения в физике и геодезии, а также разрабатываются расширения на многомерное евклидово пространство и полярные координаты .
Зрительская аудитория
Divine Proportions не предполагает большого количества математических знаний у своих читателей, но ее многочисленные длинные формулы, частое рассмотрение конечных полей и (после части I) упор на математическую строгость, вероятно, будут препятствиями для популярной математической аудитории. Вместо этого он в основном написан для учителей математики и исследователей. Однако он также может быть прочитан студентами-математиками и содержит упражнения, позволяющие использовать его в качестве основы для курса математики.
Критический прием
Особенность книги, которая была наиболее положительно воспринята рецензентами, заключалась в том, что в ней результаты по дистанционной и угловой геометрии были распространены на конечные поля. Рецензент Лаура Висвелл сочла эту работу впечатляющей и была очарована результатом, что наименьшее конечное поле, содержащее правильный пятиугольник, является . Майкл Хенле называет расширение геометрии треугольников и конических сечений на конечные поля в части III книги «элегантной теорией большой общности», и Уильям Баркер также одобрительно пишет об этом аспекте книги, называя его «особенно новым». и, возможно, открытие новых направлений исследований.
Уизвелл поднимает вопрос о том, сколько подробных результатов, представленных в этой работе без указания авторства, на самом деле являются новыми. В этом свете Майкл Хенле отмечает, что использование квадрата евклидова расстояния «часто оказывается удобным в другом месте»; например, он используется в геометрии расстояний , статистике наименьших квадратов и выпуклой оптимизации . Джеймс Франклин отмечает, что для пространств трех или более измерений, традиционно моделируемых с использованием линейной алгебры , использование распределения с помощью Божественных пропорций не сильно отличается от стандартных методов, включающих точечные произведения вместо тригонометрических функций.
Преимущество методов Вильдбергера, отмеченных Хенле, состоит в том, что, поскольку они включают только простую алгебру, доказательства легко проследить и легко проверить на компьютере. Однако он предполагает, что притязания книги на большую простоту общей теории основаны на ложном сравнении, в котором квадранс и разброс взвешиваются не с соответствующими классическими концепциями расстояний, углов и синусов, а с гораздо более широким набором инструментов из классических тригонометрия. Он также отмечает, что для студента с научным калькулятором формулы, избегающие квадратных корней и тригонометрических функций, не являются проблемой, и Баркер добавляет, что новые формулы часто включают большее количество отдельных шагов вычисления. Хотя несколько рецензентов считали, что сокращение времени, необходимого для обучения студентов тригонометрии, было бы очень желательным, Пол Кэмпбелл скептически относится к тому, что эти методы действительно ускорят обучение. Джерри Леверша сохраняет непредвзятость и пишет, что «будет интересно увидеть некоторые из учебников, предназначенных для школьников [которые Вильдбергер] обещал выпустить, и ... контролируемые эксперименты с участием студенческих морских свинок». Однако по состоянию на 2020 год эти учебники и эксперименты не опубликованы.
Уизвелла не убеждает утверждение, что традиционная геометрия имеет фундаментальные недостатки, которых избегают эти методы. Соглашаясь с Уизвеллом, Баркер отмечает, что могут быть и другие математики, которые разделяют философские подозрения Вильдбергера о бесконечности, и что эта работа должна представлять для них большой интерес.
Последний вопрос, поднятый множеством рецензентов, - это инерция: предположим ради аргумента, что эти методы лучше, достаточно ли они лучше, чтобы окупить большие индивидуальные усилия по повторному изучению геометрии и тригонометрии в этих терминах, а также институциональные усилия по повторному изучению геометрии и тригонометрии. -работать школьную программу, чтобы использовать их вместо классической геометрии и тригонометрии? Хенле, Баркер и Леверша приходят к выводу, что книга не обосновала это, но Сандра Арлингхаус рассматривает эту работу как возможность для таких областей, как ее математическая география, «которые относительно мало инвестировали в традиционную институциональную жесткость», чтобы продемонстрировать перспективность такая замена.
Смотрите также
- Конфигурация Перлеса , конечный набор точек и линий на евклидовой плоскости, которые не могут быть представлены с рациональными координатами