Симметрии пространства-времени - Spacetime symmetries

Симметрии пространства-времени - это особенности пространства-времени, которые можно описать как проявление некоторой формы симметрии . Роль симметрии в физике важна для упрощения решений многих проблем. SpaceTime симметрия используется при изучении точных решений в полевых уравнениях Эйнштейна в общей теории относительности . Симметрии пространства-времени отличаются от внутренних симметрий .

Физическая мотивация

Физические проблемы часто исследуются и решаются путем наблюдения за особенностями, имеющими некоторую форму симметрии. Например, в решении Шварцшильда роль сферической симметрии важна для вывода решения Шварцшильда и вывода физических последствий этой симметрии (таких как отсутствие гравитационного излучения в сферически пульсирующей звезде). В космологических проблемах симметрия играет роль в космологическом принципе , который ограничивает типы вселенных, которые согласуются с крупномасштабными наблюдениями (например, метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера (FLRW) ). Симметрии обычно требуют некоторой формы сохранения свойства, наиболее важные из которых в общей теории относительности включают следующее:

сохраняя геодезические пространства-времени
сохраняя метрический тензор
с сохранением тензора кривизны

Эти и другие симметрии будут рассмотрены ниже более подробно. Это свойство сохранения, которым обычно обладают симметрии (упомянутое выше), может быть использовано для обоснования полезного определения самих этих симметрий.

Математическое определение

Строгое определение симметрий в общей теории относительности было дано Холлом (2004). В этом подходе идея состоит в использовании (гладких) векторных полей , диффеоморфизмы локальных потоков которых сохраняют некоторые свойства пространства-времени . (Обратите внимание, что следует подчеркнуть в своем мышлении, что это диффеоморфизм - преобразование дифференциального элемента. Подразумевается, что поведение объектов с протяженностью может быть не столь явно симметричным.) Это сохраняющее свойство диффеоморфизмов уточняется следующим образом . Гладкий векторное поле $X$ на пространственно - временные $М$ называются сохранить гладкую тензор $Т$ на $М$ (или $Т$ является инвариантным под $X$ ) , если для каждого гладкого локального потока Диффеоморфизм $φ т$ , связанные с $X$ , тензоры $Т$ и $ф * t (T)$ равны на области определения $ϕ t$ . Это утверждение эквивалентно более пригодном состоянии , что производная Ли от тензора при векторного поля равна нулю:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T = 0}

на $M$ . Следствием этого является то, что для любых двух точек $p$ и $q$ на $M$ координаты $T$ в системе координат вокруг $p$ равны координатам $T$ в системе координат вокруг $q$ . Симметрии на пространстве - времени является гладкое векторное поле, локальные диффеоморфизмы потока сохраняют некоторый (обычно геометрический) особенность пространства - времени. (Геометрическая) характеристика может относиться к определенным тензорам (таким как метрика или тензор энергии-импульса) или к другим аспектам пространства-времени, таким как его геодезическая структура. Векторные поля иногда называют коллинеациями , векторными полями симметрии или просто симметриями . Множество всех векторных полей симметрии на $M$ образует алгебру Ли при операции скобки Ли, как видно из тождества:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {[X, Y]} T = {\ mathcal {L}} _ {X} ({\ mathcal {L}} _ {Y} T) - {\ mathcal { L}} _ {Y} ({\ mathcal {L}} _ {X} T)}

термин справа обычно пишется со злоупотреблением обозначениями , как

{\ displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {X}, {\ mathcal {L}} _ {Y}] T.}

Убивающая симметрия

Векторное поле Киллинга является одним из наиболее важных типов симметрий и определяется как гладкое векторное поле $X$ , сохраняющее метрический тензор $g$ :

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = 0.}

Обычно это записывается в развернутом виде как:

{\ displaystyle X_ {a; b} + X_ {b; a} = 0.}

Векторные поля Киллинга находят широкое применение (в том числе в классической механике ) и связаны с законами сохранения .

Гомотетическая симметрия

Гомотетическое векторное поле - это такое поле, которое удовлетворяет:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = 2cg.}

где $c$ - действительная постоянная. Гомотетические векторные поля находят применение при изучении особенностей в общей теории относительности.

Аффинная симметрия

Аффинное векторное поле - это такое поле, которое удовлетворяет:

{\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} g) _ {ab; c} = 0}

Аффинное векторное поле сохраняет геодезические и сохраняет аффинный параметр.

Вышеупомянутые три типа векторных полей являются частными случаями проективных векторных полей, которые сохраняют геодезические, не обязательно сохраняя аффинный параметр.

Конформная симметрия

Конформное векторное поле - это такое поле, которое удовлетворяет:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = \ phi g}

где $φ$ гладкая вещественная функция на $M$ .

Симметрия кривизны

Коллинеация кривизны - это векторное поле, сохраняющее тензор Римана :

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} {R ^ {a}} _ {bcd} = 0}

где $R a bcd$ - компоненты тензора Римана. Множество всех гладких коллинеация кривизны образует алгебру Ли под кронштейном Ли операции (если условие гладкости отбрасывается, множество всех кривизны коллинеаций нужно не образует алгебры Ли). Алгебра Ли обозначается $CC (M)$ и может быть бесконечным - мерная . Каждое аффинное векторное поле является коллинеацией кривизны.

Симметрия материи

Менее известная форма симметрии касается векторных полей, сохраняющих тензор энергии-импульса. Они по-разному называются коллинеациями материи или симметриями материи и определяются:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T = 0,}

где $T$ - ковариантный тензор энергии-импульса. Здесь можно выделить тесную связь между геометрией и физикой, поскольку векторное поле $X$ рассматривается как сохраняющее определенные физические величины вдоль потоковых линий $X$ , что верно для любых двух наблюдателей. В связи с этим можно показать, что каждое векторное поле Киллинга является коллинеацией материи (по уравнениям поля Эйнштейна с космологической постоянной или без нее ). Таким образом, при заданном решении EFE векторное поле, сохраняющее метрику, обязательно сохраняет соответствующий тензор энергии-импульса . Когда тензор энергии-импульса представляет собой идеальную жидкость, каждое векторное поле Киллинга сохраняет плотность энергии, давление и векторное поле потока жидкости. Когда тензор энергии-импульса представляет собой электромагнитное поле, векторное поле Киллинга не обязательно сохраняет электрическое и магнитное поля.

Локальные и глобальные симметрии

Приложения

Как упоминалось в начале этой статьи, основное применение этих симметрий происходит в общей теории относительности, где решения уравнений Эйнштейна могут быть классифицированы путем наложения некоторых определенных симметрий на пространство-время.

Классификация пространства-времени

Классификация решений EFE составляет значительную часть исследований общей теории относительности. Различные подходы к классификации хронотопы, в том числе с использованием классификации Сегре тензора энергии-импульса или классификации Петрова в Вейль Тензор были изучены многими исследователями, в первую очередь Stephani и др. (2003). Они также классифицируют пространство-время, используя векторные поля симметрии (особенно симметрии Киллинга и гомотетические симметрии). Например, векторные поля Киллинга могут использоваться для классификации пространства-времени, поскольку существует ограничение на количество глобальных гладких векторных полей Киллинга, которыми может обладать пространство-время (максимум 10 для четырехмерного пространства-времени). Вообще говоря, чем выше размерность алгебры векторных полей симметрии в пространстве-времени, тем большую симметрию допускает пространство-время. Например, решение Шварцшильда имеет алгебру Киллинга размерности 4 (три пространственных векторных поля вращения и сдвиг во времени), тогда как метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера (исключая статический подслучай Эйнштейна ) имеет алгебру Киллинга размерности 6 ( три перевода и три поворота). Статическая метрика Эйнштейна имеет алгебру Киллинга размерности 7 (предыдущие 6 плюс перевод времени).

Предположение о пространстве-времени, допускающем определенное векторное поле симметрии, может накладывать ограничения на пространство-время.

Список симметричных пространств-времени

У следующих пространств-таймов есть свои отдельные статьи в Википедии:

Смотрите также

использованная литература

Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные лекции по физике) . Сингапур: World Scientific. ISBN 981-02-1051-5 . . См. Определение симметрии в разделе 10.1 .
Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хенселаерс, Корнелиус; Герлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7 .
Шютц, Бернард (1980). Геометрические методы математической физики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29887-3 . . См. Главу 3 о свойствах производной Ли и раздел 3.10 для определения инвариантности.

Languages

In other projects