Гладкая структура - Smooth structure

В математике , А гладкая структура на многообразии позволяет для однозначного понятия гладкой функции . В частности, гладкая структура позволяет проводить математический анализ многообразия.

Определение

Гладкая структура на многообразии - это набор гладко эквивалентных гладких атласов. Здесь, гладкий атлас для топологического многообразия является Н. атласа для таких , что каждая функция перехода является гладким отображением , и два гладких атласов для является гладко эквивалентными , если их объединением снова гладким атласом для Это дает естественное отношение эквивалентности на множестве гладкие атласы. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M.}$

Гладкое многообразие является топологическим многообразием вместе с гладкой структурой на${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M.}$

Максимальные гладкие атласы

Объединяя все атласы, принадлежащие гладкой структуре, мы получаем максимальный гладкий атлас . Этот атлас содержит все диаграммы, совместимые с гладкой структурой. Между гладкими структурами и максимальными гладкими атласами существует естественное взаимно однозначное соответствие. Таким образом, мы можем рассматривать гладкую структуру как максимальный атлас и наоборот.

В общем, вычисления с максимальным атласом многообразия довольно громоздки. Для большинства приложений достаточно выбрать атлас меньшего размера. Например, если многообразие компактно , то можно найти атлас только с конечным числом карт.

Эквивалентность гладких конструкций

Пусть и - два максимальных атласа на . Две гладкие структуры, связанные с и, называются эквивалентными, если существует такой диффеоморфизм , что${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle f: M \ to M}$${\ displaystyle \ mu \ circ f = \ nu.}$

Экзотические сферы

Джон Милнор показал в 1956 году, что 7-мерная сфера допускает гладкую структуру, не эквивалентную стандартной гладкой структуре. Сфера с нестандартной гладкой структурой называется экзотической сферой .

Коллектор E8

Многообразие Е8 является примером топологического многообразия , что не допускает гладкую структуру. Это, по сути, показывает, что теорема Рохлина верна только для гладких структур, а не для топологических многообразий вообще.

Связанные структуры

Требования гладкости для функций перехода могут быть ослаблены, так что нам нужно только, чтобы карты перехода были непрерывно дифференцируемыми в несколько раз; или усилены, так что мы требуем, чтобы карты переходов были реально-аналитическими. Соответственно, это дает или (действительную) аналитическую структуру на многообразии, а не гладкую. Точно так же мы можем определить сложную структуру , потребовав, чтобы карты перехода были голоморфными. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle C ^ {k}}$

Смотрите также

• Гладкая рама
• Атлас (топология)  - Набор схем, описывающих многообразие

Рекомендации