Усреднение сигнала - Signal averaging

Усреднение сигнала - это метод обработки сигнала , применяемый во временной области , предназначенный для увеличения мощности сигнала по сравнению с шумом, который его затемняет. Посредством усреднения набора повторных измерений отношение сигнал / шум (SNR) будет увеличено, в идеале пропорционально квадратному корню из числа измерений.

Получение SNR для усредненных сигналов

Предполагается, что

• Сигнал некоррелировано к шуму, и шум некоррелировано: .${\ displaystyle s (t)}$${\ Displaystyle г (т)}$${\ Displaystyle E [Z (T) Z (t- \ tau)] = 0 = E [z (t) s (t- \ tau)] \ forall t, \ tau}$
• Мощность сигнала при повторных измерениях постоянна.${\ Displaystyle P_ {сигнал} = E [s ^ {2}]}$
• Шум является случайным, со средним значением, равным нулю, и постоянной дисперсией в повторных измерениях: и .${\ Displaystyle E [z] = 0 = \ mu}$${\ displaystyle 0 <E [\ left (z- \ mu \ right) ^ {2}] = E [z ^ {2}] = P_ {noise} = \ sigma ^ {2}}$
• Мы (канонически) определяем отношение сигнал / шум как .${\ displaystyle SNR = {\ frac {P_ {signal}} {P_ {noise}}} = {\ frac {E [s ^ {2}]} {\ sigma ^ {2}}}}$

Мощность шума дискретизированных сигналов

Предполагая, что мы сэмплируем шум, мы получаем дисперсию по выборке, равную

${\ displaystyle \ mathrm {Var} (z) = E [z ^ {2}] = \ sigma ^ {2}}$.

Усреднение случайной величины приводит к следующей дисперсии:

${\ displaystyle \ mathrm {Var} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} \ right) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ mathrm {Var} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} \ right) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Var} \ left (z_ {i} \ right)}$.

Поскольку дисперсия шума постоянна : ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Var} (N _ {\ text {avg}}) = \ mathrm {Var} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} \ right) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} n \ sigma ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sigma ^ {2}}$,

демонстрируя, что усреднение реализации одного и того же некоррелированного шума снижает мощность шума в раз и снижает уровень шума в раз . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$

Мощность сигнала для дискретизированных сигналов

Учитывая векторы отсчетов сигнала длиной : ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle V_ {я}, \, я \ в \ {1, \ ldots, п \}}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle V_ {i} = \ left [s_ {i, 1}, \ ldots, s_ {i, T} \ right], \ quad s_ {i, k} \ in \ mathbb {K} ^ {T} }$,

мощность такого вектора просто равна ${\ displaystyle P_ {i}}$

${\ displaystyle P_ {i} = \ sum _ {k = 1} ^ {T} {s_ {i, k} ^ {2}} = \ left | V_ {i} \ right | ^ {2}}$.

Опять же, усреднение векторов дает следующий усредненный вектор ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle V_ {я}, \, я = 1, \ ldots, п}$

${\ displaystyle V _ {\ text {avg}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {T} \ sum _ {i = 1} ^ {n} s_ {i, k} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {T} s_ {i, k}}$.

В случае, когда мы видим, что максимальное значение ${\ Displaystyle V_ {n} \ Equiv V_ {m} \ forall m, n \ in \ {1, \ ldots, n \}}$${\ displaystyle V _ {\ text {avg}}}$

${\ displaystyle V _ {\ text {avg, одинаковые сигналы}} = P_ {i}}$.

В этом случае отношение сигнал / шум также достигает максимума,

${\ displaystyle {\ text {SNR}} _ {\ text {avg, одинаковые сигналы}} = {\ frac {V _ {\ text {avg, одинаковые сигналы}}} {N _ {\ text {avg}}}} = n {\ text {SNR}}}$.

Это случай передискретизации , когда наблюдаемый сигнал коррелирован (поскольку передискретизация подразумевает, что наблюдения сигнала сильно коррелированы).

Сигналы с синхронизацией по времени

Усреднение применяется для усиления компонента сигнала с синхронизацией по времени в измерениях с шумами; временная синхронизация подразумевает, что сигнал периодичен для наблюдений, поэтому мы попадаем в приведенный выше максимальный случай.

Усреднение нечетных и четных испытаний

Конкретный способ получения реплик - усреднение всех нечетных и четных испытаний в отдельных буферах. Это дает возможность сравнивать четные и нечетные результаты испытаний с чередованием. Среднее значение нечетных и четных средних дает завершенный усредненный результат, в то время как разница между нечетными и четными средними значениями, деленная на два, составляет оценку шума.

Алгоритмическая реализация

Ниже приводится симуляция MATLAB процесса усреднения:

N=1000;   % signal length
even=zeros(N,1);  % even buffer
odd=even;         % odd buffer
actual_noise=even;% keep track of noise level
x=sin(linspace(0,4*pi,N))'; % tracked signal
for ii=1:256 % number of replicates
    n = randn(N,1); % random noise
    actual_noise = actual_noise+n;
    
    if (mod(ii,2))
        even = even+n+x;
    else
        odd=odd+n+x;
    end
end

even_avg = even/(ii/2); % even buffer average 
odd_avg = odd/(ii/2);   % odd buffer average
act_avg = actual_noise/ii; % actual noise level

db(rms(act_avg))
db(rms((even_avg-odd_avg)/2))
plot((odd_avg+even_avg)); 
hold on; 
plot((even_avg-odd_avg)/2)

Вышеупомянутый процесс усреднения и в целом приводит к оценке сигнала. По сравнению с необработанной кривой, усредненная шумовая составляющая уменьшается с каждым усредненным испытанием. При усреднении реальных сигналов основной компонент не всегда может быть таким четким, что приводит к повторным усреднениям при поиске согласованных компонентов в двух или трех повторностях. Маловероятно, что два или более последовательных результата будут получены случайно.

Коррелированный шум

Усреднение сигнала обычно в значительной степени основывается на предположении, что шумовая составляющая сигнала является случайной, имеет нулевое среднее значение и не связана с сигналом. Однако есть случаи, когда шум не является некоррелированным. Типичным примером коррелированного шума является шум квантования (например, шум, создаваемый при преобразовании аналогового сигнала в цифровой).

Рекомендации