График потока сигналов - Signal-flow graph

График , сигнал потока или сигнал Flowgraph ( СФГ ), изобретенный Клод Шеннон , но часто называется граф Мейсона после того, как Samuel Джефферсон Мейсона , который ввел термин, является специализированными графами потока , А ориентированный граф , в котором узлы представляют собой системные переменные, и ветви (ребра, дуги или стрелки) представляют собой функциональные связи между парами узлов. Таким образом, теория графов потоков сигналов основана на теории ориентированных графов (также называемых орграфами ), которая включает также теорию ориентированных графов . Эта математическая теория орграфов существует, конечно, отдельно от ее приложений.

SFG чаще всего используются для представления потока сигналов в физической системе и ее контроллере (ах), образуя киберфизическую систему . Среди других их применений - представление потока сигналов в различных электронных сетях и усилителях, цифровых фильтрах , фильтрах с переменным состоянием и некоторых других типах аналоговых фильтров. Почти во всей литературе граф потока сигналов ассоциируется с набором линейных уравнений .

История

Вай-Кай Чен писал: «Концепция графа потока сигналов была первоначально разработана Шенноном [1942] при работе с аналоговыми компьютерами. Наибольшая заслуга в формулировании графов потока сигналов обычно принадлежит Мэйсону [1953], [1956]. Он показал, как использовать технику графа потока сигналов для решения некоторых сложных электронных проблем относительно простым способом. Термин граф потока сигналов использовался из-за его первоначального применения к электронным задачам и связи с электронными сигналами и блок-схемами. исследуемых систем ».

Lorens писал: «До Мейсона работы«s, CE Shannon разработал ряд свойств , что теперь известно как графы потока К сожалению, документ первоначально имел ограниченную классификацию и очень немногие люди имели доступ к материалу..»

«Правила вычисления определителя графа графа Мейсона были впервые даны и доказаны Шенноном [1942] с использованием математической индукции. Его работа оставалась практически неизвестной даже после того, как Мейсон опубликовал свою классическую работу в 1953 году. Три года спустя Мейсон [1956] ] заново открыл правила и доказал их, рассмотрев значение определителя и то, как оно изменяется при добавлении переменных в график. [...] "

Домен приложения

Robichaud et al. определить область применения SFG следующим образом:

«Все физические системы, аналогичные этим сетям [построенные из идеальных трансформаторов, активных элементов и гираторов], составляют область применения разработанных [здесь] методов. Трент показал, что все физические системы, которые удовлетворяют следующим условиям, попадают в эту категорию .

1. Конечная система с сосредоточенными параметрами состоит из ряда простых частей, каждая из которых имеет известные динамические свойства, которые могут быть определены уравнениями с использованием двух типов скалярных переменных и параметров системы. Переменные первого типа представляют собой величины, которые могут быть измерены, по крайней мере, концептуально, путем присоединения показывающего прибора к двум точкам соединения элемента. Переменные второго типа характеризуют величины, которые можно измерить, последовательно подключив счетчик к элементу. Относительные скорости и положения, перепады давления и напряжения являются типичными величинами первого класса, тогда как электрические токи, силы, скорости теплового потока - переменными второго типа. Firestone была первой, кто различил эти два типа переменных с именами между переменными и через переменные .
2. Переменные первого типа должны подчиняться сеточному закону, аналогичному закону напряжения Кирхгофа, тогда как переменные второго типа должны подчиняться закону инцидентности, аналогичному текущему закону Кирхгофа.
3. Физические размеры соответствующих произведений переменных двух типов должны быть согласованы. Для систем, в которых выполняются эти условия, можно построить линейный граф, изоморфный динамическим свойствам системы, описываемым выбранными переменными. Эти методы [...] могут быть применены непосредственно к этим линейным графам, а также к электрическим сетям, чтобы получить граф потока сигналов системы ».

Основные концепции потокового графа

Следующая иллюстрация и ее значение были представлены Мэйсоном для иллюстрации основных понятий:

В простых потоковых графах рисунка функциональная зависимость узла обозначена входящей стрелкой, узел, порождающий это влияние, является началом этой стрелки, и в самом общем виде граф потока сигналов указывает входящими стрелками только те узлы, которые влияют на обработку в принимающем узле, и на каждом узле, i , входящие переменные обрабатываются в соответствии с функцией, связанной с этим узлом, скажем, F _i . Блок-граф в (а) представляет набор явных отношений:

${\ displaystyle {\ begin {align} x _ {\ mathrm {1}} & = {\ text {независимая переменная}} \\ x _ {\ mathrm {2}} & = F_ {2} (x _ {\ mathrm { 1}}, x _ {\ mathrm {3}}) \\ x _ {\ mathrm {3}} & = F_ {3} (x _ {\ mathrm {1}}, x _ {\ mathrm {2}}, x_ { \ mathrm {3}}) \\\ конец {выровнен}}}$

Узел x ₁ является изолированным узлом, поскольку стрелка не поступает; уравнения для x ₂ и x ₃ имеют графики, показанные в частях (b) и (c) рисунка.

Эти отношения определяют для каждого узла функцию, которая обрабатывает входные сигналы, которые он получает. Каждый узел, не являющийся источником, каким-либо образом объединяет входные сигналы и передает результирующий сигнал по каждой исходящей ветви. «Потоковый граф, как первоначально определил Мэйсон, подразумевает набор функциональных отношений, линейных или нет».

Однако обычно используемый граф Мейсона более ограничен, предполагая, что каждый узел просто суммирует свои входящие стрелки и что каждая ветвь включает только задействованный инициирующий узел. Таким образом, в этом более ограничительном подходе узел x ₁ не затрагивается, пока:

${\ displaystyle x_ {2} = f_ {21} (x_ {1}) + f_ {23} (x_ {3})}$

${\ Displaystyle x_ {3} = f_ {31} (x_ {1}) + f_ {32} (x_ {2}) + f_ {33} (x_ {3}) \,}$

и теперь функции f _ij могут быть связаны с ветвями потока сигналов ij, соединяющими пару узлов x _i , x _j , вместо того, чтобы иметь общие отношения, связанные с каждым узлом. Вклад узла в себя, такой как f ₃₃ для x ₃ , называется петлей . Часто эти функции являются просто мультипликативными коэффициентами (часто называемыми коэффициентами пропускания или коэффициентами усиления ), например, f _ij (x _j ) = c _ij x _j , где c - скаляр, но, возможно, функция некоторого параметра, такого как переменная преобразования Лапласа s . Графики потока сигналов очень часто используются с сигналами, преобразованными по Лапласу, потому что тогда они представляют собой системы линейных дифференциальных уравнений . В этом случае коэффициент пропускания c (s) часто называют передаточной функцией .

Выбор переменных

В общем, есть несколько способов выбора переменных в сложной системе. В соответствии с каждым выбором, система уравнений может быть записана и каждая система уравнений может быть представлена в виде графика. Эта формулировка уравнений становится прямой и автоматической, если в распоряжении человека есть методы, позволяющие построить график непосредственно из схематической диаграммы изучаемой системы. Структура графов , полученных таким образом , имеет отношение простого способа к топологии на схему , и оно становится ненужным рассматривать уравнения , даже неявно, чтобы получить график. В некоторых случаях нужно просто представить себе блок-схему на схематической диаграмме, и желаемые ответы можно получить, даже не нарисовав блок-схему.

-  Робишо

Неединственность

Robichaud et al. писал: «График потока сигналов содержит ту же информацию, что и уравнения, из которых он получен; но не существует взаимно однозначного соответствия между графиком и системой уравнений. Одна система будет давать разные графики в соответствии с порядок, в котором уравнения используются для определения переменной, записанной слева ". Если все уравнения связывают все зависимые переменные, то их n! возможные SFG на выбор.

Линейные графики потока сигналов

Методы линейного графа потока сигналов (SFG) применимы только к линейным системам , не зависящим от времени , как это изучается с помощью связанной с ними теории . При моделировании интересующей системы первым шагом часто является определение уравнений, представляющих работу системы, без указания причин и следствий (это называется акаузальным моделированием). Затем из этой системы уравнений выводится SFG.

Линейный SFG состоит из узлов, обозначенных точками, и взвешенных направленных ветвей, обозначенных стрелками. Узлы являются переменными уравнений, а веса ветвей - коэффициентами. Сигналы могут пересекать ветку только в направлении, указанном ее стрелкой. Элементы SFG могут представлять только операции умножения на коэффициент и сложения, которых достаточно для представления уравнений с ограничениями. Когда сигнал пересекает ветвь в указанном направлении, сигнал умножается на вес ветви. Когда две или несколько ветвей направляются в один и тот же узел, их выходы добавляются.

Для систем, описываемых линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями, граф потока сигналов математически эквивалентен системе уравнений, описывающей систему, и уравнения, управляющие узлами, обнаруживаются для каждого узла путем суммирования входящих ветвей к этому узлу. Эти входящие ветви передают вклады других узлов, выраженные как значение подключенного узла, умноженное на вес соединительной ветви, обычно действительное число или функцию некоторого параметра (например, переменной s преобразования Лапласа ).

Для линейных активных сетей Чома пишет: «Под« представлением потока сигналов »[или« графом », как его обычно называют] мы подразумеваем диаграмму, которая, отображая алгебраические отношения между соответствующими переменными ветвления сети, рисует однозначную картина того, как приложенный входной сигнал "течет" от портов ввода-вывода ... ".

Мотивация для анализа SFG описана Ченом:

«Анализ линейной системы в конечном итоге сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. В качестве альтернативы обычным алгебраическим методам решения системы можно получить решение, рассматривая свойства определенных ориентированных графов, связанных с система." [См. Подраздел: Решение линейных уравнений .] «Неизвестные уравнения соответствуют узлам графа, в то время как линейные отношения между ними проявляются в виде ориентированных ребер, соединяющих узлы. ... Связанные ориентированные графы во многих случаях могут быть установлены непосредственно путем осмотра физической системы без необходимости сначала формулировать → соответствующие уравнения ... "

Основные компоненты

Линейный график потока сигналов связан с системой линейных уравнений следующего вида:

${\ displaystyle {\ begin {align} x _ {\ mathrm {j}} & = \ sum _ {\ mathrm {k} = 1} ^ {\ mathrm {N}} t _ {\ mathrm {jk}} x _ {\ mathrm {k}} \ end {выровненный}}}$

где = коэффициент пропускания (или усиление) от до .${\ displaystyle t_ {jk}}$${\ displaystyle x_ {k}}$${\ displaystyle x_ {j}}$

На рисунке справа изображены различные элементы и конструкции графа потока сигналов (SFG).

Экспонат (а) представляет собой узел. В этом случае узел помечен . Узел - это вершина, представляющая переменную или сигнал. ${\ displaystyle x}$

Исходный узел имеет только исходящие ветви (представляет собой независимую переменную). В качестве особого случая входной узел характеризуется наличием одной или нескольких прикрепленных стрелок, указывающих от узла, и отсутствием стрелок, указывающих на узел. Любая открытая полная SFG будет иметь по крайней мере один входной узел.

Выход или раковина узел имеет только входящие ветви (представляет собой зависимую переменную). Хотя любой узел может быть выходом, явные выходные узлы часто используются для ясности. Узлы явного вывода характеризуются наличием одной или нескольких прикрепленных стрелок, указывающих на узел, и отсутствием стрелок, указывающих от узла. Явные выходные узлы не требуются.

Смешанный узел имеет входящие и исходящие ветви.

Пример (b) - это ветвь с мультипликативным усилением . Смысл в том, что результат на кончике стрелки умножается на ввод на конце стрелки. Коэффициент усиления может быть простой константой или функции (например , функция преобразования переменного некоторые , такие , как , или , для Лапласа, Фурье или Z-преобразование отношений).${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle z}$

Рисунок (c) - это ветвь с мультипликативным усилением, равным единице. Если коэффициент усиления не указан, предполагается, что он равен единице.

Экспонат (d) - входной узел. В этом случае умножается на коэффициент усиления .${\ displaystyle V_ {in}}$${\ displaystyle V_ {in}}$${\ displaystyle m}$

Пример (e) - явный выходной узел; входящий край имеет усиление .${\ displaystyle I_ {out}}$${\ displaystyle m}$

Приложение (f) изображает добавление. Когда две или более стрелки указывают на узел, сигналы, переносимые ребрами, складываются.

На рисунке (g) изображена простая петля. Петлевое усиление составляет .${\ Displaystyle А \ раз м}$

Экспонат (h) изображает выражение .${\ Displaystyle Z = aX + bY}$

Термины, используемые в линейной теории SFG, также включают:

• Дорожка. Путь - это непрерывный набор ветвей, пересекаемых в направлении, указанном стрелками ветвей.
  • Открытый путь. Если ни один узел не посещается повторно, путь открыт.
  • Прямой путь. Путь от входного узла (источника) к выходному узлу (приемнику), который не посещает повторно ни один узел.
• Прирост на пути : результат прироста всех ветвей на пути.
• Петля. Закрытый путь. (он начинается и заканчивается в одном и том же узле, и ни один узел не затрагивается более одного раза).
• Коэффициент усиления петли : произведение коэффициентов усиления всех ветвей в петле.
• Бесконтактные петли. Бесконтактные петли не имеют общих узлов.
• Редукция графа. Удаление одного или нескольких узлов из графа с помощью преобразований графа.
  • Остаточный узел. В любом предполагаемом процессе сокращения графа узлы, которые должны быть сохранены в новом графе, называются остаточными узлами.
• Разделение узла. Разделение узла соответствует разделению узла на два полуузла, один из которых является приемником, а другой - источником.
• Индекс : индекс графа - это минимальное количество узлов, которые необходимо разделить, чтобы удалить все петли в графе.
  • Индексный узел. Узлы, которые разделяются для определения индекса графа, называются узлами индекса , и, как правило, они не уникальны.

Систематическое сокращение до источников и поглотителей

Граф потока сигналов можно упростить с помощью правил преобразования графа. Эти правила упрощения также называются алгеброй графов потоков сигналов . Цель этого сокращения состоит в том, чтобы связать интересующие зависимые переменные (остаточные узлы, стоки) с его независимыми переменными (источниками).

Систематическое сокращение линейного графа потока сигналов - это графический метод, эквивалентный методу исключения Гаусса-Жордана для решения линейных уравнений.

Представленные ниже правила могут применяться снова и снова, пока граф потока сигналов не будет приведен к его «минимальной остаточной форме». Дальнейшее сокращение может потребовать устранения цикла или использования «формулы сокращения» с целью прямого соединения узлов-приемников, представляющих зависимые переменные, с узлами-источниками, представляющими независимые переменные. Таким образом, любой граф потока сигналов может быть упрощен путем последовательного удаления внутренних узлов до тех пор, пока не останутся только входные, выходные и индексные узлы. Робишо описал этот процесс систематической редукции потокового графа:

Сокращение графа происходит путем исключения определенных узлов для получения остаточного графа, показывающего только интересующие переменные. Это устранение узлов называется « поглощением узлов ». Этот метод близок к известному процессу последовательного исключения нежелательных переменных в системе уравнений. Можно исключить переменную, удалив соответствующий узел на графике. Если уменьшить график в достаточной степени, можно получить решение для любой переменной, и это цель, которая будет учтена в этом описании различных методов сокращения графа. На практике, однако, методы редукции будут использоваться исключительно для преобразования графа в остаточный граф, выражающий некоторые фундаментальные отношения. Полные решения будут легче получить, применяя правило Мейсона . Сам график программирует процесс редукции. Действительно, простой просмотр графика легко предлагает различные этапы редукции, которые выполняются элементарными преобразованиями, устранением петель или использованием формулы редукции.

-  Робишо, Графики потоков сигналов и приложения, 1962 г.

Для цифрового сокращения потокового графа с помощью алгоритма Робишо расширяет понятие простого потокового графа до обобщенного потокового графа:

Перед описанием процесса редукции ... соответствие между графиком и системой линейных уравнений ... должно быть обобщено ... Обобщенные графики будут представлять некоторые рабочие отношения между группами переменных ... К каждой ветви обобщенного Граф связан с матрицей, задающей отношения между переменными, представленными узлами на концах этой ветви ... Элементарные преобразования [определенные Робишо на его рис. 7.2, с. 184], и сокращение цикла позволяет исключить любой узел j графа по формуле редукции : [описанной в уравнении 7-1 Робишо]. С помощью формулы редукции всегда можно уменьшить граф любого порядка ... [После редукции] окончательный граф будет каскадным графом, в котором переменные узлов-приемников явно выражены как функции источников. Это единственный метод сокращения обобщенного графа, поскольку правило Мейсона явно неприменимо.

-  Робишо, Графики потоков сигналов и приложения, 1962 г.

Определение элементарного преобразования варьируется от автора к автору:

• Некоторые авторы рассматривают только как элементарные преобразования суммирование усилений параллельных фронтов и умножение усилений последовательных фронтов, но не устранение петель.
• Другие авторы рассматривают устранение петли как элементарное преобразование.

Параллельные края. Замените параллельные ребра одним ребром, имеющим усиление, равное сумме исходных усилений.

График слева имеет параллельные ребра между узлами. Справа эти параллельные ребра были заменены одним ребром, имеющим усиление, равное сумме усилений на каждом исходном ребре.

Уравнения, соответствующие редукции между N и узлом I _1, следующие:

${\ displaystyle {\ begin {align} N & = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm { 1}} f _ {\ mathrm {3}} + ... \\ N & = I _ {\ mathrm {1}} (f _ {\ mathrm {1}} + f _ {\ mathrm {2}} + f _ {\ mathrm {3}}) + ... \\\ конец {выровнено}}}$

Вытекающие края. Замените исходящие ребра ребрами, вытекающими непосредственно из источников узла.

График слева имеет промежуточный узел N между узлами, из которых он имеет приток, и узлами, к которым он вытекает. График справа показывает прямые потоки между этими множествами узлов, без транзита через N .

Для простоты N и его притоки не представлены. Устранены оттоки из N.

Уравнения, соответствующие редукции, напрямую связывающей входные сигналы N с его выходными сигналами, следующие:

${\ displaystyle {\ begin {align} N & = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm { 3}} f _ {\ mathrm {3}} \\ O _ {\ mathrm {1}} & = g _ {\ mathrm {1}} N \\ O _ {\ mathrm {2}} & = g _ {\ mathrm {2 }} N \\ O _ {\ mathrm {3}} & = g _ {\ mathrm {3}} N \\ O _ {\ mathrm {1}} & = g _ {\ mathrm {1}} (I _ {\ mathrm { 1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}}) \\ O_ { \ mathrm {2}} & = g _ {\ mathrm {2}} (I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}}) \\ O _ {\ mathrm {3}} & = g _ {\ mathrm {3}} (I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}}) \\ O _ {\ mathrm {1}} & = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} g _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} g _ {\ mathrm {1} } + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}} g _ {\ mathrm {1}} \\ O _ {\ mathrm {2}} & = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} g _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} g _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}} g _ {\ mathrm {2}} \\ O _ {\ mathrm {3} } & = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} g _ {\ mathrm {3}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} g _ {\ mathrm {3 }} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}} g _ {\ mathrm {3}} \\\ конец {выровнено}}}$

Узлы с нулевым сигналом.

Устранение выходящих ребер из узла, для которого определено нулевое значение.

Если значение узла равно нулю, его выходящие ребра могут быть устранены.

Узлы без оттоков.

Устранить узел без оттоков.

В этом случае N не представляет интереса и не имеет исходящих ребер; следовательно, N и его входящие края могут быть исключены.

Самоклеящийся край. Замените петлевые края, отрегулировав усиление на входящих краях.

График слева имеет зацикленное ребро в узле N с коэффициентом усиления g . Справа кромка петли удалена, а коэффициент усиления всех входящих кромок делится на (1-g) .

Уравнения, соответствующие уменьшению между N и всеми его входными сигналами, следующие:

${\ displaystyle {\ begin {align} N & = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm { 3}} f _ {\ mathrm {3}} + Ng \\ N-Ng & = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2 }} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}} \\ N (1-g) & = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}} \\ N & = (I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}}) \ div (1-g) \\ N & = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} \ div (1-g) + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} \ div (1-g) + I _ {\ mathrm {3 }} f _ {\ mathrm {3}} \ div (1-g) \\\ конец {выровнено}}}$

Реализации

Вышеупомянутая процедура построения SFG из акаузальной системы уравнений и решения коэффициентов усиления SFG была реализована как надстройка к MATHLAB 68 , онлайн- системе, обеспечивающей машинную помощь для механических символьных процессов, встречающихся в анализе .

Решение линейных уравнений

Графики потоков сигналов могут использоваться для решения систем одновременных линейных уравнений. Система уравнений должна быть согласованной, и все уравнения должны быть линейно независимыми.

Приведение уравнений в "стандартную форму"

Для M уравнений с N неизвестными, где каждое y _j - известное значение, а каждое x _j - неизвестное значение, существует уравнение для каждого известного следующего вида.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {\ mathrm {k} = 1} ^ {\ mathrm {N}} c _ {\ mathrm {jk}} x _ {\ mathrm {k}} & = y _ {\ mathrm {j}} \ end {выровненный}}}$ ; обычная форма для одновременных линейных уравнений с 1 ≤ j ≤ M

Хотя возможно, особенно для простых случаев, построить граф потока сигналов с использованием уравнений в этой форме, некоторая перестановка позволяет общую процедуру, которая легко работает для любой системы уравнений, как сейчас представлено. Чтобы продолжить, сначала уравнения переписываются как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {\ mathrm {k} = 1} ^ {\ mathrm {N}} c _ {\ mathrm {jk}} x _ {\ mathrm {k}} -y _ {\ mathrm {j}} & = 0 \ конец {выровнено}}}$

и далее переписывается как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {\ mathrm {k = 1}} ^ {\ mathrm {N}} c _ {\ mathrm {jk}} x _ {\ mathrm {k}} + x _ {\ mathrm {j}} -y _ {\ mathrm {j}} & = x _ {\ mathrm {j}} \ end {выровнено}}}$

и, наконец, переписан как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {\ mathrm {k = 1}} ^ {\ mathrm {N}} (c _ {\ mathrm {jk}} + \ delta _ {\ mathrm {jk}}) x _ {\ mathrm {k}} -y _ {\ mathrm {j}} & = x _ {\ mathrm {j}} \ end {выровнено}}}$  ; форма, подходящая для выражения в виде графика потока сигналов.

где δ _kj = символ Кронекера

Граф потока сигналов теперь организован путем выбора одного из этих уравнений и адресации узла в правой части. Это узел, для которого узел соединяется с самим собой ветвью веса, включающей «+1», создавая петлю в потоковом графе. Другие члены в этом уравнении сначала связывают этот узел с источником в этом уравнении, а затем со всеми другими ветвями, входящими в этот узел. Таким образом обрабатывается каждое уравнение, а затем каждая инцидентная ветвь присоединяется к соответствующему исходящему узлу. Например, на рисунке показан случай трех переменных, а первое уравнение выглядит следующим образом:

${\ displaystyle x_ {1} = \ left (c_ {11} +1 \ right) x_ {1} + c_ {12} x_ {2} + c_ {13} x_ {3} -y_ {1} \,}$

где правая часть этого уравнения представляет собой сумму взвешенных стрелок, падающих на узел x ₁ .

Поскольку в обработке каждого узла существует базовая симметрия, простая отправная точка - это расположение узлов, при котором каждый узел находится в одной вершине правильного многоугольника. При выражении с использованием общих коэффициентов { c _in } окружение каждого узла будет таким же, как и все остальные, за исключением перестановки индексов. Такая реализация системы из трех одновременных уравнений показана на рисунке.

Часто известные значения y _j принимаются как первичные причины, а неизвестные значения x _j - как следствия, но независимо от этой интерпретации последняя форма для набора уравнений может быть представлена ​​как граф потока сигналов. Этот момент обсуждается далее в подразделе « Интерпретация причинности» .

Применение формулы усиления Мейсона

В наиболее общем случае значения для всех переменных x _k можно вычислить, вычислив формулу усиления Мэйсона для пути от каждого y _j к каждому x _k и используя суперпозицию.

${\ displaystyle {\ begin {align} x _ {\ mathrm {k}} & = \ sum _ {\ mathrm {j} = 1} ^ {\ mathrm {M}} (G _ {\ mathrm {kj}}) y_ {\ mathrm {j}} \ end {выровненный}}}$

где G _kj = сумма формулы усиления Мэйсона, вычисленная для всех путей от входа y _j до переменной x _k .

В общем, существует N-1 путей от y _j до переменной x _k, поэтому вычислительные затраты на вычисление G _kj пропорциональны N-1. Поскольку существует M значений y _j , G _kj необходимо вычислить M раз для одного значения x _k . Вычислительные затраты на вычисление одной переменной x _k пропорциональны (N-1) (M). Усилия по вычислению всех переменных x _k пропорциональны (N) (N-1) (M). Если имеется N уравнений и N неизвестных, то объем вычислений составляет порядка N ³ .

Отношение к блок-схемам

По мнению некоторых авторов, линейный граф потока сигналов более ограничен, чем блок-схема , поскольку SFG строго описывает линейные алгебраические уравнения, представленные ориентированным графом.

Для других авторов линейные блок-схемы и линейные графики потока сигналов являются эквивалентными способами изображения системы, и любой из них может использоваться для определения коэффициента усиления.

Таблица сравнения блок-схем и диаграмм потока сигналов предоставлена ​​Bakshi & Bakshi, а другая таблица - Kumar. По данным Barker et al. :

«Граф потока сигналов - это наиболее удобный метод для представления динамической системы. Топология графа компактна, и правила для управления им легче запрограммировать, чем соответствующие правила, применяемые к блок-схемам».

На рисунке показана простая блок-схема системы обратной связи с двумя возможными интерпретациями как граф потока сигналов. Входной сигнал R (s) - это входной сигнал, преобразованный по Лапласу; он показан как узел источника в графе потока сигналов (узел источника не имеет входных ребер). Выходной сигнал C (s) является выходной переменной, преобразованной по Лапласу. На блок-схеме он представлен как приемный узел (приемник не имеет выходных ребер). G (s) и H (s) являются передаточными функциями, при этом H (s) служит для передачи измененной версии вывода на вход B (s) . Два представления потокового графа эквивалентны.

Интерпретация причинности

Термин «причина и следствие» был применен Мэйсоном к SFG:

«Процесс построения графика - это процесс отслеживания последовательности причин и следствий в физической системе. Одна переменная выражается как явное следствие, обусловленное определенными причинами; они, в свою очередь, распознаются как следствия, обусловленные еще и другими причинами».

- SJ Mason: Раздел IV: Иллюстративные приложения техники потоковых графов

и был повторен многими более поздними авторами:

« График потока сигналов - еще один визуальный инструмент для представления причинно-следственных связей между компонентами системы. Это упрощенная версия блок-схемы, представленной SJ Mason как причинно-следственное представление линейных систем».

- Артур Г.О. Мутамбара: Проектирование и анализ систем управления , стр.238.

Тем не менее, статья Мэйсона призвана показать очень подробно, как набор уравнений связан с SFG, акцент не имеет отношения к интуитивным представлениям о «причине и следствии». Интуиция может быть полезна для достижения SFG или для понимания SFG, но несущественна для SFG. Существенная связь SFG с его собственным набором уравнений, как описано, например, Огатой:

«Граф сигнала потока представляет собой диаграмму , которая представляет собой совокупность одновременных алгебраических уравнений. При применении метода граф потока сигналов для анализа систем управления, мы должны сначала преобразовать линейные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения в [ преобразованиях Лапласа переменного] ев . . "

- Кацухико Огата: Современная техника управления , стр. 104

Здесь нет ссылки на «причину и следствие», и, как сказал Баруцкий:

«Подобно блок-схемам, графы потоков сигналов представляют вычислительную, а не физическую структуру системы».

- Вольфганг Боруцки, Методология графа облигаций , стр. 10

Термин «причина и следствие» может быть неверно истолкован, поскольку он применяется к SFG, и неправильно использован, чтобы предложить системный взгляд на причинность, а не значение, основанное на вычислениях . Для ясности обсуждения, может быть целесообразно использовать термин «вычислительная причинность», как это предлагается для графов облигаций :

«В литературе о графах Бонда используется термин вычислительная причинность, обозначающий порядок вычислений в моделировании, чтобы избежать любой интерпретации в смысле интуитивной причинности».

Термин «вычислительная причинность» объясняется на примере тока и напряжения в резисторе:

" Вычислительная причинность физических законов, следовательно, не может быть предопределена, но зависит от конкретного использования этого закона. Мы не можем сделать вывод, вызывает ли падение напряжения ток, протекающий через резистор, или разница потенциалов при два конца резистора, которые вызывают протекание тока. Физически это просто два параллельных аспекта одного и того же физического явления. В вычислительном отношении нам, возможно, придется иногда принимать одно положение, а иногда другое ».

- Франсуа Селье и Эрнесто Кофман: §1.5 Программное обеспечение для моделирования сегодня и завтра , с. 15

Компьютерная программа или алгоритм могут быть приспособлены для решения набора уравнений с использованием различных стратегий. Они различаются тем, как они расставляют приоритеты при нахождении некоторых переменных с точки зрения других, и эти алгоритмические решения, которые просто касаются стратегии решения, затем устанавливают переменные, выраженные как зависимые переменные ранее в решении, как «эффекты», определяемые остальные переменные, которые теперь являются «причинами» в смысле «вычислительной причинности».

Используя эту терминологию, для SFG важна вычислительная причинность, а не системная причинность. Существует широкая философская дискуссия, не связанная конкретно с SFG, по поводу связи между вычислительной причинностью и системной причинностью.

Графики потока сигналов для анализа и проектирования

Графики потока сигналов могут использоваться для анализа, то есть для понимания модели существующей системы, или для синтеза, то есть для определения свойств альтернативного проекта.

Графики потока сигналов для анализа динамических систем

При построении модели динамической системы Dorf & Bishop предоставляет список шагов:

• Определите систему и ее компоненты.
• Сформулируйте математическую модель и перечислите необходимые предположения.
• Напишите дифференциальные уравнения, описывающие модель.
• Решите уравнения для требуемых выходных переменных.
• Изучите решения и предположения.
• При необходимости проведите повторный анализ или перепроектируйте систему.

—РК Дорф и Р. Х. Бишоп, Современные системы управления , Глава 2, с. 2

В этом рабочем процессе уравнения математической модели физической системы используются для вывода уравнений графа потока сигналов.

Графики потока сигналов для синтеза дизайна

Графы потоков сигналов использовались в Design Space Exploration (DSE) в качестве промежуточного представления для физической реализации. Процесс DSE ищет подходящее решение среди различных альтернатив. В отличие от типичного рабочего процесса анализа, когда интересующая система сначала моделируется с помощью физических уравнений ее компонентов, спецификация для синтеза конструкции может быть желаемой передаточной функцией. Например, разные стратегии будут создавать разные графы потока сигналов, из которых выводятся реализации. В другом примере аннотированный SFG используется как выражение поведения в непрерывном времени в качестве входных данных для генератора архитектуры.

Формулы Шеннона и Шеннона-Хаппа

Формула Шеннона - это аналитическое выражение для расчета коэффициента усиления взаимосвязанного набора усилителей в аналоговом компьютере. Во время Второй мировой войны, исследуя функциональную работу аналогового компьютера, Клод Шеннон разработал свою формулу. Из-за ограничений военного времени работа Шеннона в то время не была опубликована, и в 1952 году Мейсон заново открыл ту же формулу.

Уильям У. Хапп обобщил формулу Шеннона для топологически замкнутых систем. Формулу Шеннона-Хаппа можно использовать для получения передаточных функций, чувствительности и функций ошибок.

Для согласованного набора линейных односторонних отношений формула Шеннона-Хаппа выражает решение с использованием прямой подстановки (неитеративной).

Программное обеспечение НАСА для электрических схем NASAP основано на формуле Шеннона-Хаппа.

Примеры линейного графика потока сигналов

Простой усилитель напряжения

Усиление сигнала V ₁ усилителем с коэффициентом усиления a ₁₂ математически описывается формулой

${\ Displaystyle V_ {2} = a_ {12} V_ {1} \ ,.}$

Эта взаимосвязь, представленная графом потока сигналов на рисунке 1. состоит в том, что V ₂ зависит от V _1, но не подразумевает никакой зависимости V ₁ от V ₂ . См. Страницу Коу 57.

Идеальный усилитель с отрицательной обратной связью

Возможный SFG для модели асимптотического усиления для усилителя с отрицательной обратной связью показан на рисунке 3 и приводит к уравнению для усиления этого усилителя как

${\ Displaystyle G = {\ гидроразрыва {y_ {2}} {x_ {1}}}}$ ${\ displaystyle = G _ {\ infty} \ left ({\ frac {T} {T + 1}} \ right) + G_ {0} \ left ({\ frac {1} {T + 1}} \ right) \.}$

Параметры интерпретируются следующим образом: T = коэффициент возврата , G _∞ = коэффициент усиления прямого усилителя, G ₀ = прямая связь (указывает на возможный двусторонний характер обратной связи, возможно, преднамеренный, как в случае компенсации с прямой связью ). Рисунок 3 имеет интересный аспект: он напоминает рисунок 2 для двухпортовой сети с добавлением дополнительного отношения обратной связи x ₂ = T y ₁ .

Из этого выражения для усиления очевидна интерпретация параметров G ₀ и G _∞ , а именно:

${\ displaystyle G _ {\ infty} = \ lim _ {T \ to \ infty} G \; \ G_ {0} = \ lim _ {T \ to 0} G \.}$

Есть много возможных SFG, связанных с любым конкретным соотношением усиления. На рисунке 4 показан еще один SFG для модели асимптотического усиления, который может быть проще интерпретировать в терминах схемы. На этом графике параметр β интерпретируется как коэффициент обратной связи, а A как «параметр управления», возможно, связанный с зависимым источником в цепи. Используя этот график, коэффициент усиления равен

${\ Displaystyle G = {\ гидроразрыва {y_ {2}} {x_ {1}}}}$ ${\ displaystyle = G_ {0} + {\ frac {A} {1- \ beta A}} \.}$

Чтобы подключиться к модели асимптотического усиления, параметры A и β не могут быть произвольными параметрами схемы, но должны относиться к коэффициенту возврата T следующим образом:

${\ Displaystyle Т = - \ бета А \,}$

и к асимптотическому усилению как:

${\ displaystyle G _ {\ infty} = \ lim _ {T \ to \ infty} G = G_ {0} - {\ frac {1} {\ beta}} \.}$

Подставляя эти результаты в выражение усиления,

${\ displaystyle G = G_ {0} + {\ frac {1} {\ beta}} {\ frac {-T} {1 + T}}}$

${\ displaystyle = G_ {0} + (G_ {0} -G _ {\ infty}) {\ frac {-T} {1 + T}}}$

${\ displaystyle = G _ {\ infty} {\ frac {T} {1 + T}} + G_ {0} {\ frac {1} {1 + T}} \,}$

что является формулой модели асимптотического усиления.

Электрическая схема, содержащая двухпортовую сеть

На рисунке справа изображена схема, содержащая двухпортовую сеть с параметром y . V _in - это вход схемы, а V ₂ - выход. Двухпортовые уравнения накладывают набор линейных ограничений между напряжениями и токами на портах. Терминальные уравнения накладывают другие ограничения. Все эти ограничения представлены в SFG (график потока сигналов) под схемой. Есть только один путь от входа к выходу, который показан другим цветом и имеет коэффициент усиления (по напряжению) -R _L y ₂₁ . Также есть три петли: -R _в y ₁₁ , -R _L y ₂₂ , R _в y ₂₁ R _L y ₁₂ . Иногда цикл указывает на преднамеренную обратную связь, но он также может указывать на ограничение взаимосвязи двух переменных. Например, уравнение, описывающее резистор, гласит, что отношение напряжения на резисторе к току через резистор является постоянной величиной, которая называется сопротивлением. Это можно интерпретировать как напряжение - это вход, а ток - выход, или ток - это вход, а напряжение - выход, или просто то, что напряжение и ток имеют линейную зависимость. Практически все два пассивных оконечных устройства в цепи будут отображаться в SFG как петли.

SFG и схема изображают одну и ту же схему, но схема также предполагает назначение схемы. По сравнению со схемой SFG неудобен, но у него есть то преимущество, что коэффициент усиления от входа к выходу может быть записан путем проверки с использованием правила Мейсона .

Мехатроника: сервопривод положения с многоконтурной обратной связью

Этот пример представляет собой SFG (граф потока сигналов), используемый для представления системы сервоуправления, и иллюстрирует некоторые особенности SFG. Некоторые из петель (петля 3, петля 4 и петля 5) представляют собой специально разработанные внешние петли обратной связи. Они показаны пунктирными линиями. Существуют также внутренние циклы (цикл 0, цикл1, цикл2), которые не являются преднамеренными циклами обратной связи, хотя их можно анализировать, как если бы они были. Эти петли показаны сплошными линиями. Петля 3 и петля 4 также известны как второстепенные петли, потому что они находятся внутри более крупной петли.

• Прямой путь начинается с θ _C , желаемой команды положения. Это умножается на K _P, которое может быть константой или функцией частоты. K _P включает коэффициент преобразования ЦАП и любую фильтрацию на выходе ЦАП. Выходом K _P является команда скорости V _ωC, которая умножается на K _V, которая может быть постоянной или функцией частоты. Выходом K _V является текущая команда V _IC, которая умножается на K _C, которая может быть постоянной или функцией частоты. Выход K _C представляет напряжения на выходе усилителя, V . Ток I _M в обмотке двигателя представляет собой интеграл напряжения, приложенного к индуктивности. Двигатель производит вращающий момент, T , пропорциональный I _M . Двигатели с постоянными магнитами имеют тенденцию иметь линейную функцию тока к крутящему моменту. Постоянное преобразование тока в крутящий момент равен К _М . Крутящий момент T , деленный на момент инерции нагрузки M, представляет собой ускорение α , которое интегрируется для получения скорости нагрузки ω, которая интегрируется для получения положения нагрузки θ _LC .
• Прямой путь контура 0 утверждает, что ускорение пропорционально крутящему моменту, а скорость является интегралом ускорения по времени. Обратный путь говорит о том, что по мере увеличения скорости возникает трение или сопротивление, которое противодействует крутящему моменту. Крутящий момент на нагрузке уменьшается пропорционально скорости нагрузки, пока не будет достигнута точка, в которой весь крутящий момент используется для преодоления трения, а ускорение упадет до нуля. Цикл 0 является внутренним.
• Loop1 представляет собой взаимодействие тока индуктора с его внутренним и внешним последовательным сопротивлением. Ток через индуктивность - это интеграл по времени от напряжения на индуктивности. Когда напряжение подается впервые, все оно появляется на катушке индуктивности. Об этом свидетельствует прямой путь до конца . При увеличении тока, напряжение падает через индуктор внутреннее сопротивление R _M и внешнее сопротивление R _S . Это снижает напряжение на катушке индуктивности и представлено цепью обратной связи - (R _M + R _S ). Ток продолжает увеличиваться, но с неуклонно уменьшающейся скоростью, пока ток не достигнет точки, в которой все напряжение падает (R _M + R _S ). Цикл 1 является внутренним.${\ displaystyle {\ frac {1} {s \ mathrm {L} _ {\ mathrm {M}}}} \,}$
• Loop2 выражает эффект обратной ЭДС двигателя. Когда двигатель с постоянными магнитами вращается, он действует как генератор и вырабатывает напряжение в своих обмотках. Не имеет значения, вызвано ли вращение крутящим моментом, приложенным к приводному валу, или током, приложенным к обмоткам. Это напряжение называется обратной ЭДС. Усиление преобразования скорости вращения до задней ЭДС G _М . Полярность обратной ЭДС такова, что она снижает напряжение на индуктивности обмотки. Цикл 2 является внутренним.
• Петля 3 является внешней. Ток в обмотке двигателя проходит через чувствительный резистор. Напряжения, V _IM , развиваемое на смысловой резистор подается обратно к отрицательной клемме усилителя мощности K _C . Эта обратная связь заставляет усилитель напряжения действовать как источник тока, управляемый напряжением. Поскольку крутящий момент двигателя пропорционален току двигателя, подсистема V _IC выходного крутящего момента действует как источник крутящего момента, управляемый напряжением. Эта подсистема может называться «токовый контур» или «контур крутящего момента». Петля 3 эффективно уменьшает влияние петли 1 и петли 2.
• Петля 4 является внешней. Тахометр (на самом деле генератор постоянного тока малой мощности) выдает выходное напряжение V _ωM , которое пропорционально угловой скорости. Это напряжение подается на отрицательный вход K _V . Эта обратная связь заставляет подсистему от V _ωC до угловой скорости нагрузки действовать как источник напряжения для скорости. Эта подсистема может называться «контуром скорости». Цикл 4 эффективно уменьшает влияние цикла 0 и цикла 3.
• Петля 5 - внешняя. Это общий контур обратной связи по положению. Обратная связь поступает от углового энкодера, который выдает цифровой выходной сигнал. Положение вывода вычитается из желаемой позиции с помощью цифровых аппаратных средств , который управляет ЦАП , который приводит K _P . В SFG, коэффициент усиления преобразования ЦАП встроен в K _P .

См. Для этого примера правило Мэйсона для разработки формулы усиления Мэйсона.

Терминология и классификация сигнальных графов

В литературе существует некоторая путаница в отношении того, что такое граф потока сигналов; Генри Пейнтер , изобретатель графов облигаций , пишет: «Но большая часть упадка графов потока сигналов [...] отчасти объясняется ошибочным представлением о том, что ветви должны быть линейными, а узлы должны быть суммативными. Ни одно из предположений не было в объятиях самого Мэйсона! "

Стандарты, охватывающие графики потока сигналов

• IEEE Std 155-1960, Стандарты IEEE для цепей: определения терминов для графов линейного потока сигналов, 1960.

Этот стандарт IEEE определяет график сигнала потока в виде сети из направленных ветвей , представляющих зависимые и независимые сигналы как узлы . Входящие ветви несут сигналы ветвления к сигналам зависимого узла. Сигнал зависимого узла - это алгебраическая сумма входящих сигналов ветвления в этом узле, т. Е. Узлы являются суммативными.

График потока сигналов перехода состояний

Переходное состояние СФГ или диаграмма состояний является схемой для моделирования системы уравнений, в том числе начальных условий состояний.

Замкнутый флоуграф

Замкнутые потоковые графы описывают замкнутые системы и используются для обеспечения строгой теоретической основы топологических методов анализа схем.

• Терминология теории замкнутых потоковых графов включает:
  • Вкладной узел. Точка суммирования для двух или более входящих сигналов, в результате чего получается только один исходящий сигнал.
  • Распределительный узел. Точка выборки для двух или более исходящих сигналов, являющихся результатом только одного входящего сигнала.
  • Составной узел. Сужение контрибутивного узла и распределительного узла.
  • Строго зависимый и строго независимый узел. Строго независимый узел представляет собой независимый источник; строго зависимый узел представляет собой метр.
  • Открытые и закрытые потоковые диаграммы. Открытый потоковый граф содержит строго зависимые или строго независимые узлы; в противном случае это замкнутый потоковый граф.

Нелинейные потоковые графы

Мейсон представил как нелинейные, так и линейные потоковые графы. Чтобы прояснить этот момент, Мейсон написал: «Линейный потоковый граф - это такой граф, уравнения которого линейны».

Примеры нелинейных функций ветвления

Если мы обозначим через x _j сигнал в узле j , то ниже приведены примеры узловых функций, которые не относятся к линейной системе, не зависящей от времени :

${\ displaystyle {\ begin {align} x _ {\ mathrm {j}} & = x _ {\ mathrm {k}} \ times x _ {\ mathrm {l}} \\ x _ {\ mathrm {k}} & = abs (x _ {\ mathrm {j}}) \\ x _ {\ mathrm {l}} & = \ log (x _ {\ mathrm {k}}) \\ x _ {\ mathrm {m}} & = t \ times x_ {\ mathrm {j}} {\ text {, где}} t {\ text {представляет время}} \\\ конец {выровнено}}}$

Примеры моделей нелинейного графа потока сигналов

• Хотя они, как правило, не могут быть преобразованы между представлениями во временной и частотной областях для анализа классической теории управления, нелинейные графики потока сигналов можно найти в электротехнической литературе.
• Нелинейные графики потока сигналов также можно найти в науках о жизни, например, в модели сердечно-сосудистой системы доктора Артура Гайтона .

Применение техники SFG в различных областях науки

• Электронные схемы
  • Характеристика последовательных схем типа Мура и Мили , получение регулярных выражений из диаграмм состояний .
  • Синтез нелинейных преобразователей данных
  • Теория управления и сети
  • Стохастическая обработка сигналов.
  • Надежность электронных систем
• Физиология и биофизика
  • Регуляция сердечного выброса
• Моделирование
  • Моделирование на аналоговых компьютерах

Смотрите также

• Модель асимптотического выигрыша
• Графики облигаций
• График Коутса
• Системы управления / сигнал Диаграмма потоков в системах управления Wikibook
• Граф потока (математика)
• Фильтр Leapfrog для примера конструкции фильтра с использованием графа потока сигналов
• Формула усиления Мейсона
• Незначительная обратная связь петли
• Некоммутативный граф потока сигналов

Примечания

использованная литература

• Эрнест Дж. Хенли и Р. А. Уильямс (1973). Теория графов в современной технике; автоматизированное проектирование, управление, оптимизация, анализ надежности . Академическая пресса. ISBN 978-0-08-095607-7. Книга почти целиком посвящена этой теме.
• Коу, Бенджамин С. (1967), Системы автоматического управления , Прентис Холл
• Робишо, Луи PA; Морис Буазверт; Жан Роберт (1962). Графики потока сигналов и приложения . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. С. xiv, 214 с.
• Део, Нарсинг (1974), Теория графов с приложениями в инженерии и информатике , PHI Learning Pvt. Ltd., п. 418, ISBN 978-81-203-0145-0
• К. Туласирамен; MNS Swarmy (2011). «§6.11 Графы Коутса и Мейсона» . Графы: теория и алгоритмы . Джон Вили и сыновья. стр. 163 и далее . ISBN 9781118030257.
• Огата, Кацухико (2002). «Раздел 3-9 Графики прохождения сигналов». Современная техника управления, 4-е издание . Прентис-Хэл. ISBN 978-0-13-043245-2.
• Пханг, Хоман (2000-12-14). « 2.5 Обзор графиков потока сигналов » (PDF) . Разработка КМОП-оптического предусилителя с использованием графического анализа цепей (Диссертация). Департамент электротехники и вычислительной техники, Университет Торонто. Проверьте значения даты в: |year=/ |date=mismatch ( help ) © Copyright by Khoman Phang 2001

дальнейшее чтение

• Вай-Кай Чен (1976). Прикладная теория графов . Издательская компания Северной Голландии. ISBN 978-0720423624. Глава 3 посвящена основам, но приложения разбросаны по всей книге.
• Вай-Кай Чен (май 1964 г.). «Некоторые приложения линейных графиков» . Контракт DA-28-043-AMC-00073 (E) . Скоординированная научная лаборатория, Иллинойский университет, Урбана.
• К. Туласираман и MNS Swamy (1992). Графы: теория и алгоритмы . 6.10-6.11 для основной математической идеи. ISBN 978-0-471-51356-8.
• Шу-Пак Чан (2006). «Теория графов». В Ричарде С. Дорфе (ред.). Цепи, сигналы и обработка речи и изображений (3-е изд.). CRC Press. § 3.6. ISBN 978-1-4200-0308-6. Сравнивает графовые подходы Мейсона и Коутса с подходом Максвелла с k-деревом.
• РФ Хоскинс (2014). «Блок-граф и сигнальный анализ линейных систем» . В SR Deards (ред.). Последние достижения в области теории сети: Труды Симпозиума в колледже аэронавтики, Крэнфилде, сентябрь 1961 года . Эльзевир. ISBN 9781483223568.Сравнение полезности потокового графа Коутса и потокового графа Мейсона.

внешние ссылки

• М.Л. Эдвардс: S-параметры, диаграммы потоков сигналов и другие матричные представления. Все права защищены.
• Х. Шмид: Графики потока сигналов в 12 коротких уроках
• Системы управления / Диаграммы потоков сигналов в Викиучебнике
• СМИ, связанные с графами потоков сигналов на Викискладе?