Шестидесятеричный - Sexagesimal

Шестидесятеричная , также известный как основание 60 или шестидесятилетняя , является системой счисления с шестьюдесятью в качестве своей базы . Он возник у древних шумеров в 3-м тысячелетии до нашей эры, был передан древним вавилонянам и до сих пор используется - в измененной форме - для измерения времени , углов и географических координат .

Число 60, высшее составное число , имеет двенадцать факторов , а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, из которых 2, 3 и 5 простые. числа . С таким количеством факторов многие дроби, включающие шестидесятеричные числа, упрощаются. Например, один час можно равномерно разделить на части по 30 минут, 20 минут, 15 минут, 12 минут, 10 минут, 6 минут, 5 минут, 4 минуты, 3 минуты, 2 минуты и 1 минуту. 60 - наименьшее число, которое делится на каждое число от 1 до 6; то есть это наименьшее общее кратное для 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

В этой статье все шестидесятеричные цифры представлены как десятичные числа, если не указано иное. Например, 10 означает число десять, а 60 означает число шестьдесят .

Источник

Используя большой палец и по очереди указывая на каждую из трех костей каждого пальца, люди могут сосчитать на пальцах до 12 на одной руке. Традиционная система счета, которая до сих пор используется во многих регионах Азии, работает таким же образом и может помочь объяснить появление систем счисления, основанных на 12 и 60, помимо систем, основанных на 10, 20 и 5. В этой системе другая рука человека. подсчитают, сколько раз было набрано 12 из первых рук. Пять пальцев составляют пять подходов по 12 или шестьдесят. Однако вавилонская шестидесятеричная система основывалась на шести группах по десять, а не на пяти группах по двенадцать.

По словам Отто Нойгебауэра , истоки шестидесятеричных не так просты, последовательны или единичны во времени, как их часто изображают. На протяжении многих веков их использования, которое продолжается и по сей день для специализированных тем, таких как время, углы и астрономические системы координат, шестидесятеричные обозначения всегда содержали сильную скрытую часть десятичных представлений, например, в том, как записываются шестидесятеричные числа. Их использование также всегда включало (и продолжает включать) несоответствия в том, где и как различные основы должны представлять числа даже в пределах одного текста.

Ранняя прото-клинопись (4 тысячелетие до н.э.) и клинописные знаки шестидесятеричной системы (60, 600, 3600 и т. Д.)

Самым мощным стимулом для строгого, полностью последовательного использования шестидесятеричного числа всегда были его математические преимущества для записи и вычисления дробей. В древних текстах это проявляется в том, что шестидесятеричное число используется наиболее единообразно и последовательно в математических таблицах данных. Еще одним практическим фактором, который помогал расширить использование шестидесятеричного числа в прошлом, даже хотя и менее последовательно, чем в математических таблицах, было его очевидное преимущество для торговцев и покупателей в упрощении повседневных финансовых операций, когда они включали торги и разделение больших количеств товаров. В частности, ранний шекель составлял одну шестидесятую часть маны, хотя позже греки вынудили это отношение к более совместимому с основанием 10 соотношению, когда шекель составлял одну пятидесятую мины .

Помимо математических таблиц, несоответствия в том, как числа были представлены в большинстве текстов, распространились вплоть до самых основных клинописных символов, используемых для представления числовых величин. Например, клинописный символ для 1 представлял собой эллипс, полученный путем приложения закругленного конца стилуса под углом к ​​глине, в то время как шестидесятеричный символ для 60 был большим овалом или «большой 1». Но в тех же текстах, в которых использовались эти символы, число 10 было представлено как круг, образованный путем применения круглого конца стиля, перпендикулярного глине, а больший круг или «большая 10» использовался для обозначения 100. Такие многоосновные числовые количественные символы могут быть смешаны друг с другом и с сокращениями, даже в пределах одного числа. Детали и даже предполагаемые величины (поскольку ноль использовался непоследовательно) были идиоматичными для конкретных периодов времени, культур и количества или представленных концепций. Хотя такие контекстно-зависимые представления числовых величин легко подвергнуть критике в ретроспективе, в наше время у нас все еще есть десятки регулярно используемых примеров тематического базового смешения, включая недавнее нововведение добавления десятичных дробей к шестидесятеричным астрономическим координатам.

использование

Вавилонская математика

Шестидесятеричная система, использовавшаяся в древней Месопотамии, не была чистой системой с основанием 60, в том смысле, что она не использовала 60 различных символов для своих цифр . Вместо этого, клинописные цифры используются десять как суб-база в моде в знак-значение обозначения : а шестидесятеричная цифра была составлена из группы узких клиновидных знаков , представляющие единицы до девять ( Вавилонский 1.svg, Вавилонский 2.svg, Вавилонский 3.svg, Вавилонский 4.svg, ... , Вавилонский 9.svg) и группа ширины, клиновидные знаки , представляющие до пяти десятков ( Вавилонский 10.svg, Вавилонский 20.svg, Вавилонский 30.svg, Вавилонский 40.svg, Вавилонский 50.svg). Значение цифры представляло собой сумму значений составляющих ее частей:

Вавилонские цифры.svg

Числа больше 59 были обозначены несколькими блоками символов этой формы в обозначении разряда . Поскольку не было символа для нуля, не всегда сразу очевидно, как следует интерпретировать число, и его истинное значение иногда должно было определяться его контекстом. Например, символы 1 и 60 идентичны. Более поздние вавилонские тексты использовали заполнитель ( Вавилонская цифра 0.svg) для обозначения нуля, но только в средних положениях, а не в правой части числа, как мы это делаем в числах вроде13 200 .

Другие исторические обычаи

В китайском календаре , A шестидесятилетний цикл обычно используется, в какие дни или годы названы позиции в последовательности десяти стеблей и в другой последовательности из 12 ветвей. Один и тот же стебель и ветка повторяются каждые 60 шагов в этом цикле.

Книга VIII в Plato «s Республики включает аллегория брака с центром на число 60 4 =12 960 000 и его делители. Это число имеет особенно простое шестидесятеричное представление 1,0,0,0,0. Позднее ученые использовали как вавилонскую математику, так и теорию музыки, пытаясь объяснить этот отрывок.

Птолемей «s Альмагест , трактат по математической астрономии написанной во втором веке нашей эры, использует базу 60 выразить дробные части чисел. В частности, его таблица аккордов , которая была, по сути, единственной обширной тригонометрической таблицей за более чем тысячелетие, имеет дробные части градуса с основанием 60.

Средневековые астрономы также использовали шестидесятеричные числа для обозначения времени. Аль-Бируни сначала разделил час по половому признаку на минуты , секунды , трети и четверти из 1000, обсуждая еврейские месяцы. Около 1235 года Иоанн Сакробоско продолжил эту традицию, хотя Нотафт считал, что Сакробоско был первым, кто это сделал. Парижская версия таблиц Альфонсина (ок. 1320 г.) использовала день в качестве основной единицы времени, записывая кратные и дробные числа дня в системе счисления с основанием 60.

Шестидесятеричная система счисления продолжала часто использоваться европейскими астрономами для выполнения вычислений вплоть до 1671 года. Например, Йост Бюрги в Fundamentum Astronomiae (представленный императору Рудольфу II в 1592 году), его коллега Урсус в Fundamentum Astronomicum и, возможно, также Генри Бриггс для вычисления синусов использовала таблицы умножения, основанные на шестидесятеричной системе счисления в конце 16 века.

В конце 18 и начале 19 веков было обнаружено , что тамильские астрономы производили астрономические вычисления, считая с раковинами, используя смесь десятичной и шестидесятеричной системы счисления, разработанную эллинистическими астрономами.

Системы счисления с основанием 60 также использовались в некоторых других культурах, не имеющих отношения к шумерам, например, у народа экари в Западной Новой Гвинее .

Современное использование

В настоящее время шестидесятеричная система используется для измерения углов , географических координат , электронной навигации и времени .

Один час времени делится на 60 минут , а одна минута делится на 60 секунд. Таким образом, измерение времени, такое как 3:23:17 (3 часа, 23 минуты и 17 секунд), можно интерпретировать как целое шестидесятеричное число (без шестидесятеричной точки), что означает 3 × 60 2 + 23 × 60 1 + 17 × 60 0 секунд . Однако каждая из трех шестидесятеричных цифр в этом числе (3, 23 и 17) записана в десятичной системе счисления.

Точно так же практическая единица измерения угла - это градус , из которых 360 (шестьдесят шестьдесят градусов ) в круге. Есть 60 минут дуги в определенной степени, и 60 угловых секунд в минуту.

YAML

В версии 1.1 формата хранения данных YAML шестидесятичные числа поддерживаются для простых скаляров и формально указаны как для целых чисел, так и для чисел с плавающей запятой. Это привело к путанице, поскольку, например, некоторые MAC-адреса будут распознаваться как шестидесятичные и загружаться как целые числа, а другие - нет и загружаться как строки. В YAML 1.2 была прекращена поддержка шестидесятичных чисел.

Обозначения

В эллинистических греческих астрономических текстах, таких как труды Птолемея , шестидесятеричные числа записывались с использованием греческих буквенных цифр , причем каждая шестидесятеричная цифра рассматривалась как отдельное число. Эллинистические астрономы приняли новый символ нуля,-°, который на протяжении веков трансформировался в другие формы, включая греческую букву омикрон, ο, обычно означающую 70, но допустимую в шестидесятеричной системе, где максимальное значение в любой позиции составляет 59. Греки ограничивали использование шестидесятеричных чисел дробной частью числа.

В средневековых латинских текстах шестидесятеричные числа записывались арабскими цифрами ; различные уровни дробей обозначались minuta (т.е. дробь), minuta secunda , minuta tertia и т. д. К 17 веку стало обычным обозначать целую часть шестидесятеричных чисел нулем с надстрочным индексом, а различные дробные части - единицей или единицей. больше акцентных знаков. Джон Уоллис в своей книге Mathesis universalis обобщил эту нотацию, включив в нее более высокие значения, кратные 60; приведя в качестве примера число 49 ‵ ‵ ‵ ‵ 36 ‵ ‵ ‵ 25‵‵15‵1 ° 15′2 ″ 36 ‴ 49 ⁗ ; где числа слева умножаются на более высокие степени 60, числа справа делятся на степени 60, а число, отмеченное верхним индексом нуля, умножается на 1. Эта запись приводит к современным знакам для градусов, минут , и секунды. Та же самая номенклатура минут и секунд также используется для единиц времени, а современные обозначения времени с часами, минутами и секундами, записанными в десятичном формате и отделенными друг от друга двоеточиями, могут интерпретироваться как форма шестидесятеричной записи.

В некоторых системах употребления каждая позиция после шестидесятеричной точки была пронумерована с использованием латинских или французских корней: prime или primus , second или secundus , tierce , quatre , quinte и т. Д. По сей день мы называем часть часа второго порядка или степени «секунда». По крайней мере, до 18 века,1/60 секунды назывался «ярус» или «третий».

В 1930-х годах Отто Нойгебауэр ввел современную систему обозначений для вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современные десятичные обозначения от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и используя запятую. (,) для разделения позиций в каждой части. Например, средний синодический месяц, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и все еще используемый в еврейском календаре, составляет 29; 31,50,8,20 дней. Эти обозначения используются в данной статье.

Дроби и иррациональные числа

Фракции

В системе шестидесятеричной, любой фракции , в которой знаменатель является регулярным числом (имеющий только 2, 3 и 5 в его простые множители ) может быть выражено точно. Здесь показаны все дроби этого типа, знаменатель которых меньше или равен 60:

12 = 0; 30
13 = 0; 20
14 = 0; 15
15 = 0; 12
16 = 0; 10
18 = 0; 7,30
1 / 9 = 0; 6,40
110 = 0; 6
112 = 0; 5
115 = 0; 4
116 = 0; 3,45
118 = 0; 3,20
120 = 0; 3
124 = 0; 2,30
125 = 0; 2,24
127 = 0; 2,13,20
130 = 0; 2
132 = 0; 1,52,30
136 = 0; 1,40
140 = 0; 1,30
145 = 0; 1,20
148 = 0; 1,15
150 = 0; 1,12
154 = 0; 1,6,40
160 = 0; 1

Однако числа, которые не являются правильными, образуют более сложные повторяющиеся дроби . Например:

17 = 0; 8,34,17 (полоса указывает последовательность шестидесятеричных цифр 8,34,17 повторяется бесконечно много раз)
111 = 0; 5,27,16,21,49
113 = 0; 4,36,55,23
114 = 0; 4, 17,8,34
117 = 0; 3,31,45,52,56,28,14,7
119 = 0; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41
159 = 0; 1
161 = 0; 0,59

Тот факт, что два числа, примыкающие к шестидесяти, 59 и 61, являются простыми числами, означает, что дроби, повторяющиеся с периодом в одну или две шестидесятеричные цифры, могут иметь только обычные числа, кратные 59 или 61 в качестве знаменателя, и что в других нерегулярных числах дроби повторяются с более длинным периодом.

Иррациональные числа

Вавилонская табличка YBC 7289, показывающая шестидесятеричное число 1; 24,51,10 приблизительно  2

Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и шестидесятеричную) не прекращаются и не повторяются .

Квадратный корень из 2 , длина диагонали в виде единичного квадрата , аппроксимировались Вавилонянами старого вавилонского периода ( 1900 г. до н.э. - 1650 г. до н.э. ) , как

Поскольку 2  ≈ 1,414 213 56 ... является иррациональным числом , его нельзя точно выразить в шестидесятеричной системе (или любой другой системе с основанием целого числа), но его шестидесятеричное расширение действительно начинается с 1; 24,51,10,7,46,6,4, 44 ... ( OEISA070197 )

Значение π, используемое греческим математиком и ученым Птолемеем, было 3; 8,30 = 3 +8/60 + 30/60 2 знак равно 377/1203.141 666 .... Джамшид аль-Каши , персидский математик 15 века , вычислил 2 π как шестидесятеричное выражение до его правильного значения при округлении до девяти долей цифр (таким образом, чтобы1/60 9); его значение для 2 π было 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50. Как и 2 выше, 2 π является иррациональным числом и не может быть точно выражено шестидесятеричной дробью. Его шестидесятеричное расширение начинается с 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35 ... ( OEISA091649 )


Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Ифра, Жорж (1999), Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера , Wiley, ISBN 0-471-37568-3.
  • Nissen, Hans J .; Damerow, P .; Инглунд, Р. (1993), Архаическая бухгалтерия , Университет Чикаго, ISBN 0-226-58659-6

внешние ссылки