Уравнение Селлмейера - Sellmeier equation

Показатель преломления в зависимости от длины волны для стекла BK7 с отображением измеренных точек (синие кресты) и уравнения Селлмейера (красная линия)

То же, что и на графике выше, но с уравнением Коши (синяя линия) для сравнения. В то время как уравнение Коши (синяя линия) значительно отклоняется от измеренных показателей преломления за пределами видимой области (которая заштрихована красным), уравнение Селлмейера (зеленая пунктирная линия) - нет.

Уравнение Селлмейера - это эмпирическая зависимость между показателем преломления и длиной волны для конкретной прозрачной среды . Уравнение используется для определения дисперсии из света в среде.

Впервые оно было предложено Вильгельмом Сельмайером в 1872 году и являлось развитием работы Огюстена Коши по уравнению Коши для моделирования дисперсии.

Уравнение

В своем первоначальном и наиболее общем виде уравнение Зельмейера имеет вид

${\ displaystyle n ^ {2} (\ lambda) = 1 + \ sum _ {i} {\ frac {B_ {i} \ lambda ^ {2}} {\ lambda ^ {2} -C_ {i}}} }$ ,

где n - показатель преломления, λ - длина волны, а B _i и C _i - экспериментально определенные коэффициенты Селлмейера . Эти коэффициенты обычно указываются для λ в микрометрах . Обратите внимание, что это λ - длина волны вакуума, а не длина волны в самом материале, которая равна λ / n. Другая форма уравнения иногда используется для определенных типов материалов, например кристаллов .

Каждый член суммы представляет собой резонанс поглощения силы B _i на длине волны √ C _i . Например, коэффициенты для BK7 ниже соответствуют двум резонансам поглощения в ультрафиолетовой области и одному в средней инфракрасной области. Вблизи каждого пика поглощения уравнение дает нефизические значения n ² = ± ∞, и в этих диапазонах длин волн необходимо использовать более точную модель дисперсии, такую ​​как модель Гельмгольца .

Если все члены указаны для материала, на длинных волнах вдали от пиков поглощения значение n стремится к

${\ displaystyle {\ begin {matrix} n \ приблизительно {\ sqrt {1+ \ sum _ {i} B_ {i}}} \ приблизительно {\ sqrt {\ varepsilon _ {r}}} \ end {matrix}} ,}$

где ε _r - относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Для характеристики стекол обычно используется уравнение, состоящее из трех членов:

${\ displaystyle n ^ {2} (\ lambda) = 1 + {\ frac {B_ {1} \ lambda ^ {2}} {\ lambda ^ {2} -C_ {1}}} + {\ frac {B_ {2} \ lambda ^ {2}} {\ lambda ^ {2} -C_ {2}}} + {\ frac {B_ {3} \ lambda ^ {2}} {\ lambda ^ {2} -C_ { 3}}},}$

В качестве примера ниже показаны коэффициенты для обычного боросиликатного стекла для кроны, известного как BK7 :

Коэффициенты Зельмейера для многих распространенных оптических материалов можно найти в онлайн-базе данных RefractiveIndex.info .

Для обычных оптических стекол показатель преломления, рассчитанный с помощью трехчленного уравнения Селлмейера, отклоняется от фактического показателя преломления менее чем на 5 × 10 ^-6 в диапазоне длин волн от 365 нм до 2,3 мкм, что имеет порядок однородности стеклянного образца. Иногда добавляются дополнительные условия, чтобы сделать расчет еще более точным.

Иногда уравнение Селлмейера используется в двухчленной форме:

${\ displaystyle n ^ {2} (\ lambda) = A + {\ frac {B_ {1} \ lambda ^ {2}} {\ lambda ^ {2} -C_ {1}}} + {\ frac {B_ { 2} \ lambda ^ {2}} {\ lambda ^ {2} -C_ {2}}}.}$

Здесь коэффициент A является приближением вкладов коротковолнового (например, ультрафиолетового) поглощения в показатель преломления на более длинных волнах. Существуют и другие варианты уравнения Селлмейера, которые могут учитывать изменение показателя преломления материала из-за температуры , давления и других параметров.

Коэффициенты

Смотрите также

• Уравнение Коши

Рекомендации

внешняя ссылка

• RefractiveIndex.INFO База данных показателя преломления, содержащая коэффициенты Селлмейера для многих сотен материалов.
• Калькулятор на основе браузера, рассчитывающий показатель преломления на основе коэффициентов Селлмейера.
• Annalen der Physik - свободный доступ, оцифровано Французской национальной библиотекой
• Коэффициенты Селлмейера для 356 стаканов Охары, Хойи и Шотта