Масштабный анализ (математика) - Scale analysis (mathematics)

Подходящее приближение
Концепции
Порядок аппроксимации Масштабный анализ  · Обозначение Big O Подгонка кривой  · Ложная точность Значимые числа
Прочие основы
Аппроксимация  · Ошибка обобщения Полином Тейлора Научное моделирование
v т е

Масштабный анализ (или анализ по порядку величины ) - мощный инструмент, используемый в математических науках для упрощения уравнений с множеством членов. Сначала определяется приблизительная величина отдельных членов в уравнениях. Тогда можно пренебречь некоторыми пренебрежимо малыми членами.

Пример: вертикальный импульс в метеорологии синоптического масштаба

Рассмотрим, например, уравнение импульса из уравнений Навье-Стокса в вертикальном направлении координат атмосферы

${\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} - {\ frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {R}} = - {{\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}}} - g + 2 {\ Omega u \ cos \ varphi} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2} }}\верно),}$

( A1 )

где R - радиус Земли , Ω - частота вращения Земли, g - ускорение свободного падения , φ - широта, ρ - плотность воздуха и ν - кинематическая вязкость воздуха (турбулентностью в свободной атмосфере можно пренебречь ).

В синоптического масштаба можно ожидать горизонтальные скорости около U = 10 ¹  мс ^-1 и вертикальных около Вт = 10 ^-2  мс ^-1 . Масштаб по горизонтали L = 10 ⁶  м, по вертикали H = 10 ⁴  м. Типичный временной масштаб T = L / U = 10 ⁵  с. Перепады давления в тропосфере составляют Δ P = 10 ⁴  Па и плотность воздуха ρ = 10 ⁰  кг⋅м ⁻³ . Остальные физические свойства примерно следующие:

R = 6,378 × 10 ⁶ м;

Ω = 7,292 × 10 ⁻⁵ рад⋅с ^−1;

ν = 1,46 × 10 ⁻⁵ м ² s ^−1;

g = 9,81 м⋅с ^−2.

Оценки различных членов в уравнении ( A1 ) могут быть сделаны с использованием их шкал:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} & \ sim {\ frac {W} {T}} \\ [1.2ex] и {\ frac {\ partial w } {\ partial x}} & \ sim U {\ frac {W} {L}} & \ qquad v {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} & \ sim U {\ frac {W} { L}} & \ qquad w {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} & \ sim W {\ frac {W} {H}} \\ [1.2ex] {\ frac {u ^ {2} } {R}} & \ sim {\ frac {U ^ {2}} {R}} & \ qquad {\ frac {v ^ {2}} {R}} & \ sim {\ frac {U ^ {2 }} {R}} \\ [1.2ex] {\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} и \ sim {\ frac {1} {\ varrho} } {\ frac {\ Delta P} {H}} & \ qquad \ Omega u \ cos \ varphi & \ sim \ Omega U \\ [1.2ex] \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} { \ partial x ^ {2}}} & \ sim \ nu {\ frac {W} {L ^ {2}}} & \ qquad \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} & \ sim \ nu {\ frac {W} {L ^ {2}}} & \ qquad \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2}} } & \ sim \ nu {\ frac {W} {H ^ {2}}} \ end {выровнено}}}$

Теперь мы можем ввести эти шкалы и их значения в уравнение ( A1 ):

${\ displaystyle {\ begin {align} & {} {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {5}}} + 10 {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {6} }} + 10 {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {6}}} + 10 ^ {- 2} {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {4}}} - {\ frac {10 ^ {2} + 10 ^ {2}} {10 ^ {6}}} \\ [12pt] & {} = - {{\ frac {1} {1}} {\ frac {10 ^ {4}} {10 ^ {4}}}} - 10 + 2 \ times 10 ^ {- 4} \ times 10 + 10 ^ {- 5} \ left ({\ frac {10 ^ {- 2}}) {10 ^ {12}}} + {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {12}}} + {\ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {8}}} \ right ). \ end {выравнивается}}}$

( A2 )

Мы видим, что все члены, кроме первого и второго справа, пренебрежимо малы. Таким образом, мы можем упростить уравнение вертикального импульса до уравнения гидростатического равновесия :

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} = - g.}$

( A3 )

Правила масштабного анализа

Масштабный анализ - очень полезный и широко используемый инструмент для решения задач в области теплопередачи и механики жидкости, приводимой под давлением пристенной струи, разделения потоков за обращенными назад ступенями, струйного диффузионного пламени, исследования линейной и нелинейной динамики. Масштабный анализ - это эффективный способ получения приближенных решений уравнений, зачастую слишком сложных для точного решения. Целью масштабного анализа является использование основных принципов конвективной теплопередачи для получения оценок по порядку величины для представляющих интерес величин. Масштабный анализ предполагает, что при правильном выполнении с коэффициентом порядка одного дорогостоящие результаты, полученные при точном анализе. Масштабный анализ показал следующее:

Правило 1. Первым шагом в масштабном анализе является определение области экстента, в которой мы применяем масштабный анализ. Любой масштабный анализ области потока, который не определен однозначно, недействителен.

Правило 2 - Одно уравнение представляет собой эквивалентность между шкалами двух доминирующих членов, фигурирующих в уравнении. Например,

${\ displaystyle \ rho c_ {P} {{\ partial T} \ over {\ partial t}} = k {\ frac {\ partial ^ {2} T} {\ partial x ^ {2}}}.}$

В приведенном выше примере левая часть может иметь такой же порядок величины, что и правая часть.

Правило 3- Если в сумме двух слагаемых, заданных

${\ displaystyle c = a + b}$

порядок величины одного члена больше, чем порядок величины другого члена

${\ Displaystyle О (а)> О (б)}$

тогда порядок величины суммы определяется доминирующим членом

${\ Displaystyle О (с) = О (а)}$

Тот же вывод верен, если у нас есть разница двух членов

${\ displaystyle c = ab}$

Правило 4 - В сумме двух членов, если два члена имеют одинаковый порядок величины,

${\ displaystyle c = a + b}$

${\ Displaystyle О (а) = О (Ь)}$

тогда сумма будет того же порядка:

${\ Displaystyle О (а) \ толстый О (б) \ толстый О (с)}$

Правило 5- В случае произведения двух условий

${\ displaystyle p = ab}$

порядок величины продукта равен произведению порядков величины двух факторов

${\ Displaystyle О (п) = О (а) О (б)}$

для соотношений

${\ displaystyle r = {\ frac {a} {b}}}$

потом

${\ Displaystyle О (г) = {\ гидроразрыва {О (а)} {О (б)}}}$

здесь O (a) представляет собой порядок величины a.

~ представляет два члена одного порядка величины.

> представляет собой больше чем в смысле порядка величины.

Масштабный анализ полностью развитого потока

Рассмотрим установившийся ламинарный поток вязкой жидкости внутри круглой трубы. Пусть жидкость входит с постоянной скоростью в потоке поперечного сечения. Когда жидкость движется по трубе, образуется пограничный слой жидкости с низкой скоростью, который растет на поверхности, потому что жидкость, непосредственно прилегающая к поверхности, имеет нулевую скорость. Особым и упрощающим признаком вязкого течения внутри цилиндрических трубок является тот факт, что пограничный слой должен встречаться на центральной линии трубы, и тогда распределение скорости устанавливает фиксированный, неизменный рисунок. Гидродинамическая входная длина - это та часть трубы, в которой импульсный пограничный слой растет, а распределение скорости изменяется с длиной. Фиксированное распределение скорости в полностью развитой области называется полностью развитым профилем скорости. Установившаяся непрерывность и сохранение уравнений количества движения в двумерном пространстве есть

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} = 0,}$

( 1 )

${\ displaystyle u {{\ partial u} \ over {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = - {{\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial P} {\ partial x}}} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ { 2} u} {\ partial y ^ {2}}} \ right),}$

( 2 )

${\ displaystyle u {{\ partial v} \ over {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} = - {{\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial P} {\ partial y}}} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ { 2} v} {\ partial y ^ {2}}} \ right),}$

( 3 )

Эти уравнения можно упростить, используя масштабный анализ. В любой точке полностью развитой зоны у нас есть и . Теперь из уравнения ( 1 ), поперечная составляющая скорости в полностью развитой области упрощается с использованием масштабирования как ${\ displaystyle x \ sim L}$${\ displaystyle y \ sim \ delta}$${\ displaystyle u \ sim U _ {\ infty}}$

${\ displaystyle v \ sim {\ frac {U _ {\ infty} \ delta} {L}}}$

( 4 )

В полностью развитой области , так что масштаб поперечной скорости незначителен из уравнения ( 4 ). Поэтому в полностью развитом потоке уравнение неразрывности требует, чтобы ${\ Displaystyle L \ gg \ delta}$

${\ displaystyle v = 0, {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}$

( 5 )

На основании уравнения ( 5 ) уравнение импульса y ( 3 ) сводится к

${\ displaystyle {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} = 0}$

( 6 )

это означает, что P является функцией только x . Отсюда уравнение импульса x становится

${\ displaystyle {\ frac {dP} {dx}} = \ mu {\ frac {d ^ {2} u} {dy ^ {2}}} = {\ text {constant}}}$

( 7 )

Каждый член должен быть постоянным, потому что левая часть является функцией только x, а правая - функцией y . Решая уравнение ( 7 ) с граничным условием

${\ displaystyle u = 0, y = \ pm {\ frac {D} {2}}}$

( 8 )

это приводит к хорошо известному решению Хагена – Пуазейля для полностью развитого потока между параллельными пластинами.

${\ displaystyle u = {\ frac {3} {2}} U \ left [1 - {\ left ({\ frac {y} {D / 2}} \ right)} ^ {2} \ right]}$

( 9 )

${\ displaystyle U = {\ frac {D ^ {2}} {12 \ mu}} \ left (- {\ frac {dP} {dx}} \ right)}$

( 10 )

где y отсчитывается от центра канала. Скорость должна быть параболической и пропорциональной давлению на единицу длины воздуховода в направлении потока.

Смотрите также

• Приближение
• Размерный анализ

использованная литература

• Баренблатт, Г.И. (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточные асимптотики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-43522-6.
• Теннекес, Х .; Ламли, Джон Л. (1972). Первый курс в турбулентности . MIT Press, Кембридж, Массачусетс. ISBN 0-262-20019-8.
• Бежан, А. (2004). Конвекционная теплопередача . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-81-265-0934-8.
• Кейс, ВМ, Кроуфорд МЭ (2012). Конвективный тепло- и массообмен . McGraw Hill Education (Индия). ISBN 978-1-25-902562-4.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

внешние ссылки

• Масштабный анализ и числа Рейнольдса