Теорема Рауса - Routh's theorem

Теорема Рауса

В геометрии , теорема Рауса определяет соотношение между областей данного треугольника и треугольника , образованного попарных пересечений трех cevians . Теорема утверждает , что если в треугольнике точках , , и лежат на сегменты , и , затем писать , и , подписанную площадь треугольника , образованного cevians , и это площадь треугольника раз ${\ displaystyle ABC}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle BC}$ ${\ displaystyle CA}$ ${\ displaystyle AB}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {CD} {BD}}}$ ${\ displaystyle = x}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {AE} {CE}}}$ ${\ displaystyle = y}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {BF} {AF}}}$ ${\ displaystyle = z}$ ${\ displaystyle AD}$ ${\ displaystyle BE}$ ${\ displaystyle CF}$ ${\ displaystyle ABC}$

{\ displaystyle {\ frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xy + y + 1) (yz + z + 1) (zx + x + 1)}}.}.}

Эта теорема была дана Эдвардом Джоном Раутом на странице 82 его « Трактата по аналитической статике с многочисленными примерами» в 1896 году. Этот частный случай получил популярность как треугольник с площадью одной седьмой . Случай означает , что три медианы пересекаются в одной точке (через центр тяжести ). ${\ Displaystyle х = у = г = 2}$ ${\ Displaystyle х = у = г = 1}$

Доказательство

Теорема Рауса

Предположим, что площадь треугольника равна 1. Для треугольника и прямой, используя теорему Менелая , мы могли бы получить: ${\ displaystyle ABC}$ ${\ displaystyle ABD}$ ${\ displaystyle FRC}$

{\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ times {\ frac {BC} {CD}} \ times {\ frac {DR} {RA}} = 1}

Тогда площадь треугольника равна: ${\ displaystyle {\ frac {DR} {RA}} = {\ frac {BF} {FA}} \ times {\ frac {DC} {CB}} = {\ frac {zx} {x + 1}}}$ ${\ displaystyle ARC}$

{\ displaystyle S_ {ARC} = {\ frac {AR} {AD}} S_ {ADC} = {\ frac {AR} {AD}} \ times {\ frac {DC} {BC}} S_ {ABC} = {\ frac {x} {zx + x + 1}}}

Точно так же мы могли бы знать: и Таким образом, площадь треугольника равна: ${\ displaystyle S_ {BPA} = {\ frac {y} {xy + y + 1}}}$ ${\ Displaystyle S_ {CQB} = {\ frac {z} {yz + z + 1}}}$ ${\ displaystyle PQR}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle S_ {PQR} = S_ {ABC} -S_ {ARC} -S_ {BPA} -S_ {CQB}}

{\ displaystyle = 1 - {\ frac {x} {zx + x + 1}} - {\ frac {y} {xy + y + 1}} - {\ frac {z} {yz + z + 1}} }

{\ displaystyle = {\ frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xz + x + 1) (yx + y + 1) (zy + z + 1)}}.}.

Цитаты

Теорема Рауса обычно цитируется в « Трактате об аналитической статике с многочисленными примерами» , том 1, гл. IV, во втором издании 1896 г., стр. 82 , возможно потому, что с этим изданием было легче обращаться. Однако Раус дал теорему уже в первом издании 1891 г., том 1, гл. IV, стр. 89 . Несмотря на то, что нумерация страниц между редакциями изменилась, формулировка соответствующей сноски осталась прежней.

Раут завершает свое расширенное примечание оговоркой :

«Автор не встречал этих выражений для часто встречающихся областей двух треугольников. Поэтому он поместил их здесь, чтобы можно было легче понять аргумент в тексте».

По-видимому, Раус чувствовал, что эти обстоятельства не изменились за пять лет между выпусками. С другой стороны, название книги Рауса ранее использовал Исаак Тодхантер ; обоих тренировал Уильям Хопкинс .

Хотя Раус опубликовал теорему в своей книге, это не первое опубликованное утверждение. Это заявлено и доказано как всадник (vii) на странице 33 Решения Кембриджских проблем и всадников за 1878 год, то есть математических трипо того года, и ссылка находится на https://archive.org/ подробнее / solutionscambri00glaigoog . Утверждается, что автором задач с римскими цифрами является Глейшер . Когда вышла его книга, Раус был известным тренером по математике Tripos и наверняка был знаком с содержанием экзамена 1878 года. Таким образом, в своем заявлении автор не встречал этих выражений для часто встречающихся площадей двух треугольников. вызывает недоумение.

Задачи в этом духе имеют долгую историю в развлекательной математике и математической педагогике , возможно, это один из старейших примеров определения пропорций четырнадцати областей доски желудка . Имея в виду Кембридж Рауса, треугольник одной седьмой площади , связанный в некоторых отчетах с Ричардом Фейнманом , появляется, например, как вопрос 100, стр. 80 , в Евклиде геометрии ( Пятая школа издание ) , по Роберту Поттсу (1805--1885,) Тринити - колледж, опубликованном в 1859 году; сравните также его Вопросы 98, 99 на той же странице. В 1832 году Поттс был двадцать шестым Рэнглером, а затем, как Хопкинс и Раус, тренировал в Кембридже. Разъяснительные сочинения Потта по геометрии были отмечены медалью на Международной выставке 1862 г., а также почетным званием Hon. LL.D. из Колледжа Уильяма и Мэри , Вильямсбург , Вирджиния .

Languages

In other projects

Теорема Рауса - Routh's theorem

Доказательство

Цитаты

Рекомендации