Грубый путь - Rough path

В стохастическом анализе , А грубый путь представляет собой обобщение понятия гладкого пути , позволяющий построить надежную теорию решения для управляемых дифференциальных уравнений , управляемых классический нерегулярными сигналами, например , в процессе Винер . Теория была разработана в 1990-х годах Терри Лайонсом . Доступны несколько версий теории.

Теория грубого пути сосредоточена на фиксации и точном взаимодействии между сильно колеблющимися и нелинейными системами. Он основан на гармоническом анализе Л. К. Юнга, геометрической алгебре К. Т. Чена, теории функций Липшица Х. Уитни и основных идеях стохастического анализа. Понятия и единые оценки имеют широкое применение в чистой и прикладной математике и за ее пределами. Он предоставляет набор инструментов для относительно легкого восстановления многих классических результатов в стохастическом анализе (теорема поддержки Вонга-Закая, Штрука-Варадхана, построение стохастических потоков и т. Д.) Без использования конкретных вероятностных свойств, таких как свойство мартингала или предсказуемость. Эта теория также расширяет теорию СДУ Ито далеко за пределы семимартингального подхода . В основе математики лежит задача эффективного описания гладкого, но потенциально сильно колеблющегося и многомерного пути, чтобы точно предсказать его влияние на нелинейную динамическую систему . Сигнатура - это гомоморфизм моноида путей (при конкатенации) в группоподобные элементы свободной тензорной алгебры. Он обеспечивает постепенное изложение пути . Это некоммутативное преобразование верно для путей вплоть до соответствующих нулевых модификаций. Эти постепенные обобщения или особенности пути лежат в основе определения грубого пути; локально они устраняют необходимость смотреть на тонкую структуру пути. Теорема Тейлора объясняет, как любая гладкая функция может быть локально выражена как линейная комбинация определенных специальных функций (одночленов, основанных на этой точке). Повторяющиеся по координатам интегралы (члены сигнатуры) образуют более тонкую алгебру свойств, которые могут аналогичным образом описывать поток или путь; они позволяют определять приблизительный путь и образуют естественный линейный «базис» для непрерывных функций на путях. ${\ displaystyle x_ {t}}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} y_ {t} = f (y_ {t}) \, \ mathrm {d} x_ {t}, y_ {0} = a}$${\ displaystyle x}$

Мартин Хайрер использовал грубые пути для построения теории робастных решений для уравнения КПЗ . Затем он предложил обобщение, известное как теория структур регулярности, за которое в 2014 году был награжден медалью Филдса .

Мотивация

Теория грубого пути стремится разобраться в управляемом дифференциальном уравнении

${\ Displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t} ^ {j}.}$

где управление, непрерывный путь, принимающий значения в банаховом пространстве , не обязательно должен быть дифференцируемым или иметь ограниченную вариацию. Распространенным примером управляемого пути является примерный путь винеровского процесса . В этом случае вышеупомянутое управляемое дифференциальное уравнение можно интерпретировать как стохастическое дифференциальное уравнение, а интегрирование по " " можно определить в смысле Ито . Однако исчисление Ито определяется в смысле и, в частности, не является путевым определением. Неровные пути дают почти надежное путевое определение стохастического дифференциального уравнения. Понятие грубого пути решения корректно в том смысле, что if представляет собой последовательность гладких путей, сходящихся к в метрике -вариации (описанной ниже), и ${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} ^ {j}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle X (п) _ {т}}$${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y (n) _ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X (n) _ {t} ^ {j};}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t} ^ {j},}$

затем сходится к в метрике -вариации. Это свойство непрерывности и детерминированный характер решений позволяет упростить и усилить многие результаты стохастического анализа, такие как теория больших отклонений Фрейдлина-Вентцелля, а также результаты о стохастических потоках. ${\ Displaystyle Y (п)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle p}$

Фактически, теория грубого пути может выйти далеко за рамки исчисления Ито и Стратоновича и позволяет разобраться в дифференциальных уравнениях, управляемых несемимартингальными путями, такими как гауссовские процессы и марковские процессы .

Определение грубого пути

Грубые пути - это пути, принимающие значения в усеченной свободной тензорной алгебре (точнее: в свободной нильпотентной группе, вложенной в свободную тензорную алгебру), о которых в этом разделе мы вкратце напоминаем. Обозначенные тензорные степени , снабжены проективной нормой (см. Топологическое тензорное произведение , обратите внимание, что грубая теория путей фактически работает для более общего класса норм). Пусть - усеченная тензорная алгебра ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle {\ big (} \ mathbb {R} ^ {d} {\ big)} ^ {\ otimes n}}$${\ Displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert}$${\ Displaystyle Т ^ {(п)} (\ mathbb {R} ^ {d})}$

${\ displaystyle T ^ {(n)} (\ mathbb {R} ^ {d}) = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {n} {\ big (} \ mathbb {R} ^ {d} {\ большой)} ^ {\ otimes i},}$ где по условию . ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {d}) ^ {\ otimes 0} \ cong \ mathbb {R}}$

Позвольте быть симплексом . Пусть . Позвольте и быть непрерывными отображениями . Обозначим через проекцию на -тензор и аналогично для . -Вариации метрика определяется как ${\ Displaystyle \ треугольник _ {0,1}}$${\ Displaystyle \ {(s, t): 0 \ leq s \ leq t \ leq 1 \}}$${\ displaystyle p \ geq 1}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ Displaystyle \ треугольник _ {0,1} \ к T ^ {(\ lfloor p \ rfloor)} (\ mathbb {R} ^ {d})}$${\ displaystyle \ mathbf {X} ^ {j}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ mathbf {Y} ^ {j}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle d_ {p} \ left (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y} \ right): = \ max _ {j = 1, \ ldots, \ lfloor p \ rfloor} \ sup _ {0 = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {n} = 1} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ Vert \ mathbf {X} _ {t_ {i}, t_ {i + 1}} ^ {j} - \ mathbf {Y} _ {t_ {i}, t_ {i + 1}} ^ {j} \ Vert ^ {\ frac {p} {j}} \ right ) ^ {\ frac {j} {p}}}$

где верхняя грань берется по всем конечным перегородкам из . ${\ displaystyle \ {0 = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {n} = 1 \}}$${\ displaystyle [0,1]}$

Непрерывная функция является -геометрическим грубым путем, если существует последовательность путей с конечной полной вариацией такая, что ${\ Displaystyle \ mathbf {X}: \ треугольник _ {0,1} \ rightarrow T ^ {(\ lfloor p \ rfloor)} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ ${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle Х (1), Х (2), \ ldots}$

${\ displaystyle \ mathbf {X} (n) _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1) }}, \ ldots, \ int _ {s <s_ {1} <\ cdots <s _ {\ lfloor p \ rfloor} <t} \, \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} X (n) _ {s _ {\ lfloor p \ rfloor}} \ right)}$

сходится в метрике -вариации к as . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle п \ rightarrow \ infty}$

Универсальная предельная теорема

Центральным результатом в теории грубых путей является Универсальная предельная теорема Лайонса . Один (слабый) вариант результата следующий: Пусть будет последовательность путей с конечной полной вариацией и пусть ${\ Displaystyle X (п)}$

${\ displaystyle \ mathbf {X} (n) _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1) }}, \ ldots, \ int _ {s <s_ {1} <\ ldots <s _ {\ lfloor p \ rfloor} <t} \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} X (n) _ {s _ {\ lfloor p \ rfloor}} \ right)}$ обозначают подъем по грубой траектории . ${\ Displaystyle X (п)}$

Предположим, что он сходится в метрике -вариации к -геометрическому грубому пути при . Пусть - функции, у которых есть хотя бы ограниченные производные, а -ые производные для некоторых -гельдеровы . Пусть - решение дифференциального уравнения ${\ Displaystyle \ mathbf {X} (п)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle п \ к \ infty}$${\ Displaystyle (V_ {j} ^ {i}) _ {j = 1, \ ldots, d} ^ {i = 1, \ ldots, n}}$${\ displaystyle \ lfloor p \ rfloor}$${\ displaystyle \ lfloor p \ rfloor}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha> p- \ lfloor p \ rfloor}$${\ Displaystyle Y (п)}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y (n) _ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y (n) _ {t} ) \, \ mathrm {d} X (n) _ {t} ^ {j}}$

и определим как ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} (п)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {Y} (п) _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \, \ mathrm {d} Y (n) _ {s_ {1}}, \ ldots, \ int _ {s <s_ {1} <\ ldots <s _ {\ lfloor p \ rfloor} <t} \ mathrm {d} Y (n) _ {s_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} Y (n) _ {s _ {\ lfloor p \ rfloor}} \ right).}$

Затем сходится в метрике -вариации к -геометрической грубой траектории . ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} (п)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

Кроме того, является решением дифференциального уравнения ${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t} ^ {j} \ qquad (\ звезда)}$

движется по геометрической неровной дороге . ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Вкратце, теорему можно интерпретировать как утверждение, что отображение решения (также известное как отображение Ито-Лайонса) RDE непрерывно (и фактически локально липшицево) в -вариационной топологии. Следовательно, теория грубых путей демонстрирует, что, рассматривая управляющие сигналы как грубые пути, можно получить надежную теорию решений для классических стохастических дифференциальных уравнений и не только. ${\ Displaystyle \ Phi: G \ Omega _ {p} (\ mathbb {R} ^ {d}) \ to G \ Omega _ {p} (\ mathbb {R} ^ {e})}$${\ Displaystyle (\ звезда)}$${\ displaystyle p}$

Примеры грубых путей

Броуновское движение

Пусть - многомерное стандартное броуновское движение. Обозначим через интегрирование Стратоновича . потом ${\ Displaystyle (В_ {т}) _ {т \ geq 0}}$${\ displaystyle \ circ}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \ circ \ mathrm {d} B_ {s_ {1}}, \ int _ {s <s_ {1} <s_ {2} <t} \ circ \ mathrm {d} B_ {s_ {1}} \ otimes \ circ \ mathrm {d} B_ {s_ {2}} \ right)}$

является -геометрическим грубым путем для любого . Этот геометрический неровный путь называется броуновским неровным путем Стратоновича . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2 <p <3}$

Дробное броуновское движение

В более общем смысле, пусть будет многомерное дробное броуновское движение (процесс, координатные компоненты которого являются независимыми дробными броуновскими движениями) с . Если - -я диадическая кусочно-линейная интерполяция , то ${\ Displaystyle B_ {H} (т)}$${\ displaystyle H> {\ frac {1} {4}}}$${\ Displaystyle B_ {H} ^ {m} (т)}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle B_ {H} (т)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {B} _ {H} ^ {m} (s, t) = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \ right. & \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {1}), \ int _ {s <s_ {1} <s_ {2} <t} \, \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {1}) \ otimes \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {2}), \\ & \ left. \ int _ {s <s_ {1} <s_ { 2} <s_ {3} <t} \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {1}) \ otimes \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {2}) \ otimes \ mathrm {d} B_ {H} ^ {m} (s_ {3}) \ right) \ end {align}}}$

почти наверняка сходится в метрике -вариации к -геометрической грубой траектории для . Этот ограничивающий геометрический грубый путь можно использовать для понимания дифференциальных уравнений, управляемых дробным броуновским движением с параметром Херста . Когда оказывается, что указанный выше предел по диадическим приближениям не сходится в -вариации. Однако, конечно, можно разобраться в дифференциальных уравнениях при условии, что существует грубый подъем, существование такого (неединственного) подъема является следствием теоремы о продолжении Лайонса – Виктуара . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ frac {1} {H}} <p}$${\ displaystyle H> {\ frac {1} {4}}}$${\ displaystyle 0 <H \ leq {\ frac {1} {4}}}$${\ displaystyle p}$

Неуникальность улучшения

В общем, пусть будет -значный случайный процесс. Если можно почти наверняка построить функции так, чтобы ${\ Displaystyle (X_ {т}) _ {т \ geq 0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle (s, t) \ rightarrow \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} \ in {\ big (} \ mathbb {R} ^ {d} {\ big)} ^ {\ otimes j}}$

${\ displaystyle \ mathbf {X}: (s, t) \ rightarrow (1, X_ {t} -X_ {s}, \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {2}, \ ldots, \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {\ lfloor p \ rfloor})}$

является -geometric грубого путь, то есть усиление процесса . Как только улучшение будет выбрано, аппарат теории грубого пути позволит разобраться в управляемом дифференциальном уравнении ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {s, t}}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t} ^ {j}.}$

для достаточно регулярных векторных полей ${\ displaystyle V_ {j} ^ {i}.}$

Обратите внимание, что каждый случайный процесс (даже если это детерминированный путь) может иметь более одного (на самом деле, бесчисленное множество) возможных улучшений. Различные улучшения приведут к различным решениям управляемых дифференциальных уравнений. В частности, можно улучшить броуновское движение до геометрической шероховатой траектории другим способом, кроме броуновского грубого пути. Это означает, что исчисление Стратоновича - не единственная теория стохастического исчисления, удовлетворяющая классическому правилу произведения.

${\ displaystyle \ mathrm {d} (X_ {t} \ cdot Y_ {t}) = X_ {t} \, \ mathrm {d} Y_ {t} + Y_ {t} \, \ mathrm {d} X_ { t}.}$

Фактически, любое усиление броуновского движения как геометрического грубого пути приведет к исчислению, которое удовлетворяет этому классическому правилу произведения. Исчисление Ито происходит не напрямую от усиления броуновского движения как геометрического грубого пути, а скорее как разветвленного грубого пути.

Приложения в стохастическом анализе

Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые несемимартингалами

Теория грубого пути позволяет дать путевое представление о решении (стохастических) дифференциальных уравнений вида

${\ Displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} = b (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} t + \ sigma (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t}}$

при условии, что многомерный случайный процесс почти наверняка может быть усилен как грубый путь и что дрейф и волатильность достаточно плавные (см. раздел об универсальной предельной теореме). ${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ sigma}$

Есть много примеров марковских процессов, гауссовских процессов и других процессов, которые можно улучшить как грубые пути.

В частности, существует множество результатов по решению дифференциального уравнения, управляемого дробным броуновским движением, которые были доказаны с использованием комбинации исчисления Маллявэна и теории грубого пути. Фактически, недавно было доказано, что решение управляемого дифференциального уравнения, управляемого классом гауссовских процессов, которое включает дробное броуновское движение с параметром Херста , имеет гладкую плотность при условии Хермандера для векторных полей. ${\ displaystyle H> {\ frac {1} {4}}}$

Теория больших уклонений Фрейдлина – Венцелля.

Обозначим через пространство ограниченных линейных отображений из банахова пространства в другое банахово пространство . ${\ Displaystyle L (V, W)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

Пусть - -мерное стандартное броуновское движение. Пусть и - дважды дифференцируемые функции, вторые производные которых являются -гельдеровскими для некоторых . ${\ displaystyle B_ {t}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle b: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow L (\ mathbb {R} ^ {d}, \ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha> 0}$

Пусть - единственное решение стохастического дифференциального уравнения ${\ Displaystyle X ^ {\ varepsilon}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} X ^ {\ varepsilon} = b (X_ {t} ^ {\ epsilon}) \, \ mathrm {d} t + {\ sqrt {\ varepsilon}} \ sigma (X ^ {\ varepsilon}) \ circ \ mathrm {d} B_ {t}; \, X ^ {\ varepsilon} = a,}$

где обозначает интегрирование Стратоновича. ${\ displaystyle \ circ}$

В теории больших уклонений Фрейдлина Вентцель в цели для изучения асимптотического поведения, так как , в закрытых или открытых множествах относительно равномерной топологии. ${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} [X ^ {\ varepsilon} \ in F]}$${\ displaystyle F}$

Универсальная предельная теорема гарантирует, что карта Ито, отправляющая путь управления к решению, является непрерывным отображением от топологии -вариации к топологии -вариации (и, следовательно, к равномерной топологии). Следовательно, принцип сжатия в теории больших уклонений сводит проблему Фрейдлина – Венцелля к демонстрации принципа больших уклонений для в -вариативной топологии. ${\ displaystyle (т, {\ sqrt {\ varepsilon}} B_ {t})}$${\ Displaystyle X ^ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle (т, {\ sqrt {\ varepsilon}} B_ {t})}$${\ displaystyle p}$

Эта стратегия может быть применена не только к дифференциальным уравнениям, управляемым броуновским движением, но также и к дифференциальным уравнениям, управляющим любыми случайными процессами, которые могут быть расширены до грубых путей, например дробным броуновским движением.

Стохастический поток

Еще раз, позвольте быть -мерному броуновскому движению. Предположим, что член сноса и член волатильности имеют достаточную регулярность, так что стохастическое дифференциальное уравнение ${\ displaystyle B_ {t}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ phi _ {s, t} (x) = b (\ phi _ {s, t} (x)) \, \ mathrm {d} t + \ sigma {(\ phi _ { s, t} (x))} \, \ mathrm {d} B_ {t}; X_ {s} = x}$

имеет уникальное решение в смысле грубого пути. Основной вопрос в теории стохастического потока , является ли карта потока существует и удовлетворяет коциклическое свойство , что для всех , ${\ Displaystyle \ phi _ {s, t} (х)}$${\ Displaystyle s \ leq и \ leq t}$

${\ Displaystyle \ phi _ {u, t} (\ phi _ {s, u} (x)) = \ phi _ {s, t} (x)}$

вне нулевого набора, независимого от . ${\ displaystyle s, u, t}$

Универсальная предельная теорема еще раз уменьшает эту проблему ли броуновское грубый путь существует и удовлетворяет мультипликативным свойством , что для всех , ${\ displaystyle \ mathbf {B_ {s, t}}}$${\ Displaystyle s \ leq и \ leq t}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {s, u} \ otimes \ mathbf {B} _ {u, t} = \ mathbf {B} _ {s, t}}$

вне нулевого набора, независимого от , и . ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle t}$

На самом деле, грубая теория пути дает существование и единственность не только вне нулевого множества независимо от , и , но и дрейфа и волатильность . ${\ Displaystyle \ phi _ {s, t} (х)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ sigma}$

Как и в случае теории Фрейдлина – Венцелля, эта стратегия верна не только для дифференциальных уравнений, управляемых броуновским движением, но и для любых случайных процессов, которые могут быть расширены до грубых путей.

Контролируемый грубый путь

Управляемые грубые пути, введенные М. Губинелли, - это пути, для которых грубый интеграл ${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

${\ displaystyle \ int _ {s} ^ {t} \ mathbf {Y} _ {u} \, \ mathrm {d} X_ {u}}$

может быть определен для заданного геометрического грубого пути . ${\ displaystyle X}$

Более точно, пусть обозначает пространство ограниченных линейных отображений из банахова пространства в другое банахово пространство . ${\ Displaystyle L (V, W)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

Дан -геометрический грубый путь ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (1, \ mathbf {X} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {X} ^ {\ lfloor p \ rfloor})}$

на , A - контролируются путем является функцией таким образом, что и что существует такой , что для всех и , ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ mathbf {Y} _ {s} = (\ mathbf {Y} _ {s} ^ {0}, \ mathbf {Y} _ {s} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {Y} _ {s} ^ {\ lfloor \ gamma \ rfloor})}$${\ displaystyle \ mathbf {Y} ^ {j}: [0,1] \ rightarrow L ((\ mathbb {R} ^ {d}) ^ {\ otimes j + 1}, \ mathbb {R} ^ {n })}$${\ displaystyle M> 0}$${\ Displaystyle 0 \ Leq S \ Leq т \ Leq 1}$${\ Displaystyle J = 0,1, \ ldots, \ lfloor \ gamma \ rfloor}$

${\ displaystyle \ Vert \ mathbf {Y} _ {s} ^ {j} \ Vert \ leq M}$

а также

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {Y} _ {t} ^ {j} - \ sum _ {i = 0} ^ {\ lfloor \ gamma \ rfloor -j} \ mathbf {Y} _ {s} ^ {j + i} \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {i} \ right \ | \ leq M | ts | ^ {\ frac {\ gamma -j} {p}}.}$

Пример: функция Lip ( γ )

Пусть - -геометрический грубый путь, удовлетворяющий условию Гёльдера, что существует для всех и всех , ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (1, \ mathbf {X} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {X} ^ {\ lfloor p \ rfloor})}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M> 0}$${\ Displaystyle 0 \ Leq S \ Leq т \ Leq 1}$${\ Displaystyle J = 1`` 2, \ ldots, \ lfloor p \ rfloor}$

${\ Displaystyle \ Vert \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} \ Vert \ leq M (ts) ^ {\ frac {j} {p}},}$

где обозначает -ю компоненту тензора . Пусть . Пусть - дифференцируемая по разам функция, а -я производная гёльдерова, тогда ${\ displaystyle \ mathbf {X} ^ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ gamma \ geq 1}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ lfloor \ gamma \ rfloor}$${\ Displaystyle \ lfloor \ gamma \ rfloor}$${\ displaystyle \ gamma - \ lfloor \ gamma \ rfloor}$

${\ Displaystyle (е (\ mathbf {X} _ {s} ^ {1}), Df (\ mathbf {X} _ {s} ^ {1}), \ ldots, D ^ {\ lfloor \ gamma \ rfloor } f (\ mathbf {X} _ {s} ^ {1}))}$

- управляемый путь. ${\ displaystyle \ gamma}$

Неотъемлемой частью контролируемого пути является управляемый путь

Если - контролируемый путь где , то ${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma> п-1}$

${\ displaystyle \ int _ {s} ^ {t} \ mathbf {Y} _ {u} \, \ mathrm {d} X_ {u}}$

определен и путь

${\ displaystyle \ left (\ int _ {s} ^ {t} \ mathbf {Y} _ {u} \, \ mathrm {d} X_ {u}, \ mathbf {Y} _ {s} ^ {0} , \ mathbf {Y} _ {s} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {Y} _ {s} ^ {\ lfloor \ gamma -1 \ rfloor} \ right)}$

- управляемый путь. ${\ displaystyle \ gamma}$

Решение управляемого дифференциального уравнения - это управляемый путь

Пусть - функции, у которых есть по крайней мере производные, а -ые производные для некоторых -гельдеровы . Пусть - решение дифференциального уравнения ${\ Displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow L (\ mathbb {R} ^ {d}, \ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle \ lfloor \ gamma \ rfloor}$${\ Displaystyle \ lfloor \ gamma \ rfloor}$${\ displaystyle \ gamma - \ lfloor \ gamma \ rfloor}$${\ displaystyle \ gamma> p}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} = V (Y_ {t}) \, \ mathrm {d} X_ {t}.}$

Определять

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} X}} (\ cdot) = V (\ cdot);}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {r + 1} Y} {\ mathrm {d} ^ {r + 1} X}} (\ cdot) = D \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {r} Y} {\ mathrm {d} ^ {r} X}} \ right) (\ cdot) V (\ cdot),}$

где обозначает производный оператор, то ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ left (Y_ {t}, {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} X}} (Y_ {t}), {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2) } Y} {\ mathrm {d} ^ {2} X}} (Y_ {t}), \ ldots, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {\ lfloor \ gamma \ rfloor} Y} {\ mathrm { d} ^ {\ lfloor \ gamma \ rfloor} X}} (Y_ {t}) \ right)}$

- управляемый путь. ${\ displaystyle \ gamma}$

Подпись

Пусть - непрерывная функция с конечной полной вариацией. Определять ${\ Displaystyle X: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {d}}$

${\ Displaystyle S (X) _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \ mathrm {d} X_ {s_ {1}}, \ int _ {s <s_ {1} <s_ {2} <t} \ mathrm {d} X_ {s_ {1}} \ otimes \ mathrm {d} X_ {s_ {2}}, \ ldots, \ int _ {s <s_ {1} <\ cdots <s_ {n} <t} \ mathrm {d} X_ {s_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} X_ {s_ {n}}, \ ldots \ right) .}$

Подпись пути определяется как . ${\ Displaystyle S (X) _ {0,1}}$

Подпись также может быть определена для геометрических грубых путей. Позвольте быть геометрическим грубым путем и пусть быть последовательностью путей с конечной полной вариацией, такой что ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle \ mathbf {X} (п)}$

${\ displaystyle \ mathbf {X} (n) _ {s, t} = \ left (1, \ int _ {s <s_ {1} <t} \, \ mathrm {d} X (n) _ {s_) {1}}, \ ldots, \ int _ {s <s_ {1} <\ cdots <s _ {\ lfloor p \ rfloor} <t} \, \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1} } \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} X (n) _ {s _ {\ lfloor p \ rfloor}} \ right).}$

сходится в метрике -вариации к . потом ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ displaystyle \ int _ {s <s_ {1} <\ cdots <s_ {N} <t} \, \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathrm {d} X (n) _ {s_ {N}}}$

сходится как для каждого . Сигнатура геометрического грубого пути может быть определена как предел as . ${\ Displaystyle п \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle S (Х (п)) _ {s, t}}$${\ Displaystyle п \ rightarrow \ infty}$

Подпись удовлетворяет личность Чена, что

${\ Displaystyle S (\ mathbf {X}) _ {s, u} \ otimes S (\ mathbf {X}) _ {u, t} = S (\ mathbf {X}) _ {s, t}}$

для всех . ${\ Displaystyle s \ leq и \ leq t}$

Ядро преобразования сигнатуры

Множество путей, сигнатура которых является тривиальной последовательностью, а точнее,

${\ Displaystyle S (\ mathbf {X}) _ {0,1} = (1,0,0, \ ldots)}$

можно полностью охарактеризовать, используя идею древовидного пути.

A -геометрический грубый путь является древовидным, если существует непрерывная функция такая, что и для всех и для всех , ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle h: [0,1] \ rightarrow [0, \ infty)}$${\ displaystyle h (0) = h (1) = 0}$${\ Displaystyle J = 1, \ ldots, \ lfloor p \ rfloor}$${\ Displaystyle 0 \ Leq S \ Leq т \ Leq 1}$

${\ Displaystyle \ Vert \ mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} \ Vert ^ {p} \ leq h (t) + h (s) -2 \ inf _ {u \ in [s, t ]} h (u)}$

где обозначает -ю компоненту тензора . ${\ displaystyle \ mathbf {X} ^ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Геометрический грубый путь удовлетворяет тогда и только тогда, когда он подобен дереву. ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle S (\ mathbf {X}) _ {0,1} = (1,0, \ ldots)}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Учитывая сигнатуру пути, можно восстановить уникальный путь, не имеющий древовидных частей.

Бесконечные измерения

Также возможно расширить основные результаты в теории грубых путей до бесконечных измерений, при условии, что норма в тензорной алгебре удовлетворяет определенному условию допустимости.

Рекомендации