Теория представительного слоя - Representative layer theory

Концепция репрезентативного слоя появилась благодаря работе Дональда Дама с помощью Кевина Дама и Карла Норриса по описанию спектроскопических свойств образцов твердых частиц, особенно применительно к ближней инфракрасной спектроскопии . Репрезентативный слой имеет ту же долю пустот, что и образец, который он представляет, и каждый тип частиц в образце имеет такую ​​же объемную долю и долю площади поверхности, что и образец в целом. Спектроскопические свойства репрезентативного слоя могут быть получены из спектроскопических свойств частиц, которые могут быть определены множеством способов. Хотя репрезентативный слой можно использовать в любой теории, основанной на математике плоскопараллельных слоев, существует набор определений и математики, некоторые старые и некоторые новые, которые стали частью теории репрезентативных слоев .

Теория репрезентативного слоя может использоваться для определения спектроскопических свойств совокупности частиц по свойствам отдельных частиц в совокупности. Образец моделируется как серия слоев, каждый из которых параллелен друг другу и перпендикулярен падающему лучу. Затем используется математика плоскопараллельных слоев для извлечения требуемых свойств из данных, в первую очередь линейного коэффициента поглощения, который ведет себя подобно коэффициенту в законе Бера. Теория репрезентативного слоя дает возможность выполнять вычисления для новых свойств образца путем изменения свойств отдельного слоя частиц, что не требует переделки математики для образца в целом.

История

Первая попытка объяснить передачу и отражение слоистого материала была предпринята Джорджем Г. Стоуксом примерно в 1860 году и привела к некоторым очень полезным соотношениям. Джон У. Стратт (лорд Рэлей) и Густав Ми в значительной степени разработали теорию однократного рассеяния, но Ортур Шустер был первым, кто рассмотрел многократное рассеяние. Он занимался облачной атмосферой звезд и разработал модель плоскопараллельного слоя, в которой поле излучения разделено на прямую и обратную составляющие. Эту же модель намного позже использовали Пауль Кубелка и Франц Мунк , имена которых обычно прикрепляют к ней спектроскописты.

После Второй мировой войны область спектроскопии отражения интенсивно исследовалась как теоретически, так и экспериментально. Функция ремиссии , согласно теории Кубелки-Мунка, была ведущим претендентом на роль показателя поглощения, аналогичного функции поглощения в спектроскопии пропускания-поглощения.  ${\ textstyle F (R _ {\ infty})}$

Форма решения КМ первоначально было: , но она была переписана в терминах линейных коэффициентов некоторыми авторами, став , принимая и как эквивалент линейного поглощения и рассеяния коэффициенты , как они появляются в законе Бугера-Ламберта, даже если источники тот, кто выводил уравнения, предпочитал символизм и обычно подчеркивал, что и является параметром отражения или обратного рассеяния, который в случае диффузного рассеяния следует правильно рассматривать как интеграл. ${\ textstyle F (R _ {\ infty}) \ Equiv {\ frac {(1-R _ {\ infty}) ^ {2}} {2R _ {\ infty}}} = {\ frac {a_ {0}} { г_ {0}}}}$${\ textstyle F (R _ {\ infty}) \ Equiv {\ frac {(1-R _ {\ infty}) ^ {2}} {2R _ {\ infty}}} = {\ frac {k} {s}} }$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle s}$${\ textstyle {\ frac {K} {S}}}$${\ textstyle K = 2k}$${\ displaystyle S}$

В 1966 году в книге под названием отражательной спектроскопии, Гарри Хект указал , что формулировка привела к , что позволило черчения « по отношению к длине волны или волны-номер для конкретного образца» дает кривую , соответствующую «реальному поглощения определяется с помощью измерений передачи , за исключением смещения по оси ординат ". Однако в представленных данных «заметное отклонение функции ремиссии ... в области большого поглощения очевидно». Он перечислил различные причины, приводимые другими авторами для этой «неспособности ... оставаться в силе в сильно поглощающих материалах», в том числе: «неполная диффузия в процессе рассеяния»; отказ от использования "диффузного освещения;" увеличенная доля регулярного отражения "; но пришел к выводу, что" несмотря на вышеупомянутые трудности ... функция отражения должна быть линейной функцией концентрации на данной длине волны для постоянного размера частиц ", хотя заявляя, что «это обсуждение было полностью ограничено отражательной способностью однородных слоев порошка», хотя «системы уравнений для комбинации неоднородных слоев не могут быть решены для свойств рассеяния и поглощения даже в простом случае двойной комбинации подслоев. ... Это означает, что теория (Кубелки-Мунка) не может в явной форме включать какую-либо зависимость отражения от размера или формы частицы или показателя преломления ". ${\ textstyle F (R _ {\ infty}) = {\ frac {k} {s}}}$${\ textstyle \ журнал F (R _ {\ infty}) = \ журнал k- \ log s}$${\ textstyle F (R _ {\ infty})}$${\ textstyle - \ log s}$

Область ближней инфракрасной спектроскопии (NIR) началась в 1968 году, когда Карл Норрис и его сотрудники из Лаборатории инструментальных исследований Министерства сельского хозяйства США впервые применили эту технологию к сельскохозяйственной продукции. Министерство сельского хозяйства США обнаружило, как использовать ближний ИК-диапазон эмпирически, основываясь на доступных источниках, решетках и материалах детекторов. Даже диапазон длин волн NIR был установлен эмпирически на основе рабочего диапазона детектора PbS. Следовательно, она не рассматривалась как строгая наука: она не развивалась обычным путем, от исследовательских институтов до общего пользования. Несмотря на то, что теория Кубелки-Мунка предоставляет функцию отражения, которую можно было бы использовать в качестве показателя поглощения, Норрис выбрал для удобства. Он считал, что проблема нелинейности между показателем и концентрацией связана с размером частиц (теоретическая проблема) и рассеянным светом (инструментальный эффект). Качественно он объяснил различия в спектрах частиц разного размера изменением эффективной длины пути, по которому свет прошел через образец. ${\ textstyle \ log (1 / R _ {\ infty})}$

В 1976 году Хехт опубликовал исчерпывающую оценку различных теорий, которые считались довольно общими. В ней он представил свой вывод о разностной формуле Хехта , заменив основные дифференциальные уравнения теории Кубелки-Мунку конечных разностных уравнений, и получается: . Он отметил, что «хорошо известно, что график зависимости от линейности отклоняется от линейности для высоких значений , и кажется, что (это уравнение) может быть использовано для частичного объяснения отклонений», и «представляет собой улучшение диапазона достоверности и показывает необходимость учета дисперсной природы рассеивающих сред при разработке более точной теории, с помощью которой можно определить абсолютные коэффициенты поглощения ». ${\ textstyle F (R _ {\ infty}) = a {\ biggl (} {\ frac {1} {R}} - 1 {\ biggr)} - {\ frac {a ^ {2}} {2r}} }$${\ textstyle F (R _ {\ infty})}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

В 1982 году Джерри Бертис созвал совещание экспертов в нескольких областях, которые повлияли на спектроскопию ближнего ИК-диапазона, с упором на спектроскопию диффузного отражения, независимо от того, какая часть электромагнитного спектра могла бы использоваться. Это было началом Международной конференции по диффузному отражению. На этой встрече присутствовал Гарри Хехт, который, возможно, в то время был самым знающим человеком в мире в области теории диффузного отражения. Сам Джерри сделал много фотографий, иллюстрирующих различные аспекты диффузного отражения, многие из которых не могли быть объяснены с помощью лучших доступных теорий. В 1987 году Борт и Хехт написали совместную статью в новом справочнике, в которой указали направление для будущей теоретической работы.

В 1994 году Дональд и Кевин Дам начали использовать численные методы для расчета отражения и пропускания для образцов с различным количеством плоскопараллельных слоев на основе фракций поглощения и отражения для одного слоя. Используя этот полностью независимый подход, они нашли функцию, которая не зависела от количества слоев образца. Эта функция называется поглощение / функция ремиссии и ник название функция ART, определяются следующим образом: . Помимо показанных здесь соотношений, формулы, полученные для общего случая, полностью согласуются с формулами Стокса , уравнениями Бенфорда и формулой конечных разностей Хехта . Для частных случаев бесконечно малых или бесконечно разбавленных частиц он дает результаты, согласующиеся с уравнением Шустера для изотропного рассеяния и уравнением Кубелки – Мунка . Все эти уравнения относятся к плоскопараллельным слоям, использующим два световых потока. Эта совокупная математика была проверена на данных, собранных с использованием направленного излучения на пластиковые листы, системы, которая точно соответствует физической модели серии плоскопараллельных слоев, и было обнаружено, что она соответствует. Математика предоставила: 1) метод использования плоскопараллельной математики для разделения коэффициентов поглощения и отражения для образца; 2) функция поглощения / возврата, постоянная для всей толщины образца; и 3) уравнения, связывающие поглощение и светоотражение образца одной толщины с поглощением и отражением любой другой толщины. ${\ textstyle A (R, T) \ Equiv {\ frac {(1-R_ {n}) ^ {2} -T_ {n} ^ {2}} {R_ {n}}} = {\ frac {( 2-a-2r) a} {r}} = {\ frac {a (1 + tr)} {r}} = 2F (R _ {\ infty}) = {\ frac {2a_ {0}} {r_ { 0}}}}$

Математика плоскопараллельных слоев в абсорбционной спектроскопии

Используя упрощающие предположения, спектроскопические параметры (доли поглощения, отражения и пропускания) плоскопараллельного слоя могут быть построены на основе показателя преломления материала, составляющего слой, линейного коэффициента поглощения (поглощающей способности) материала и толщина слоя. Хотя могут быть сделаны и другие предположения, наиболее часто используются предположения о нормальном падении направленного луча света с одинаковым внутренним и внешним отражением от поверхности.

Определение долей A , R , T для поверхности

В частном случае, когда падающее излучение перпендикулярно поверхности и поглощением пренебрежимо мало, интенсивность отраженного и прошедшего лучей может быть вычислена по показателям преломления η ₁ и η ₂ двух сред, где r - доля отраженного падающего света, а t - доля прошедшего света:

${\ Displaystyle г = {\ гидроразрыва {(\ eta _ {2} - \ eta _ {1}) ^ {2}} {(\ eta _ {2} + \ eta _ {1}) ^ {2}} }}$, , С фракцией поглощенный принимается равным нулю ( = 0). ${\ displaystyle t = {\ frac {4 \ eta _ {1} \ eta _ {2}} {(\ eta _ {2} + \ eta _ {1}) ^ {2}}}}$${\ displaystyle a}$

Иллюстрация

Для луча света, движущегося в воздухе с примерным показателем преломления 1,0 и сталкивающегося с поверхностью материала с показателем преломления 1,5:

${\ Displaystyle г = {\ гидроразрыва {(\ eta _ {2} - \ eta _ {1}) ^ {2}} {(\ eta _ {2} + \ eta _ {1}) ^ {2}} } = {\ frac {0,5 ^ {2}} {2,5 ^ {2}}} = 0,04}$ , ${\ displaystyle t = {\ frac {4 \ eta _ {1} \ eta _ {2}} {(\ eta _ {2} + \ eta _ {1}) ^ {2}}} = {\ frac { (4) (1) (1.5)} {2.5 ^ {2}}} = 0,96}$

Определение долей A , R , T для листа

Существует упрощенный частный случай для спектроскопических параметров листа. Этот лист состоит из трех плоскопараллельных слоев (1: передняя поверхность, 2: внутренняя поверхность, 3: задняя поверхность), в которых обе поверхности имеют одинаковую долю отражения при освещении с любого направления, независимо от относительных показателей преломления двух сред на обе стороны поверхности. Для случая нулевого поглощения внутри, полное отражение и пропускание от слоя может быть определено из бесконечного ряда, где - отражение от поверхности: ${\ displaystyle r_ {0}}$

${\ Displaystyle А = 0, \ qquad}$ ${\ Displaystyle R = r_ {0} + (1-r_ {0}) ^ {2} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} r_ {0} ^ {(2n-1)}, \ qquad }$ ${\ displaystyle T = (1-r_ {0}) ^ {2} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} r_ {0} ^ {2n}.}$

Эти формулы могут быть изменены для учета абсорбции. В качестве альтернативы спектроскопические параметры листа (или плиты) могут быть построены на основе спектроскопических параметров отдельных частей, составляющих слой: поверхность, внутренняя часть, поверхность. Это можно сделать с помощью подхода, разработанного Kubelka для обработки неоднородных слоев . Используя пример из предыдущего раздела: { A ₁ = 0 , R ₁ = 0,04 , T ₁ = 0,96 } { A ₃ = 0 , R ₃ = 0,04 , T ₃ = 0,96 }.

Предположим, что внутренняя часть листа состоит из материала с коэффициентом неперовского поглощения k 0,5 см ^-1 , а толщина листа составляет 1 мм ( d = 1 мм ). В этом случае при однократном путешествии по внутренним территориям согласно закону Бугера-Ламберта , который согласно нашим предположениям дает и . Таким образом, { A ₂ = 0,05 , R ₂ = 0 , T ₂ = 0,95 }. ${\ textstyle Т = \ ехр (-kd)}$${\ textstyle T = \ exp (-0,5 \ {\ text {см}} ^ {- 1} \ cdot 0,1 \ {\ text {cm}}) = 0,95}$${\ textstyle A = 0,05}$

Тогда можно применить одно из уравнений Бенфорда. Если A _x , R _x и T _x известны для слоя x, а A _y, R _y и T _y известны для слоя y , доли ART для образца, состоящего из слоя x и слоя y, равны:

${\ displaystyle T_ {x + y} = {\ frac {T_ {x} T_ {y}} {1-R _ {(- x)} R_ {y}}}, \ qquad}$ ${\ Displaystyle R_ {x + y} = R_ {x} + {\ frac {T_ {x} ^ {2} R_ {y}} {1-R _ {(- x)} R_ {y}}}, \ qquad}$ ${\ displaystyle A_ {x + y} = 1-T_ {x + y} -R_ {x + y}}$

(Этот символ означает отражательную способность слоя, когда направление освещения антипараллельно направлению падающего луча. Разница в направлении важна при работе с неоднородными слоями . Это соображение было добавлено Полом Кубелкой в ​​1954 году. Он также указал, что пропускание не зависело от направления освещения, но поглощение и светоотражение - нет.)${\ Displaystyle R _ {(- х)}}$${\ displaystyle x}$

Иллюстрация

Шаг 1: Мы берем слой 1 как x, а слой 2 как y. По нашим предположениям в этом случае { }.${\ Displaystyle R_ {1} = R _ {(- 1)} = 0,04, R_ {2} = 0, T_ {1} = 0,96, T_ {2} = 0,95}$${\ displaystyle T_ {x + y} = {\ frac {T_ {x} T_ {y}} {1-R _ {(- x)} R_ {y}}} = {\ frac {(0,96) (0,95) } {1- (0,04) 0}} = 0,912 \ quad}$ ${\ Displaystyle R_ {x + y} = R_ {x} + {\ frac {T_ {x} ^ {2} R_ {y}} {1-R _ {(- x)} R_ {y}}} = 0,04 + {\ frac {(0,96 ^ {2}) 0} {1- (0,04) 0}} = 0,04 \ quad}$ ${\ Displaystyle R_ {y + x} = R_ {y} + {\ frac {T_ {y} ^ {2} R_ {x}} {1-R _ {(- y)} R_ {x}}} = 0 + {\ frac {(0,95 ^ {2}) (0,04)} {1-0 (0,04)}} = 0,0361}$

Шаг 2: Мы берем результат шага 1 как значение для нового x [x is old x + y; (-x) - это старый y + x], а значение для уровня 3 - как новое y.

${\ displaystyle T_ {x + y} = {\ frac {T_ {x} T_ {y}} {1-R _ {(- x)} R_ {y}}} = {\ frac {(0,912) (0,96) } {1- (0,0361) (0,04)}} = 0,877 = T_ {123}}$ ${\ displaystyle R_ {x + y} = R_ {x} + {\ frac {T_ {x} ^ {2} R_ {y}} {1-R _ {(- x)} R_ {y}}} = 0,04 + {\ frac {(0,912 ^ {2}) (0,04)} {1- (0,0361) (0,04)}} =. 0733 = R_ {123}}$

${\ displaystyle A_ {123} = 1-R_ {123} -T_ {123} = 1-0,877-0,073 = 0,05}$

Дам показал, что для этого особого случая общее количество света, поглощенного внутренней частью листа (с учетом отражения поверхности), такое же, как и количество света, поглощенное за один проход (независимо от отражения поверхности). Это подтверждают расчеты.

Десятичная оптическая плотность ( ) листа определяется по формуле : ${\ Displaystyle {\ mathsf {\ mathrm {A} b}} _ {10}}$${\ displaystyle {\ mathsf {\ mathrm {A} b}} _ {10} = - журнал (1-A_ {123}) = 0,0222}$

Определение долей A , R , T для n слоев

В Стоксе Формула может быть использована для вычисления фракций АРТ для любого числа слоев. Как вариант, они могут быть рассчитаны путем последовательного применения уравнения Бенфорда для «еще одного слоя».

Если A ₁ , R ₁ и T ₁ известны для репрезентативного слоя образца, а A _n , R _n и T _n известны для слоя, состоящего из n репрезентативных слоев, доли ART для слоя с толщиной n +1 это:

${\ displaystyle T_ {n + 1} = {\ frac {T_ {n} T_ {1}} {1-R_ {n} R_ {1}}}, \ qquad}$ ${\ Displaystyle R_ {n + 1} = R_ {n} + {\ frac {T_ {n} ^ {2} R_ {1}} {1-R_ {n} R_ {1}}}, \ qquad}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1} = 1-T_ {n + 1} -R_ {n + 1}}$

Иллюстрация

В приведенном выше примере { }. В таблице приведены результаты многократного применения вышеуказанных формул. ${\ displaystyle A_ {1} = 0,05, R_ {1} = 0,0733, T_ {1} = 0,877}$

п	А	р	Т
1	0,050	0,073	0,877
2	0,097	0,130	0,773
3	0,141	0,174	0,685
4	0,183	0,209	0,608
5	0,222	0,236	0,542
6	0,258	0,258	0,483
7	0,292	0,276	0,432
8	0,324	0,290	0,387
9	0,353	0,301	0,347
10	0,379	0,310	0,311
11	0,404	0,317	0,279
12	0,427	0,323	0,250
13	0,447	0,328	0,225
14	0,466	0,331	0,202
15	0,484	0,334	0,182
16	0,500	0,337	0,163

Поглощающая способность : поглощающая способность образца с поправкой на рассеяние

В однородной среде, такой как раствор, разброс отсутствует. В этом случае функция линейна как в зависимости от концентрации поглощающих частиц, так и от длины пути. Кроме того, вклад отдельных поглощающих частиц является аддитивным. Для образцов, которые рассеивают свет, поглощение определяется как «отрицательный логарифм единицы минус коэффициент поглощения (доля поглощения:), измеренный на однородном образце». Для декадно - шаговой абсорбции , это может быть символ , как: . Несмотря на то, что эта функция поглощения полезна для рассеивающих образцов, функция не имеет тех же желаемых характеристик, что и для нерассеивающих образцов. Однако существует свойство, называемое поглощающей способностью, которое можно оценить для этих образцов. Поглощающая способность материала одной единицы толщины, составляющего рассеивающий образец, такая же, как поглощающая способность материала такой же толщины в отсутствие рассеяния. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {10} = - log_ {10} (1- \ alpha)}$

Иллюстрация

Предположим, что у нас есть образец, состоящий из 14 листов, описанных выше, каждый из которых имеет оптическую плотность 0,0222. Если мы сможем оценить поглощающую способность (поглощающую способность образца той же толщины, но без разброса) образца, не зная, сколько листов находится в образце (как это было бы в общем случае), он имел бы желаемое свойство быть пропорциональным толщине. В этом случае мы знаем, что поглощающая способность (оптическая плотность с поправкой на рассеяние) должна быть: {14 x оптическая плотность одного листа} . Это значение, которое мы должны иметь для образца, если поглощение должно соответствовать закону Бугера (часто называемому законом Бера). ${\ displaystyle = (14) (0,0222) = 0,312}$

В таблице ниже мы видим, что образец имеет значения A, R, T для случая 14 листов в таблице выше. Из - за наличия разброса, измеренное поглощение пробы будет: . Затем мы рассчитываем это для половины толщины образца, используя другое уравнение Бенфорда. Если A _d , R _d и T _d известны для слоя толщиной d , доли ART для слоя толщиной d / 2 будут: ${\ displaystyle {\ mathsf {\ mathrm {A} b}} _ {10} = - журнал (1-A_ {S}) = - журнал (0,466) = 0,2728}$

${\ displaystyle R_ {d / 2} = {\ frac {R_ {d}} {1 + T_ {d}}}, \ qquad}$ ${\ displaystyle T_ {d / 2} = {\ sqrt {T_ {d} (1-R_ {d / 2} ^ {2})}}, \ qquad}$ ${\ displaystyle A_ {d / 2} = 1-T_ {d / 2} -R_ {d / 2},}$

В строке для половины выборки [S / 2] мы видим значения, которые такие же, как и для 7 слоев в таблице выше, как и ожидалось. Обратите внимание на это . Мы хотим, чтобы поглощение было линейным с толщиной образца, но мы обнаруживаем, что, умножая это значение на 2, мы получаем , что является значительным отклонением от предыдущей оценки поглощающей способности. ${\ displaystyle -log (1-A_ {S / 2}) = - журнал (1-0,292) = 0,150}$${\ displaystyle (2) (0,150) = 0,300}$

Следующая итерация формулы производит оценку A, R, T для образца четверти: . Обратите внимание, что на этот раз расчет соответствует трем с половиной слоям, толщина образца которых не может существовать физически. ${\ displaystyle -log (1-0,162) \ times 4 = 0,307}$

Продолжая последовательно увеличивать степень двойки, мы видим монотонно возрастающую оценку. В конце концов числа начнут прыгать с ошибкой округления, но можно остановиться, получив постоянное значение до указанного количества значащих цифр. В этом случае мы становимся постоянными до 4 значащих цифр при 0,3105, что является нашей оценкой поглощающей способности образца. Это соответствует нашему целевому значению 0,312, определенному выше.

	А	р	Т	Впитывающий Оценка мощности
S	0,466	0,331	0,202	0,273
S / 2	0,292	0,276	0,432	0,300
S / 4	0,162	0,192	0,645	0,307
S / 8	0,085	0,117	0,798	0,3099
S / 16	0,044	0,0651	0,891	0,3104
S / 32	0,022	0,0344	0,943	0,3105
S / 64	0,011	0,0177	0,971	0,3105

Представление смесей твердых частиц в виде слоев

Если кто-то хочет использовать теорию, основанную на плоскопараллельных слоях, оптимально образцы можно описать как слои. Но образец твердых частиц часто выглядит как беспорядочный лабиринт частиц различных размеров и форм, не демонстрирующий какого-либо структурированного рисунка и, конечно же, не разделенный буквально на отдельные идентичные слои. Даже в этом случае принцип теории репрезентативных слоев состоит в том, что для спектроскопических целей мы можем рассматривать сложный образец, как если бы он был серией слоев, каждый из которых является репрезентативным для образца в целом.

Определение репрезентативного слоя

Чтобы быть репрезентативным, слой должен соответствовать следующим критериям:

• Объемная доля каждого типа частиц в репрезентативном слое такая же, как и в образце в целом.

• Доля площади поверхности каждого типа частиц в репрезентативном слое такая же, как и в образце в целом.

• Пустотная доля репрезентативного слоя такая же, как и в образце.

• Толщина типичного слоя не превышает одной частицы. Обратите внимание, это означает, что «толщина» репрезентативного слоя неоднородна. Этот критерий введен для того, чтобы мы могли предположить, что данный фотон света имеет только одно взаимодействие со слоем. Он может передаваться, передаваться или поглощаться в результате этого взаимодействия, но предполагается, что он не взаимодействует со второй частицей в том же слое.

В приведенном выше обсуждении, когда мы говорим о «типе» частицы, мы должны четко различать частицы разного состава. Кроме того, однако, мы должны различать частицы разных размеров. Напомним, что рассеяние рассматривается как поверхностное явление, а поглощение рассматривается как происходящее на молекулярном уровне по всей частице. Следовательно, мы ожидаем, что вклад «типа» частицы в поглощение будет пропорционален объемной доле этой частицы в образце, а вклад «типа» частицы в рассеяние будет пропорционален площади поверхности. доля этой частицы в образце. Вот почему приведенные выше критерии «репрезентативного слоя» включают как объемную долю, так и долю площади поверхности. Поскольку мелкие частицы имеют большее отношение площади поверхности к объему, чем большие частицы, необходимо различать их.

Определение спектроскопических свойств репрезентативного слоя

В соответствии с этими критериями мы можем предложить модель для долей падающего света, которые поглощаются ( ), передаются ( ) и передаются ( ) одним репрезентативным слоем. ${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle T_ {1}}$

${\ Displaystyle A_ {1} = \ сумма S_ {j} (1-ехр (-k_ {j} d_ {j}))}$, , ${\ Displaystyle R_ {1} = \ сумма S_ {j} b_ {j} d_ {j}}$${\ displaystyle T_ {1} = 1-R_ {1} -T_ {1}}$

в котором:

• - доля площади поперечного сечения, занимаемая частицами определенного типа . ${\ displaystyle S_ {j}}$${\ displaystyle j}$

• - эффективный коэффициент поглощения для частиц данного типа . ${\ displaystyle K_ {j}}$${\ displaystyle j}$

• - коэффициент отражения для частиц типа . ${\ displaystyle b_ {j}}$${\ displaystyle j}$

• - толщина частицы данного типа в направлении падающего луча. ${\ displaystyle d_ {j}}$${\ displaystyle j}$

• Суммирование проводится по всем отдельным «типам» частиц.

Фактически, представляет собой долю света, которая будет взаимодействовать с частицей определенного типа , и количественно определяет вероятность этого взаимодействия, приводящего к поглощению и отражению, соответственно. ${\ displaystyle S_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle K_ {j}}$${\ displaystyle b_ {j}}$

Доли площади поверхности и объемные доли для каждого типа частиц можно определить следующим образом:

${\ displaystyle v_ {i} = {\ frac {\ frac {w_ {i}} {\ rho _ {i}}} {\ sum {\ frac {w_ {j}} {\ rho _ {j}}} }}}$ , , , ${\ displaystyle s_ {i} = {\ frac {\ frac {w_ {i}} {\ rho _ {i} d_ {i}}} {\ sum {\ frac {w_ {j}} {\ rho _ { j} d_ {j}}}}}}$${\ displaystyle V_ {i} = (1-v_ {0}) v_ {i}}$${\ displaystyle S_ {i} = (1-v_ {0}) s_ {i}}$

в котором:

• - массовая доля частиц i-го типа в образце. ${\ displaystyle w_ {i}}$

• - доля занятого объема, состоящая из частиц типа i. ${\ displaystyle v_ {i}}$

• - доля площади поверхности частицы, состоящая из частиц типа i. ${\ displaystyle s_ {i}}$

• - доля общего объема, состоящая из частиц типа i. ${\ displaystyle V_ {i}}$

• - доля площади поперечного сечения, состоящая из частиц типа i. ${\ displaystyle S_ {i}}$

• - плотность частиц i-го типа. ${\ displaystyle \ rho _ {я}}$

• - объемная доля образца. ${\ displaystyle v_ {0}}$

Это логический способ связать спектроскопическое поведение «репрезентативного слоя» со свойствами отдельных частиц, составляющих этот слой. Значения коэффициентов поглощения и отражения представляют собой проблему при таком подходе к моделированию. Поглощение рассчитывается на основе доли света, падающего на частицы каждого типа, и расчета поглощения каждым типом частиц по закону Бера, поэтому используемые значения в идеале должны моделировать способность частицы поглощать свет, независимо от другие процессы (рассеяние, ремиссия), которые также происходят. В предыдущем разделе мы называли это поглощающей способностью. ${\ displaystyle K_ {i}}$

Список используемых основных символов

Если данная буква используется как в заглавной, так и в строчной форме ( r , R и t , T ), заглавная буква относится к макроскопической наблюдаемой, а строчная буква - к соответствующей переменной для отдельной частицы или слоя материала. Греческие символы используются для обозначения свойств отдельной частицы.

• ${\ displaystyle a}$ - доля поглощения одного слоя
• ${\ displaystyle r}$ - фракция ремиссии одного слоя
• ${\ displaystyle t}$ - доля пропускания одного слоя
• A _n , R _n , T _n - доли поглощения, отражения и пропускания для образца, состоящего из n слоев.
• α - доля поглощения частицы
• β - обратное рассеяние от частицы
• σ - изотропное рассеяние на частице
• ${\ displaystyle k}$- коэффициент поглощения, определяемый как доля падающего света, поглощаемого очень тонким слоем, деленная на толщину этого слоя
• ${\ displaystyle s}$ - коэффициент рассеяния, определяемый как доля падающего света, рассеянного очень тонким слоем, деленная на толщину этого слоя

использованная литература