Квантовая суперпозиция - Quantum superposition

Часть цикла статей о
Квантовая механика
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Комплементарность Декогеренция Запутанность Уровень энергии Измерение Нелокальность Квантовое число Состояние Суперпозиция Симметрия Туннелирование Неопределенность Волновая функция Крах
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик Отложенный выбор Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Кляйн – Гордон Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Местный Множественные миры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая информатика Квантовые вычисления Квантовый хаос Матрица плотности Теория рассеяния Квантовая статистическая механика Квантовое машинное обучение
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Родился Bose де Бройль Candlin Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер
v т е

Квантовая суперпозиция - фундаментальный принцип квантовой механики . Он утверждает, что, подобно волнам в классической физике , любые два (или более) квантовых состояния могут быть сложены вместе («наложены друг на друга»), и результатом будет другое допустимое квантовое состояние; и наоборот, каждое квантовое состояние может быть представлено как сумма двух или более других различных состояний. Математически это относится к свойству решений в уравнение Шредингера ; поскольку уравнение Шредингера линейно , любая линейная комбинация решений также будет решением.

Примером физически наблюдаемого проявления волновой природы квантовых систем являются интерференционные пики от электронного пучка в эксперименте с двумя щелями . Картина очень похожа на картину, полученную при дифракции классических волн.

Другой пример - квантовое логическое состояние кубита , используемое в квантовой обработке информации , которое представляет собой квантовую суперпозицию «базовых состояний» и . Вот это обозначение Дирака для квантового состояния , которое всегда будет давать результат-при преобразовании в классическую логику с помощью измерения. Точно так же состояние, которое всегда будет преобразовываться в 1. В отличие от классического бита, который может находиться только в состоянии, соответствующем 0, или состоянии, соответствующем 1, кубит может находиться в суперпозиции обоих состояний. Это означает, что вероятность измерения 0 или 1 для кубита, как правило, не равна ни 0,0, ни 1,0, и несколько измерений, выполненных на кубитах в идентичных состояниях, не всегда будут давать одинаковый результат. ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

Концепция

Принцип квантовой суперпозиции гласит, что если физическая система может находиться в одной из многих конфигураций - расположения частиц или полей - то наиболее общее состояние представляет собой комбинацию всех этих возможностей, где количество в каждой конфигурации определяется сложным номер .

Например, если есть две конфигурации, помеченные цифрами 0 и 1, наиболее общим состоянием будет

${\ displaystyle c_ {0} {\ mid} 0 \ rangle + c_ {1} {\ mid} 1 \ rangle}$

где коэффициенты - это комплексные числа, описывающие, сколько уходит в каждую конфигурацию.

Принцип был описан Полем Дираком следующим образом:

Общий принцип суперпозиции квантовой механики применим к состояниям [которые теоретически возможны без взаимного вмешательства или противоречия] ... любой одной динамической системы. Это требует, чтобы мы предположили, что между этими состояниями существуют особые отношения, такие, что всякий раз, когда система определенно находится в одном состоянии, мы можем рассматривать ее как частично находящуюся в каждом из двух или более других состояний. Исходное состояние следует рассматривать как результат своего рода суперпозиции двух или более новых состояний, что невозможно представить на основе классических идей. Любое состояние можно рассматривать как результат суперпозиции двух или более других состояний, причем бесконечным числом способов. И наоборот, любые два или более состояний могут быть наложены друг на друга, чтобы дать новое состояние ...

Неклассический характер процесса суперпозиции становится ясным, если мы рассмотрим суперпозицию двух состояний, A и B , так что существует наблюдение, которое, когда оно сделано для системы в состоянии A , обязательно приведет к одному конкретному результат, скажем, и когда сделано в системе в государственном B , несомненно, приведет к некоторому другому результату, б сказать. Каков будет результат наблюдения, когда он будет выполнен в системе в наложенном состоянии? Ответ состоит в том, что результат будет иногда a, а иногда b , согласно закону вероятности, зависящему от относительных весов A и B в процессе суперпозиции. Он никогда не будет отличаться как от a, так и от b [то есть от a или b ]. Промежуточный характер состояния, образованного суперпозицией, таким образом, выражается через вероятность того, что конкретный результат для наблюдения будет промежуточным между соответствующими вероятностями для исходных состояний, а не через сам результат, являющийся промежуточным между соответствующими результатами для исходных состояний.

Антон Цайлингер , ссылаясь на прототипный пример эксперимента с двумя щелями , подробно остановился на создании и разрушении квантовой суперпозиции:

«[Эта] суперпозиция амплитуд ... действительна только в том случае, если нет способа узнать, даже в принципе, какой путь выбрала частица. Важно понимать, что это не означает, что наблюдатель действительно принимает к сведению то, что Достаточно разрушить интерференционную картину, если информация о пути в принципе доступна из эксперимента или даже если она рассредоточена в окружающей среде и вне всякой технической возможности быть восстановленной, но в принципе все еще «где-то там». «Отсутствие такой информации является важным критерием появления квантовой интерференции.

Теория

Примеры

Для уравнения, описывающего физическое явление, принцип суперпозиции гласит, что комбинация решений линейного уравнения также является его решением. Когда это так, говорят, что уравнение подчиняется принципу суперпозиции. Таким образом, если каждый вектор состояния f ₁ , f ₂ и f ₃ решает линейное уравнение относительно ψ, то ψ = c ₁  f ₁ + c ₂  f ₂ + c ₃  f ₃ также будет решением, в котором каждый c является коэффициент. Уравнение Шредингера линейно, поэтому квантовая механика следует ему.

Например, рассмотрим электрон с двумя возможными конфигурациями: вверх и вниз. Это описывает физическую систему кубита .

${\ displaystyle c_ {1} {\ mid} {\ uparrow} \ rangle + c_ {2} {\ mid} {\ downarrow} \ rangle}$

это самое общее состояние. Но эти коэффициенты определяют вероятность того, что система будет находиться в любой конфигурации. Вероятность для указанной конфигурации дается квадратом абсолютного значения коэффициента. Таким образом, вероятности должны быть в сумме 1. Электрон точно находится в одном из этих двух состояний.

${\ displaystyle p _ {\ text {up}} = {\ mid} c_ {1} {\ mid} ^ {2}}$

${\ displaystyle p _ {\ text {down}} = {\ mid} c_ {2} \ mid ^ {2}}$

${\ displaystyle p _ {\ text {вверх или вниз}} = p _ {\ text {up}} + p _ {\ text {down}} = 1}$

Продолжая этот пример: если частица может находиться в состоянии «вверх» и «вниз», она также может находиться в состоянии, в котором она составляет 3 i / 5 вверх и 4/5 вниз.

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = {3 \ over 5} i {\ mid} {\ uparrow} \ rangle + {4 \ over 5} {\ mid} {\ downarrow} \ rangle.}$

В этом случае вероятность наверх равна . Вероятность падения составляет . Обратите внимание на это . ${\ displaystyle \ left | {\ frac {3i} {5}} \ right | ^ {2} = {\ frac {9} {25}}}$${\ displaystyle \ left | {\ frac {4} {5}} \ right | ^ {2} = {\ frac {16} {25}}}$${\ displaystyle {\ frac {9} {25}} + {\ frac {16} {25}} = 1}$

В описании имеют значение только относительный размер различных компонентов и их угол относительно друг друга на комплексной плоскости. Обычно об этом заявляют, объявляя, что два состояния, которые являются кратными одно другому, идентичны в том, что касается описания ситуации. Любой из них описывает одно и то же состояние для любого ненулевого${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ приблизительно \ альфа | \ psi \ rangle}$

Фундаментальный закон квантовой механики состоит в том, что эволюция является линейной , что означает, что если состояние A превращается в A ', а B превращается в B' через 10 секунд, то через 10 секунд суперпозиция превращается в смесь A 'и B' с те же коэффициенты, что и у A и B. ${\ displaystyle \ psi}$

Например, если у нас есть следующие

${\ displaystyle {\ mid} {\ uparrow} \ rangle \ to {\ mid} {\ downarrow} \ rangle}$

${\ displaystyle {\ mid} {\ downarrow} \ rangle \ to {\ frac {3i} {5}} {\ mid} {\ uparrow} \ rangle + {\ frac {4} {5}} {\ mid} {\ downarrow} \ rangle}$

Затем через эти 10 секунд наше состояние изменится на

${\ displaystyle c_ {1} {\ mid} {\ uparrow} \ rangle + c_ {2} {\ mid} {\ downarrow} \ rangle \ to c_ {1} \ left ({\ mid} {\ downarrow} \ rangle \ right) + c_ {2} \ left ({\ frac {3i} {5}} {\ mid} {\ uparrow} \ rangle + {\ frac {4} {5}} {\ mid} {\ downarrow } \ rangle \ right)}$

Пока было всего 2 конфигурации, но их может быть бесконечно много.

На иллюстрации частица может иметь любое положение, поэтому существуют различные конфигурации, которые имеют любое значение положения  x . Они написаны:

${\ Displaystyle | х \ rangle}$

Принцип суперпозиции гарантирует, что существуют состояния, которые являются произвольными суперпозициями всех позиций с комплексными коэффициентами:

${\ displaystyle \ sum _ {x} \ psi (x) | x \ rangle}$

Эта сумма определяется только в том случае, если индекс  x дискретен. Если индекс закончился , то сумма заменяется интегралом. Величина называется волновой функцией частицы. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ psi (х)}$

Если мы рассмотрим кубит и с положением, и со спином, состояние представляет собой суперпозицию всех возможностей для обоих:

${\ displaystyle \ sum _ {x} \ psi _ {+} (x) | x, {\ uparrow} \ rangle + \ psi _ {-} (x) | x, {\ downarrow} \ rangle \,}$

Конфигурационное пространство квантово-механической системы невозможно разработать без определенных физических знаний. В качестве входных данных обычно используются различные классические конфигурации, но без дублирования, включающего как позицию, так и импульс.

Пара частиц может находиться в любой комбинации пар позиций. Записывается состояние, когда одна частица находится в позиции x, а другая - в позиции y . Самое общее состояние - это суперпозиция возможностей: ${\ Displaystyle | х, у \ rangle}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {ху} А (х, у) | х, у \ рангл \,}$

Описание двух частиц намного шире, чем описание одной частицы - это функция в удвоенном количестве измерений. Это также верно в отношении вероятности, когда статистика двух случайных величин коррелирована . Если две частицы не коррелированы, распределение вероятностей для их совместного положения P ( x ,  y ) является произведением вероятности нахождения одной в одной позиции и другой в другой позиции:

${\ Displaystyle Р (х, у) = Р_ {х} (х) Р_ {у} (у) \,}$

Это означает, что волновую функцию системы можно представить как произведение волновых функций и ее частей: ${\ Displaystyle А (х, у)}$${\ Displaystyle \ psi _ {х} (х)}$${\ displaystyle \ psi _ {y} (y)}$

${\ Displaystyle A (x, y) = \ psi _ {x} (x) \ psi _ {y} (y) \,}$.

В 1927 году Гейтлер и Лондон попытались количественно механически рассчитать основное стационарное состояние молекулы H ₂ . Расчеты основывались на квантовой суперпозиции двух атомов водорода, составляющих систему - молекулы H ₂ . Успех этой попытки стал основой для всего дальнейшего развития ковалентной связи .

Аналогия с вероятностью

В теории вероятностей есть похожий принцип. Если система имеет вероятностное описание, это описание дает вероятность любой конфигурации, и для любых двух различных конфигураций существует состояние, которое частично является этим, а частично тем, с положительными коэффициентами действительного числа, вероятностями, которые говорят, сколько из каждый есть.

Например, если у нас есть распределение вероятности того, где находится частица, оно описывается "состоянием"

${\ Displaystyle \ сумма _ {х} \ ро (х) | х \ rangle}$

Где - функция плотности вероятности , положительное число, которое измеряет вероятность того, что частица будет найдена в определенном месте. ${\ displaystyle \ rho}$

Уравнение эволюции также линейно по вероятности по фундаментальным причинам. Если частица имеет некоторую вероятность перехода из позиции x в y и из z в y , вероятность перехода в y, начиная с состояния, равного половине x и половине z, представляет собой смесь половинной вероятности перехода к y из каждого из вариантов. Это принцип линейной суперпозиции по вероятности.

Квантовая механика отличается, потому что числа могут быть положительными или отрицательными. Хотя сложный характер чисел - это просто удвоение, если рассматривать действительную и мнимую части по отдельности, важен знак коэффициентов. По вероятности, два различных возможных исхода всегда складываются вместе, так что, если есть больше возможностей добраться до точки z , вероятность всегда возрастает. В квантовой механике разные возможности могут сокращаться.

В теории вероятностей с конечным числом состояний вероятности всегда можно умножить на положительное число, чтобы их сумма стала равной единице. Например, если существует система вероятностей с тремя состояниями:

${\ Displaystyle х | 1 \ rangle + y | 2 \ rangle + z | 3 \ rangle \,}$

где вероятности - положительные числа. Изменение масштаба x , y , z так, чтобы ${\ displaystyle x, y, z}$

${\ Displaystyle х + Y + Z = 1 \,}$

Геометрия пространства состояний оказывается треугольником. В общем, это симплекс . В треугольнике или симплексе есть особые точки, соответствующие углам, и это те точки, в которых одна из вероятностей равна 1, а другие равны нулю. Это уникальные места, где положение известно с уверенностью.

В квантово-механической системе с тремя состояниями квантово-механическая волновая функция снова представляет собой суперпозицию состояний, но на этот раз в два раза больше величин без ограничения на знак:

${\ displaystyle A | 1 \ rangle + B | 2 \ rangle + C | 3 \ rangle = (A_ {r} + iA_ {i}) | 1 \ rangle + (B_ {r} + iB_ {i}) | 2 \ rangle + (C_ {r} + iC_ {i}) | 3 \ rangle \,}$

изменяя масштаб переменных так, чтобы сумма квадратов была 1, выясняется, что геометрия пространства представляет собой многомерную сферу

${\ displaystyle A_ {r} ^ {2} + A_ {i} ^ {2} + B_ {r} ^ {2} + B_ {i} ^ {2} + C_ {r} ^ {2} + C_ { я} ^ {2} = 1 \,}$.

Сфера обладает большой симметрией, ее можно рассматривать в разных системах координат или базисах . Итак, в отличие от теории вероятностей, квантовая теория имеет большое количество различных основ, в которых она может быть одинаково хорошо описана. Геометрию фазового пространства можно рассматривать как намек на то, что величина в квантовой механике, которая соответствует вероятности, является абсолютным квадратом коэффициента суперпозиции.

Гамильтонова эволюция

Числа, описывающие амплитуды для различных возможностей, определяют кинематику , пространство различных состояний. Динамика описывает, как эти числа меняются со временем. Для частицы, которая может находиться в любом из бесконечного множества дискретных положений, частицы на решетке, принцип суперпозиции говорит вам, как создать состояние:

${\ displaystyle \ sum _ {n} \ psi _ {n} | п \ rangle \,}$

Так что бесконечный список амплитуд полностью описывает квантовое состояние частицы. Этот список называется вектором состояния , и формально это элемент гильбертова пространства , бесконечномерного комплексного векторного пространства . Обычно состояние представляют так, что сумма абсолютных квадратов амплитуд равна единице: ${\ textstyle (\ ldots, \ psi _ {- 2}, \ psi _ {- 1}, \ psi _ {0}, \ psi _ {1}, \ psi _ {2}, \ ldots)}$

${\ displaystyle \ sum \ psi _ {n} ^ {*} \ psi _ {n} = 1}$

Для частицы, описываемой теорией вероятностей случайным ходом по линии, аналогичным является список вероятностей , который дает вероятность любого положения. Величины, которые описывают, как они меняются во времени, представляют собой вероятности перехода , что дает вероятность того, что, начиная с x, частица закончится в y момент времени t позже. Полная вероятность оказаться в y определяется суммой всех возможностей. ${\ textstyle (\ ldots, P _ {- 2}, P _ {- 1}, P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}, \ ldots)}$${\ displaystyle \ scriptstyle K_ {x \ rightarrow y} (t)}$

${\ Displaystyle P_ {y} (t_ {0} + t) = \ sum _ {x} P_ {x} (t_ {0}) K_ {x \ rightarrow y} (t) \,}$

Условие сохранения вероятности гласит, что, начиная с любого x, общая вероятность где-то закончиться должна составлять 1:

${\ displaystyle \ sum _ {y} K_ {x \ rightarrow y} = 1 \,}$

Чтобы общая вероятность сохранялась, K - это то, что называется стохастической матрицей .

Когда время не проходит, ничего не меняется: для прошедшего времени 0 матрица K равна нулю, за исключением перехода от состояния к самому себе. Так что в случае, если времени мало, лучше говорить о скорости изменения вероятности, а не об абсолютном изменении вероятности. ${\ displaystyle \ scriptstyle K {x \ rightarrow y} (0) = \ delta _ {xy}}$

${\ Displaystyle P_ {y} (t + dt) = P_ {y} (t) + dt \, \ sum _ {x} P_ {x} R_ {x \ rightarrow y} \,}$

где - производная по времени матрицы K: ${\ displaystyle \ scriptstyle R_ {x \ rightarrow y}}$

${\ displaystyle R_ {x \ rightarrow y} = {K_ {x \ rightarrow y} \, dt- \ delta _ {xy} \ over dt}. \,}$

Уравнение вероятностей - это дифференциальное уравнение, которое иногда называют основным уравнением :

${\ displaystyle {dP_ {y} \ over dt} = \ sum _ {x} P_ {x} R_ {x \ rightarrow y} \,}$

Матрица R - это вероятность перехода частицы из x в y в единицу времени. Условие, что сумма K матричных элементов равна единице, становится условием, что матричные элементы R складываются до нуля:

${\ displaystyle \ sum _ {y} R_ {x \ rightarrow y} = 0 \,}$

Один простой случай для изучения - это когда матрица R с равной вероятностью переместится на одну единицу влево или вправо, описывая частицу, которая имеет постоянную скорость случайного блуждания. В этом случае равно нулю, если y не равно x  + 1, x или x  - 1, когда y равно x  + 1 или x  - 1, матрица R имеет значение c , и для того, чтобы сумма коэффициентов матрицы R равнялась равно нулю, значение должно быть −2 c . Таким образом, вероятности подчиняются дискретизированному уравнению диффузии : ${\ displaystyle \ scriptstyle R_ {x \ rightarrow y}}$${\ displaystyle R_ {x \ rightarrow x}}$

${\ Displaystyle {dP_ {x} \ over dt} = c (P_ {x + 1} -2P_ {x} + P_ {x-1}) \,}$

который, когда c масштабируется соответствующим образом и распределение P достаточно гладкое, чтобы думать о системе в континуальном пределе, становится:

${\ Displaystyle {\ partial P (x, t) \ over \ partial t} = c {\ partial ^ {2} P \ over \ partial x ^ {2}} \,}$

Это уравнение диффузии .

Квантовые амплитуды дают скорость, с которой амплитуды меняются во времени, и они математически точно такие же, за исключением того, что они являются комплексными числами. Аналог конечного времени K-матрицы называется U-матрицей:

${\ displaystyle \ psi _ {n} (t) = \ sum _ {m} U_ {nm} (t) \ psi _ {m} \,}$

Поскольку сумма абсолютных квадратов амплитуд должна быть постоянной, она должна быть унитарной : ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ sum _ {n} U_ {nm} ^ {*} U_ {np} = \ delta _ {mp} \,}$

или, в матричной записи,

${\ Displaystyle U ^ {\ dagger} U = I \,}$

Скорость изменения U называется гамильтонианом H с точностью до традиционного множителя i :

${\ Displaystyle H_ {mn} = я {d \ over dt} U_ {mn}}$

Гамильтониан дает скорость, с которой частица имеет амплитуду, чтобы перейти от m к n. Причина, по которой он умножается на i, заключается в том, что условие унитарности U переводится в условие:

${\ displaystyle (I + iH ^ {\ dagger} \, dt) (I-iH \, dt) = I}$

${\ displaystyle H ^ {\ dagger} -H = 0 \,}$

что говорит, что H эрмитово . Собственные значения эрмитовой матрицы H являются действительными величинами, которые имеют физическую интерпретацию как уровни энергии. Если бы фактор i отсутствовал, матрица H была бы антиэрмитовой и имела бы чисто мнимые собственные значения, что не является традиционным способом представления наблюдаемых величин, таких как энергия, в квантовой механике.

Для частицы, которая имеет одинаковую амплитуду для движения влево и вправо, эрмитова матрица H равна нулю, за исключением ближайших соседей, где она имеет значение c . Если коэффициент везде постоянен, условие, что H является эрмитовым, требует, чтобы амплитуда для перемещения влево была комплексно сопряженной амплитуды для перемещения вправо. Уравнение движения для представляет собой дифференциальное уравнение по времени: ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle i {d \ psi _ {n} \ over dt} = c ^ {*} \ psi _ {n + 1} + c \ psi _ {n-1}}$

В случае, когда левый и правый симметричны, c действительно. Переопределяя фазу волновой функции во времени, амплитуды для нахождения в разных местах только масштабируются, так что физическая ситуация остается неизменной. Но это чередование фаз вводит линейный член. ${\ Displaystyle \ psi \ rightarrow \ psi e ^ {i2ct}}$

${\ displaystyle i {d \ psi _ {n} \ over dt} = c \ psi _ {n + 1} -2c \ psi _ {n} + c \ psi _ {n-1},}$

что является правильным выбором фазы для перехода к непрерывному пределу. Когда оно очень велико и медленно изменяется, так что решетку можно представить как линию, это становится свободным уравнением Шредингера : ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle i {\ partial \ psi \ over \ partial t} = - {\ partial ^ {2} \ psi \ over \ partial x ^ {2}}}$

Если в матрице H есть дополнительный член, который представляет собой дополнительное вращение фазы, которое изменяется от точки к точке, континуальный предел представляет собой уравнение Шредингера с потенциальной энергией:

${\ Displaystyle я {\ partial \ psi \ over \ partial t} = - {\ partial ^ {2} \ psi \ over \ partial x ^ {2}} + V (x) \ psi}$

Эти уравнения описывают движение отдельной частицы в нерелятивистской квантовой механике.

Квантовая механика в мнимом времени

Аналогия между квантовой механикой и вероятностью очень сильна, так что между ними существует множество математических связей. В статистической системе с дискретным временем, t = 1,2,3, описываемой матрицей переходов для одного временного шага , вероятность перехода между двумя точками после конечного числа временных шагов может быть представлена ​​как сумма по всем путям вероятность выбора каждого пути: ${\ Displaystyle \ scriptstyle K_ {м \ rightarrow п}}$

${\ Displaystyle K_ {x \ rightarrow y} (T) = \ sum _ {x (t)} \ prod _ {t} K_ {x (t) x (t + 1)} \,}$

где сумма распространяется на все пути со свойством, что и . Аналогичным выражением в квантовой механике является интеграл по путям . ${\ Displaystyle х (т)}$${\ Displaystyle х (0) = 0}$${\ Displaystyle х (Т) = у}$

Общая матрица переходов по вероятности имеет стационарное распределение, которое представляет собой конечную вероятность обнаружения в любой точке независимо от начальной точки. Если существует ненулевая вероятность того, что любые два пути достигнут одной и той же точки в одно и то же время, это стационарное распределение не зависит от начальных условий. В теории вероятностей вероятность m для стохастической матрицы подчиняется подробному балансу, когда стационарное распределение обладает свойством: ${\ displaystyle \ rho _ {n}}$

${\ Displaystyle \ rho _ {n} K_ {n \ rightarrow m} = \ rho _ {m} K_ {m \ rightarrow n} \,}$

Подробный баланс говорит о том, что общая вероятность перехода от m к n в стационарном распределении, которая представляет собой вероятность начала в m, умноженную на вероятность перехода от m к n, равна вероятности перехода от n к m, так что полный возвратно-поступательный поток вероятности в равновесии равен нулю на любом участке. Условие автоматически выполняется, когда n = m, поэтому оно имеет ту же форму, когда записывается как условие для матрицы R вероятности перехода. ${\ displaystyle \ rho _ {m}}$

${\ Displaystyle \ rho _ {n} R_ {n \ rightarrow m} = \ rho _ {m} R_ {m \ rightarrow n} \,}$

Когда матрица R подчиняется подробному балансу, шкалу вероятностей можно переопределить, используя стационарное распределение, чтобы они больше не равнялись единице:

${\ displaystyle p '_ {n} = {\ sqrt {\ rho _ {n}}} \; p_ {n} \,}$

В новых координатах матрица R масштабируется следующим образом:

${\ displaystyle {\ sqrt {\ rho _ {n}}} R_ {n \ rightarrow m} {1 \ over {\ sqrt {\ rho _ {m}}}} = H_ {nm} \,}$

и H симметрична

${\ Displaystyle H_ {нм} = H_ {mn} \,}$

Эта матрица H определяет квантово-механическую систему:

${\ displaystyle i {d \ over dt} \ psi _ {n} = \ sum H_ {nm} \ psi _ {m} \,}$

чей гамильтониан имеет те же собственные значения, что и у матрицы R статистической системы. Собственные векторы тоже такие же, за исключением выраженных в масштабированном базисе. Стационарное распределение статистической системы является основным состоянием гамильтониана, и его энергия равна нулю, в то время как все остальные энергии положительны. Если возвести H в степень, чтобы найти матрицу U:

${\ Displaystyle U (т) = е ^ {- iHt} \,}$

и t может принимать комплексные значения, матрица K 'находится за мнимое время .

${\ Displaystyle К '(т) = е ^ {- Ht} \,}$

Для квантовых систем, которые инвариантны относительно обращения времени, гамильтониан можно сделать реальным и симметричным, так что действие обращения времени на волновую функцию является просто комплексным сопряжением. Если такой гамильтониан имеет уникальное состояние с наименьшей энергией с положительной реальной волновой функцией, как это часто бывает по физическим причинам, он связан со стохастической системой в мнимом времени. Эта связь между стохастическими системами и квантовыми системами проливает свет на суперсимметрию .

Эксперименты и приложения

Проведены успешные эксперименты с суперпозициями относительно больших (по меркам квантовой физики) объектов.

• « Состояние кошки » было достигнуто с помощью фотонов .
• Бериллий ион был в ловушке в совмещенном состоянии.
• Опыт Юнга была выполнена с молекулами , как большой , как бакиболлс .
• В эксперименте 2013 года были наложены друг на друга молекулы, содержащие по 15 000 протонов, нейтронов и электронов. Молекулы были составлены из соединений, выбранных по их хорошей термической стабильности, и были испарены в пучок при температуре 600 К. Пучок был приготовлен из высокоочищенных химических веществ, но все же содержал смесь различных молекулярных частиц. Каждый вид молекулы вмешивается только в себя, что подтверждается масс-спектрометрией.
• Эксперимент с использованием сверхпроводящего устройства квантовой интерференции («СКВИД») был связан с темой мысленного эксперимента «состояние кошки».

За счет использования очень низких температур были созданы очень тонкие экспериментальные схемы для защиты в условиях, близких к изоляции, и сохранения когерентности промежуточных состояний в течение некоторого времени между подготовкой и обнаружением токов СКВИДа. Такой СКВИД-ток представляет собой когерентную физическую сборку, возможно, из миллиардов электронов. Из-за своей когерентности такая совокупность может рассматриваться как демонстрирующая «коллективные состояния» макроскопической квантовой сущности. Согласно принципу суперпозиции, после того, как он приготовлен, но до того, как он обнаружен, его можно рассматривать как находящееся в промежуточном состоянии. Это не одночастичное состояние, которое часто рассматривается в обсуждениях интерференции, например, Дираком в его знаменитом высказывании, изложенном выше. Более того, хотя «промежуточное» состояние можно в общих чертах рассматривать как таковое, оно не было получено как выходной сигнал вторичного квантового анализатора, на который было подано чистое состояние от первичного анализатора, и поэтому это не пример суперпозиции в строгом смысле слова. и в узком смысле.

Тем не менее, после подготовки, но до измерения, такое состояние СКВИДа можно, так сказать, рассматривать как «чистое» состояние, которое является суперпозицией текущего состояния по часовой стрелке и против часовой стрелки. В СКВИДе коллективные электронные состояния могут быть физически приготовлены практически изолированно, при очень низких температурах, что приводит к защищенным когерентным промежуточным состояниям. Примечательно то, что есть два хорошо разделенных самокогерентных коллективных состояния, которые демонстрируют такую метастабильность . Толпа электронов туннелирует вперед и назад между состояниями по часовой стрелке и против часовой стрелки, в отличие от формирования единого промежуточного состояния, в котором нет определенного коллективного ощущения протекания тока.

• Предложен эксперимент с вирусом гриппа .
• Создан пьезоэлектрический « камертон », который может быть помещен в суперпозицию колебательного и не колеблющегося состояний. Резонатор состоит примерно из 10 триллионов атомов.
• Недавние исследования показывают, что хлорофилл в растениях, по- видимому, использует свойство квантовой суперпозиции для достижения большей эффективности в транспортировке энергии, позволяя пигментным белкам располагаться дальше друг от друга, чем это было бы возможно в противном случае.
• Был предложен эксперимент с бактериальной ячейкой, охлажденной до 10 мК, с использованием электромеханического генератора. При такой температуре весь метаболизм был бы остановлен, и клетка могла бы вести себя практически как определенный химический вид. Для обнаружения интерференции необходимо, чтобы клетки поставлялись в большом количестве в виде чистых образцов идентичных и легко распознаваемых виртуальных химических соединений. Неизвестно, могут ли бактериальные клетки удовлетворить это требование. Во время эксперимента они находились бы в состоянии анабиоза.

В квантовых вычислениях фраза «состояние кошки» часто относится к состоянию GHZ , особому переплетению кубитов, при котором кубиты находятся в равной суперпозиции: все равны 0 и все равны 1; т.е.

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ bigg (} | 00 \ ldots 0 \ rangle + | 11 \ ldots 1 \ rangle {\ bigg)}.}$

Формальная интерпретация

Применяя принцип суперпозиции к квантово-механической частице, все конфигурации частицы являются позициями, поэтому суперпозиции создают сложную волну в пространстве. Коэффициенты линейной суперпозиции - это волна, которая как можно лучше описывает частицу, и чья амплитуда мешает согласно принципу Гюйгенса .

Для любого физического свойства в квантовой механике существует список всех состояний, в которых это свойство имеет определенное значение. Эти состояния обязательно перпендикулярны друг другу, используя евклидово понятие перпендикулярности, которое исходит из длины суммы квадратов, за исключением того, что они также не должны быть кратны друг другу. Этот список перпендикулярных состояний имеет связанное значение, которое является значением физического свойства. Принцип суперпозиции гарантирует, что любое состояние может быть записано как комбинация состояний этой формы с комплексными коэффициентами.

Запишите каждое состояние со значением q физической величины как вектор в некотором базисе , список чисел для каждого значения n для вектора, который имеет значение q для физической величины. Теперь сформируйте внешнее произведение векторов, умножив все компоненты вектора и сложив их с коэффициентами, чтобы получить матрицу ${\ displaystyle \ psi _ {n} ^ {q}}$

${\ displaystyle A_ {nm} = \ sum _ {q} q \ psi _ {n} ^ {* q} \ psi _ {m} ^ {q}}$

где сумма распространяется по всем возможным значениям q. Эта матрица обязательно симметрична, потому что она сформирована из ортогональных состояний и имеет собственные значения q. Матрица A называется наблюдаемой, связанной с физической величиной. Он обладает тем свойством, что собственные значения и собственные векторы определяют физическую величину и состояния, которые имеют определенные значения для этой величины.

С каждой физической величиной связан эрмитов линейный оператор , и состояния, в которых значение этой физической величины определено, являются собственными состояниями этого линейного оператора. Линейная комбинация двух или более собственных состояний приводит к квантовой суперпозиции двух или более значений величины. Если величина измеряется, значение физической величины будет случайным с вероятностью, равной квадрату коэффициента суперпозиции в линейной комбинации. Сразу после измерения состояние будет задано собственным вектором, соответствующим измеренному собственному значению.

Физическая интерпретация

Естественно спросить, почему обычные повседневные объекты и события, кажется, не проявляют квантово-механических свойств, таких как суперпозиция. Действительно, это иногда считается «загадочным», например, Ричардом Фейнманом. В 1935 году Эрвин Шредингер разработал хорошо известный мысленный эксперимент, ныне известный как кот Шредингера , который высветил этот диссонанс между квантовой механикой и классической физикой. Согласно современным представлениям, эта загадка объясняется квантовой декогеренцией . Макроскопическая система (например, кошка) может со временем эволюционировать в суперпозицию классически различных квантовых состояний (таких как «живое» и «мертвое»). Механизм, с помощью которого достигается это, является предметом значительных исследований, один из механизмов предполагает, что состояние кошки связано с состоянием ее окружающей среды (например, молекул в окружающей ее атмосфере) при усреднении по возможным квантовым состояниям окружающая среда (физически разумная процедура, если квантовое состояние окружающей среды не может контролироваться или точно измеряться) результирующее смешанное квантовое состояние для кошки очень близко к классическому вероятностному состоянию, когда кошка имеет некоторую определенную вероятность быть мертвой или живой, как и следовало ожидать от классического наблюдателя в этой ситуации. Другой предлагаемый класс теорий состоит в том, что фундаментальное уравнение эволюции во времени является неполным и требует добавления некоторого типа фундаментального линдбладиана , причина этого добавления и форма дополнительного члена варьируются от теории к теории. Популярной теорией является непрерывная спонтанная локализация , где член линдблада пропорционален пространственному разделению состояний, что тоже приводит к квазиклассическому вероятностному состоянию.

Смотрите также

использованная литература

Библиография цитируемых ссылок

• Бор, Н. (1927/1928). Квантовый постулат и недавнее развитие атомной теории, Nature Supplement 14 апреля 1928 г., 121 : 580–590 .
• Коэн-Таннуджи, К. , Диу, Б., Лалоэ, Ф. (1973/1977). Квантовая механика , перевод с французского С. Р. Хемли, Н. Островского, Д. Островского, второе издание, том 1, Вили, Нью-Йорк, ISBN  0471164321 .
• Дирак, PAM (1930/1958). Принципы квантовой механики , 4-е издание, Oxford University Press.
• Эйнштейн, А. (1949). Замечания относительно эссе, собранных в этом совместном томе, переведенном с немецкого оригинала редактором, стр. 665–688 в Шилпп , редактор штата Пенсильвания (1949), Альберт Эйнштейн: философ-ученый , том II , Open Court, La Salle IL.
• Фейнман, Р.П. , Лейтон, Р.Б., Сэндс, М. (1965). Лекции Фейнмана по физике , том 3, Addison-Wesley, Reading, MA.
• Мерцбахер, Э. (1961/1970). Квантовая механика , второе издание, Wiley, New York.
• Мессия, А. (1961). Квантовая механика , том 1, перевод GM Temmer с французского Mécanique Quantique , Северная Голландия, Амстердам.
• Уиллер, JA ; Зурек, WH (1983). Квантовая теория и измерения . Принстон, штат Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.