Квантовый хаос - Quantum chaos

Квантовый хаос - это область физики, которая пытается соединить теории квантовой механики и классической механики . На рисунке показаны основные идеи, развивающиеся в каждом направлении.

Квантовый хаос - это раздел физики, изучающий, как хаотические классические динамические системы могут быть описаны в терминах квантовой теории. Основной вопрос, на который пытается ответить квантовый хаос: «Какая связь между квантовой механикой и классическим хаосом ?» Принцип соответствия утверждает, что классическая механика является классическим пределом квантовой механики, особенно в пределе, когда отношение постоянной Планка к действию системы стремится к нулю. Если это правда, то в основе классического хаоса должны быть квантовые механизмы (хотя это может быть неэффективным способом изучения классического хаоса). Если квантовая механика не демонстрирует экспоненциальную чувствительность к начальным условиям, как может экспоненциальная чувствительность к начальным условиям возникнуть в классическом хаосе, который должен быть пределом принципа соответствия квантовой механики?

В поисках решения основного вопроса квантового хаоса было использовано несколько подходов:

  1. Разработка методов решения квантовых задач, в которых возмущение нельзя считать малым в теории возмущений и где квантовые числа велики.
  2. Сопоставление статистических описаний собственных значений (уровней энергии) с классическим поведением того же гамильтониана (системы).
  3. Квазиклассические методы, такие как теория периодических орбит, связывающая классические траектории динамической системы с квантовыми характеристиками.
  4. Прямое применение принципа соответствия.

История

Экспериментальные спектры повторяемости лития в электрическом поле, показывающие рождение квантовых повторений, соответствующих бифуркациям классических орбит.

В первой половине двадцатого века хаотическое поведение в механике было признано (как и в задаче трех тел в небесной механике ), но до конца не изучено. В этот период были заложены основы современной квантовой механики, по существу оставив в стороне вопрос о квантово-классическом соответствии в системах, классический предел которых демонстрирует хаос.

Подходы

Сравнение экспериментальных и теоретических спектров повторяемости лития в электрическом поле при приведенной энергии .

Вопросы , связанные с принципом соответствия возникают во многих различных областях физики, начиная от атомного до атомного , молекулярной и физики твердого тела , и даже акустика , микроволновых печи и оптику . Однако классико-квантовое соответствие в теории хаоса не всегда возможно. Таким образом, некоторые версии классического эффекта бабочки не имеют аналогов в квантовой механике.

Важные наблюдения, часто связанные с классическими хаотическими квантовыми системами, - это отталкивание спектральных уровней , динамическая локализация во времени (например, скорости ионизации атомов) и повышенная интенсивность стационарных волн в областях пространства, где классическая динамика демонстрирует только неустойчивые траектории (как в случае рассеяния ). В полуклассическом подходе квантового хаоса явления в спектроскопии идентифицируются путем анализа статистического распределения спектральных линий и соединения спектральных периодичностей с классическими орбитами. Другие явления проявляются во временной эволюции квантовой системы или в ее реакции на различные типы внешних сил. В некоторых контекстах, таких как акустика или микроволны, волновые структуры наблюдаются напрямую и демонстрируют нерегулярное распределение амплитуд .

Квантовый хаос обычно имеет дело с системами, свойства которых необходимо вычислить с использованием численных методов или схем аппроксимации (см., Например, ряд Дайсона ). Простые и точные решения невозможны из-за того, что компоненты системы либо влияют друг на друга сложным образом, либо зависят от меняющихся во времени внешних сил.

Квантовая механика в непертурбативных режимах

Расчетные спектры регулярных (не хаотических) уровней энергии ридберговских атомов водорода в электрическом поле вблизи n = 15. Обратите внимание, что уровни энергии могут пересекаться из-за симметрии динамического движения.
Расчетные спектры уровней энергии хаотических ридберговских атомов лития в электрическом поле вблизи n = 15. Обратите внимание, что уровни энергии не могут пересекаться из-за того, что ионный остов (и возникающий в результате квантовый дефект) нарушает симметрию динамического движения.

Для консервативных систем цель квантовой механики в непертурбативных режимах - найти собственные значения и собственные векторы гамильтониана вида

где разделимо в некоторой системе координат, неотделимо в системе координат, в которой разделено, и является параметром, который нельзя считать малым. Исторически физики подходили к проблемам подобного рода, пытаясь найти систему координат, в которой неразделимый гамильтониан является наименьшим, а затем рассматривая неразделимый гамильтониан как возмущение.

Нахождение постоянных движения, позволяющих выполнить это разделение, может быть сложной (иногда даже невозможной) аналитической задачей. Решение классической проблемы может дать ценное понимание решения квантовой проблемы. Если существуют регулярные классические решения одного и того же гамильтониана, то существуют (по крайней мере) приблизительные постоянные движения, и, решая классическую задачу, мы получаем подсказки, как их найти.

В последние годы были разработаны другие подходы. Один состоит в том, чтобы выразить гамильтониан в разных системах координат в разных областях пространства, минимизируя неотделимую часть гамильтониана в каждой области. В этих областях получаются волновые функции, а собственные значения получаются путем согласования граничных условий.

Другой подход - численная диагонализация матрицы. Если матрица гамильтониана вычисляется в любом полном базисе, собственные значения и собственные векторы получаются путем диагонализации матрицы. Однако все полные базисные наборы бесконечны, и нам нужно усечь базис, чтобы получить точные результаты. Эти методы сводятся к выбору усеченного базиса, на основе которого могут быть построены точные волновые функции. Вычислительное время, необходимое для диагонализации матрицы, масштабируется как , где - размерность матрицы, поэтому важно выбрать наименьший возможный базис, на основе которого могут быть построены соответствующие волновые функции. Также удобно выбирать базис, в котором матрица является разреженной и / или матричные элементы задаются простыми алгебраическими выражениями, поскольку вычисление матричных элементов также может быть вычислительной нагрузкой.

Данный гамильтониан имеет одинаковые константы движения как для классической, так и для квантовой динамики. Квантовые системы также могут иметь дополнительные квантовые числа, соответствующие дискретным симметриям (таким как сохранение четности из симметрии отражения). Однако, если мы просто находим квантовые решения гамильтониана, недоступного для теории возмущений, мы можем многое узнать о квантовых решениях, но мало узнали о квантовом хаосе. Тем не менее, изучение того, как решать такие квантовые проблемы, является важной частью ответа на вопрос о квантовом хаосе.

Корреляция статистических описаний квантовой механики с классическим поведением

Распределение ближайших соседей для спектров энергетических уровней ридберговских атомов в электрическом поле в виде квантового дефекта увеличено с 0,04 (а) до 0,32 (з). Система становится более хаотичной, поскольку динамические симметрии нарушаются из-за увеличения квантового дефекта; следовательно, распределение эволюционирует от почти пуассоновского (а) к предположению Вигнера (h).

Статистические меры квантового хаоса родились из желания количественно оценить спектральные характеристики сложных систем. Теория случайных матриц была разработана в попытке охарактеризовать спектры сложных ядер. Замечательный результат состоит в том, что статистические свойства многих систем с неизвестными гамильтонианами могут быть предсказаны с использованием случайных матриц соответствующего класса симметрии. Кроме того, теория случайных матриц также правильно предсказывает статистические свойства собственных значений многих хаотических систем с известными гамильтонианами. Это делает его полезным в качестве инструмента для характеристики спектров, для вычисления которых требуются большие численные усилия.

Для простой количественной оценки спектральных характеристик доступен ряд статистических показателей. Очень интересно, существует ли универсальное статистическое поведение классических хаотических систем. Упомянутые здесь статистические тесты универсальны, по крайней мере, для систем с несколькими степенями свободы ( Берри и Табор выдвинули веские аргументы в пользу распределения Пуассона в случае регулярного движения, а Хейслер и др. Представили полуклассическое объяснение так называемого Гипотеза Бохигаса – Джаннони – Шмита, утверждающая универсальность спектральных флуктуаций в хаотической динамике). Распределение ближайших соседей (NND) уровней энергии относительно просто интерпретировать, и оно широко используется для описания квантового хаоса.

Качественные наблюдения отталкивания уровней могут быть количественно определены и связаны с классической динамикой с помощью NND, который считается важным признаком классической динамики в квантовых системах. Считается, что регулярная классическая динамика проявляется в распределении уровней энергии Пуассона :

Кроме того, ожидается, что системы, демонстрирующие хаотическое классическое движение, будут характеризоваться статистикой ансамблей собственных значений случайных матриц. Было показано, что для систем, инвариантных относительно обращения времени, статистика уровней энергии ряда хаотических систем хорошо согласуется с предсказаниями гауссовского ортогонального ансамбля (GOE) случайных матриц, и было высказано предположение, что это явление является общий для всех хаотических систем с этой симметрией. Если нормализованное расстояние между двумя уровнями энергии равно , нормализованное распределение расстояний хорошо аппроксимируется формулой

Было обнаружено, что многие гамильтоновы системы, которые являются классически интегрируемыми (не хаотическими), имеют квантовые решения, которые дают распределения ближайших соседей, которые следуют распределениям Пуассона. Точно так же многие системы, которые демонстрируют классический хаос, были найдены с квантовыми решениями, дающими распределение Вигнера-Дайсона , таким образом поддерживая идеи выше. Заметным исключением является диамагнитный литий, который, хотя и демонстрирует классический хаос, демонстрирует вигнеровскую (хаотическую) статистику для уровней энергии с четной четностью и почти пуассоновскую (регулярную) статистику для распределения уровней энергии с нечетной четностью.

Полуклассические методы

Теория периодической орбиты

Даже четность рецидивы спектр ( преобразование Фурье от плотности состояний ) диамагнитных пиков , показывающего водорода , соответствующих периодических орбит классической системы. Спектр имеет масштабированную энергию -0,6. Пики, обозначенные R и V, являются повторением замкнутой орбиты, перпендикулярной и параллельной полю соответственно. Пики, обозначенные буквой O, соответствуют почти круговой периодической орбите, которая вращается вокруг ядра.
Относительные амплитуды повторяемости четных и нечетных повторений ближней круговой орбиты. Ромбы и знаки плюс обозначают нечетный и четный периоды соответственно. Сплошная линия - A / ch (nX / 8). Пунктирная линия - A / sinh (nX / 8), где A = 14,75 и X = 1,18.

Теория периодических орбит дает рецепт вычисления спектров по периодическим орбитам системы. В отличие от метода квантования действия Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера , который применяется только к интегрируемым или почти интегрируемым системам и вычисляет индивидуальные собственные значения для каждой траектории, теория периодических орбит применима как к интегрируемым, так и к неинтегрируемым системам и утверждает, что каждая периодическая орбита вызывает синусоидальные колебания плотности состояний.

Основным результатом этого развития является выражение для плотности состояний, которая является следом полуклассической функции Грина и дается формулой следа Гутцвиллера:

Недавно было обобщение этой формулы для произвольных матричных гамильтонианов, которое включает фазоподобный член Берри, связанный со спином или другими внутренними степенями свободы. Индекс различает примитивные периодические орбиты : орбиты с наименьшим периодом для заданного набора начальных условий. - период примитивной периодической орбиты и является ее классическим действием. Каждая примитивная орбита повторяется сама по себе, приводя к новой орбите с действием и периодом, который является целым кратным первоначальному периоду. Следовательно, каждое повторение периодической орбиты является другой периодической орбитой. Эти повторы отдельно классифицируются по промежуточной сумме по показателям . - индекс Маслова орбиты . Коэффициент амплитуды представляет собой квадратный корень из плотности соседних орбит. Соседние траектории неустойчивой периодической орбиты экспоненциально расходятся во времени от периодической орбиты. Величина характеризует нестабильность орбиты. Устойчивая орбита движется по тору в фазовом пространстве, а соседние траектории наматываются вокруг нее. Для устойчивых орбит становится , где - число витков периодической орбиты. , где - количество раз, когда соседние орбиты пересекают периодическую орбиту за один период. Это представляет трудность из- за классической бифуркации . Это приводит к тому, что вклад этой орбиты в плотность энергии расходится. Это также происходит в контексте спектра фотоабсорбции .

Использование формулы следа для вычисления спектра требует суммирования по всем периодическим орбитам системы. Это создает несколько трудностей для хаотических систем: 1) Число периодических орбит растет экспоненциально в зависимости от действия. 2) Существует бесконечное число периодических орбит, и свойства сходимости теории периодических орбит неизвестны. Эта трудность также присутствует при применении теории периодических орбит к регулярным системам. 3) Длиннопериодические орбиты трудно вычислить, потому что большинство траекторий нестабильны и чувствительны к ошибкам округления и деталям численного интегрирования.

Гуцвиллер применил формулу следов для полуклассического подхода к анизотропной задаче Кеплера (отдельная частица в потенциале с анизотропным тензором масс ). Он обнаружил согласие с квантовыми вычислениями для низколежащих (до ) состояний для малых анизотропий, используя только небольшой набор легко вычисляемых периодических орбит, но согласие было плохим для больших анизотропий.

На рисунках выше используется перевернутый подход к проверке теории периодических орбит. Формула следа утверждает, что каждая периодическая орбита вносит синусоидальный член в спектр. Вместо того, чтобы иметь дело с вычислительными трудностями, окружающими долгопериодические орбиты, чтобы попытаться найти плотность состояний (уровни энергии), можно использовать стандартную квантово-механическую теорию возмущений для вычисления собственных значений (уровней энергии) и использовать преобразование Фурье для поиска периодических модуляции спектра, которые являются сигнатурой периодических орбит. Тогда интерпретация спектра сводится к нахождению орбит, соответствующих пикам в преобразовании Фурье.

Грубый набросок того, как прийти к формуле следа Гуцвиллера

  1. Начнем с полуклассического приближения функции Грина, зависящей от времени (пропагатор Ван Флека).
  2. Поймите, что для каустик описание расходится, и используйте понимание Маслова (приближенное преобразование Фурье в импульсное пространство (приближение стационарной фазы с малым параметром ha), чтобы избежать таких точек, а затем преобразование обратно в пространство позиций может исправить такое расхождение, однако дает фазу фактор).
  3. Преобразуйте функцию Грина в энергетическое пространство, чтобы получить зависящую от энергии функцию Грина (снова аппроксимируйте преобразование Фурье, используя приближение стационарной фазы). Могут появиться новые расхождения, которые необходимо устранить тем же методом, что и на шаге 3.
  4. Используйте (отслеживание позиций) и снова вычислите его в приближении стационарной фазы, чтобы получить приближение для плотности состояний .

Примечание. Трассировка показывает, что вклад вносят только замкнутые орбиты, приближение стационарной фазы дает вам ограничительные условия каждый раз, когда вы это делаете. На шаге 4 он ограничивает вас орбитами, где начальный и конечный импульс одинаковы, т.е. периодические орбиты. Часто бывает полезно выбрать систему координат, параллельную направлению движения, как это делается во многих книгах.

Теория замкнутой орбиты

Экспериментальный спектр повторяемости (кружки) сравнивается с результатами теории замкнутой орбиты Джона Делоса и Цзин Гао для ридберговских атомов лития в электрическом поле. Пики, обозначенные 1–5, представляют собой повторение орбиты электрона, параллельной полю, идущей от ядра к классической точке поворота в восходящем направлении.

Теория замкнутой орбиты была разработана Дж. Б. Делосом, М. Л. Ду, Дж. Гао и Дж. Шоу. Это похоже на теорию периодической орбиты, за исключением того, что теория замкнутой орбиты применима только к атомным и молекулярным спектрам и дает плотность силы осциллятора (наблюдаемый спектр фото-поглощения) из заданного начального состояния, тогда как теория периодической орбиты дает плотность состояния.

В теории замкнутой орбиты важны только орбиты, которые начинаются и заканчиваются в ядре. Физически они связаны с исходящими волнами, которые генерируются, когда сильно связанный электрон переводится в высоколежащее состояние. Для ридберговских атомов и молекул каждая замкнутая в ядре орбита также является периодической орбитой, период которой равен либо времени закрытия, либо удвоенному времени закрытия.

Согласно теории замкнутой орбиты, средняя плотность силы осциллятора при постоянной задается гладким фоном и колебательной суммой вида

- фаза, зависящая от индекса Маслова и других деталей орбит. - амплитуда повторения замкнутой орбиты для данного начального состояния (помечено ). Он содержит информацию об устойчивости орбиты, ее начальном и конечном направлениях, а также о матричном элементе дипольного оператора между начальным состоянием и кулоновской волной нулевой энергии. Для масштабных систем, таких как атомы Ридберга в сильных полях, преобразование Фурье спектра силы осциллятора, вычисленное при фиксированном значении как функция от , называется спектром повторения, потому что оно дает пики, которые соответствуют масштабному действию замкнутых орбит и чьи высоты соответствуют .

Теория замкнутой орбиты нашла широкое согласие с рядом хаотических систем, включая диамагнитный водород, водород в параллельных электрическом и магнитном полях, диамагнитный литий, литий в электрическом поле, ион в скрещенных и параллельных электрических и магнитных полях, барий в электрическое поле и гелий в электрическом поле.

Одномерные системы и потенциал

Для случая одномерной системы с граничным условием плотность состояний, полученная из формулы Гутцвиллера, связана с обратной величиной потенциала классической системы следующим образом: здесь - плотность состояний, а V (x) - классический потенциал частица, полупроизводная обратной величины потенциала связана с плотностью состояний, как в потенциале Ву-Спрунга .

Последние направления

Остается открытым вопрос о понимании квантового хаоса в системах с конечномерными локальными гильбертовыми пространствами, для которых стандартные квазиклассические ограничения не применяются. Недавние работы позволили аналитически исследовать такие квантовые системы многих тел .

Традиционные темы квантового хаоса касаются спектральной статистики (универсальные и неуниверсальные свойства) и исследования собственных функций ( квантовая эргодичность , шрамы ) различных хаотических гамильтонианов .

Дальнейшие исследования касаются параметрической ( ) зависимости гамильтониана, что отражено, например, в статистике избегаемых пересечений, и связанного с ним перемешивания, отраженного в (параметрической) локальной плотности состояний (LDOS). Существует обширная литература по динамике волновых пакетов, включая изучение флуктуаций, повторений, вопросов квантовой необратимости и т. Д. Особое место отведено изучению динамики квантованных отображений: стандартное отображение и вращающийся ротатор считаются прототипами проблем.

Работы также сосредоточены на изучении управляемых хаотических систем, где гамильтониан зависит от времени, в частности, в адиабатическом и линейном режимах отклика. Также значительные усилия сосредоточены на формулировании идей квантового хаоса для сильно взаимодействующих квантовых систем многих тел, далеких от полуклассических режимов.

Гипотеза Берри – Табора

В 1977 году Берри и Табор выдвинули все еще открытую «общую» математическую гипотезу, которая, грубо сформулированная, такова: в «общем» случае квантовой динамики геодезического потока на компактной римановой поверхности собственные значения квантовой энергии ведут себя как последовательность независимых случайных величин при условии, что лежащая в основе классическая динамика полностью интегрируема .

Смотрите также

Рекомендации

Дополнительные ресурсы

Внешние ссылки