Квадратура (математика) - Quadrature (mathematics)

В математике , квадратурный исторический термин , который означает , что процесс определения площади . Этот термин до сих пор используется в контексте дифференциальных уравнений , где «решение уравнения с помощью квадратуры» или «приведение к квадратуре» означает выражение его решения в терминах интегралов .

Проблемы квадратурные служили в качестве одного из основных источников проблем в развитии исчисления и ввести важные темы в математическом анализе .

История

Луночка Гиппократ была первая изогнутая фигурой , чтобы иметь точную его площадь рассчитывается математически.

Греческие математики понимали определение площади фигуры как процесс геометрического построения квадрата, имеющего такую ​​же площадь ( возведение в квадрат ), отсюда и название этого процесса - квадратура . Греческие геометры не всегда были успешными (см. Квадратуру круга ), но они действительно выполняли квадратуры некоторых фигур, стороны которых не были просто отрезками прямых, таких как луны Гиппократа и квадратура параболы . По определенной греческой традиции эти построения должны были быть выполнены с использованием только циркуля и линейки , хотя не все греческие математики придерживались этого изречения.

Для квадратуре с прямоугольника со сторонами через и б необходимо построить квадрат со стороной (The геометрическое среднее из и б ). Для этой цели можно использовать следующее: если нарисовать окружность диаметром, образованную соединением отрезков линий длиной a и b , то высота ( BH на схеме) отрезка, проведенного перпендикулярно диаметру, от точки точка их соединения с точкой, где она пересекает круг, равна среднему геометрическому a и b . Подобная геометрическая конструкция решает задачи о квадратуре параллелограмма и треугольника.

Архимед доказал, что площадь параболического отрезка составляет 4/3 площади вписанного треугольника.

Задачи квадратуры для криволинейных фигур намного сложнее. Квадратура круга с циркулем и линейкой оказалась невозможной в XIX веке. Тем не менее, для некоторых фигур квадратура может быть выполнена. Квадратуры поверхности сферы и парабола сегмента открытого Архимедом стали высшим достижением анализа в древности.

  • Площадь поверхности сферы в четыре раза больше площади круга, образованного большим кругом этой сферы.
  • Площадь отрезка параболы, определяемого прямой, пересекающей его, составляет 4/3 площади вписанного в этот отрезок треугольника.

Для доказательства этих результатов Архимед использовал метод исчерпания, приписываемый Евдоксу .

В средневековой Европе квадратура означала расчет площади любым методом. Чаще всего использовался метод неделимых ; он был менее строгим, чем геометрические конструкции греков, но был проще и мощнее. С его помощью Галилео Галилей и Жиль де Роберваль нашли область циклоидной арки, Грегуар де Сен-Винсент исследовал область под гиперболой ( Opus Geometricum , 1647), а Альфонс Антонио де Сараса , ученик и комментатор де Сен-Винсента, отметил отношение этой области к логарифмам .

Джон Уоллис изучил этот метод; он написал в своей Arithmetica Infinitorum (1656) ряд рядов, эквивалентных тому, что сейчас называется определенным интегралом , и вычислил их значения. Исаак Барроу и Джеймс Грегори добились дальнейшего прогресса: квадратуры для некоторых алгебраических кривых и спиралей . Христиан Гюйгенс успешно выполнил квадратуру площади поверхности некоторых тел вращения .

Квадратура гиперболы Сен-Винсента и де Сарасы дала новую критически важную функцию - натуральный логарифм . С изобретением интегрального исчисления появился универсальный метод вычисления площади. В ответ термин « квадратура » стал традиционным, и вместо этого современная фраза « нахождение площади» чаще используется для того, что технически является вычислением одномерного определенного интеграла .

Смотрите также

Заметки

Рекомендации