Круговой сектор - Circular sector

Круговой сектор , также известный как круговой сектор или сектор диска (символ: ⌔ ), представляет собой часть на диске (в замкнутую области , ограниченную окружностью) , окруженной два радиусов и на дуге , где меньшая площадь известна как несовершеннолетние сектор, а более крупный - основной сектор . На диаграмме θ - это центральный угол , радиус окружности и длина дуги малого сектора. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle L}$

Угол, образованный соединением концов дуги с любой точкой окружности, не входящей в сектор, равен половине центрального угла.

Типы

Сектор с центральным углом 180 ° называется полудиском и ограничен диаметром и полукругом . Секторам с другими центральными углами иногда дают специальные названия, такие как квадранты (90 °), секстанты (60 °) и октанты (45 °), которые происходят из сектора, составляющего одну 4-ю, 6-ю или 8-ю часть полного круга. соответственно. Как ни странно, дугу квадранта ( дугу окружности ) также можно назвать квадрантом.

использование

Традиционно направление ветра на компасной розетке задается одним из 8 октантов (N, NE, E, SE, S, SW, W, NW), потому что это более точно, чем просто указание одного из 4 квадрантов и флюгера. как правило, не имеет достаточной точности для более точной индикации.

Название инструмента « октант » происходит от того, что он основан на 1/8 круга. Чаще всего октанты видны на компасе .

Площадь

Общая площадь круга равна π r ² . Площадь сектора можно получить, умножив площадь круга на отношение угла θ (выраженного в радианах) и 2 π (поскольку площадь сектора прямо пропорциональна его углу, а 2 π - это угол для весь круг, в радианах):

${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} \, {\ frac {\ theta} {2 \ pi}} = {\ frac {r ^ {2} \ theta} {2}}}$

Площадь сектора в единицах L может быть получена умножением общей площади π r ² на отношение L к общему периметру 2 π r .

${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} \, {\ frac {L} {2 \ pi r}} = {\ frac {rL} {2}}}$

Другой подход - рассматривать эту область как результат следующего интеграла:

${\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {\ theta} \ int _ {0} ^ {r} dS = \ int _ {0} ^ {\ theta} \ int _ {0} ^ {r} { \ tilde {r}} \, d {\ tilde {r}} \, d {\ tilde {\ theta}} = \ int _ {0} ^ {\ theta} {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \, d {\ tilde {\ theta}} = {\ frac {r ^ {2} \ theta} {2}}}$

Преобразование центрального угла в градусы дает

${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} {\ frac {\ theta ^ {\ circ}} {360 ^ {\ circ}}}}$

Периметр

Длина периметра сектора складывается из длины дуги и двух радиусов:

${\ Displaystyle P = L + 2r = \ theta r + 2r = r (\ theta +2)}$

где θ в радианах.

Длина дуги

Формула длины дуги:

${\ Displaystyle L = г \ тета}$

где L представляет длину дуги, r представляет радиус круга, а θ представляет угол в радианах, образованный дугой в центре круга.

Если значение угла указано в градусах, то мы также можем использовать следующую формулу:

${\ displaystyle L = 2 \ pi r {\ frac {\ theta} {360}}}$

Длина хорды

Длина хорды, образованной экстремальными точками дуги, определяется выражением

${\ displaystyle C = 2R \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}$

где C представляет длину хорды, R представляет радиус круга, а θ представляет угловую ширину сектора в радианах.

Смотрите также

• Круговой сегмент - часть сектора, которая остается после удаления треугольника, образованного центром круга и двумя конечными точками дуги окружности на границе.
• Коническое сечение
• Квадрант Земли

использованная литература

Источники

• Джерард, LJV, Элементы геометрии, в восьми книгах; или «Первый шаг в прикладной логике» (Лондон, Лонгманс, Грин, Ридер и Дайер , 1874 г.), стр. 285 .

• Лежандр AM , Элементы геометрии и тригонометрии , Чарльз Дэвис , изд. (Нью-Йорк: AS Barnes & Co. , 1858), стр. 119 .