Пирамида (геометрия) - Pyramid (geometry)
Правые пирамиды с регулярным основанием | |
---|---|
Обозначения многогранника Конвея | Да нет |
Символ Шлефли | () ∨ { n } |
Лица |
n треугольников , 1 n -угольник |
Края | 2 п |
Вершины | п + 1 |
Группа симметрии | C n v , [1, n ], (* nn ), порядок 2 n |
Группа вращения | C n , [1, n ] + , ( nn ), порядок n |
Двойной многогранник | Самодвойственный |
Характеристики | выпуклый |
В геометрии , А пирамиды (от греческого : πυραμίς Pyramis ) представляет собой полиэдр образован путем соединения многоугольного основания и точки, называемую вершиной . Каждый край основания и вершина образуют треугольник, называемый боковой гранью . Это твердое тело конической формы с многоугольным основанием. Пирамида с n- сторонним основанием имеет n + 1 вершину, n + 1 грань и 2 n ребра. Все пирамиды самодвойственны .
У правой пирамиды вершина находится прямо над центром тяжести ее основания. Непрямые пирамиды называются наклонными пирамидами . Правильная пирамида имеет правильный многоугольник базу и, как правило , подразумевается , чтобы быть правая пирамида .
Если не указано иное, пирамида обычно считается правильной квадратной пирамидой , как и физические пирамидальные структуры. Треугольник -На пирамида чаще называется тетраэдр .
Среди наклонных пирамид, таких как острые и тупые треугольники , пирамида может быть названа острой, если ее вершина находится выше внутренней части основания, и тупой, если ее вершина находится выше внешней стороны основания. У прямоугольной пирамиды вершина находится над краем или вершиной основания. В тетраэдре эти квалификаторы меняются в зависимости от того, какая грань считается основанием.
Пирамиды - это класс призматоидов . Пирамиды можно удвоить в бипирамиды , добавив вторую точку смещения на другой стороне базовой плоскости.
Правые пирамиды с правильным основанием
Правая пирамида с правильным основанием имеет стороны равнобедренного треугольника с симметрией C n v или [1, n ] с порядком 2 n . Ему может быть присвоен расширенный символ Шлефли () ∨ { n }, представляющий точку (), соединенную (ортогональное смещение) с правильным многоугольником {n}. Операция соединения создает новое ребро между всеми парами вершин двух соединенных фигур.
Тригональная или треугольная пирамида со всеми равносторонними треугольниками граней становится регулярным тетраэдром , один из многогранников . Случай с более низкой симметрией треугольной пирамиды - это C 3v , который имеет основание равностороннего треугольника и 3 одинаковые стороны равнобедренного треугольника. Квадратные и пятиугольные пирамиды также могут состоять из правильных выпуклых многоугольников, и в этом случае они являются телами Джонсона .
Если все ребра квадратной пирамиды (или любой выпуклый многогранник) являются касательной к сфере так, чтобы среднее положение касательных точек находятся в центре сферы, то пирамида называется каноническими , и она образует половину правильный октаэдр .
Пирамиды с основанием шестиугольника и выше должны состоять из равнобедренных треугольников. Шестиугольная пирамида с равносторонними треугольниками была бы полностью плоской фигурой, а семиугольная или выше треугольники вообще не пересекались бы.
Правильные пирамиды | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Дигональный | Треугольный | Квадрат | Пятиугольный | Шестиугольный | Семиугольный | Восьмиугольный | Эннеагональный | Десятиугольный ... |
Неправильный | Обычный | Равносторонний | Равнобедренный | |||||
Правые звездные пирамиды
Правые пирамиды с правильным основанием звездообразного многоугольника называются звездными пирамидами . Например, пирамида пентаграммы имеет основание пентаграммы и 5 пересекающихся сторон треугольника.
Правые пирамиды с неправильным основанием
Право пирамида может быть названа как () ∨P, где () является точкой апекса, ∨ является объединение оператора, и P представляет собой базовый полигон.
Равнобедренный треугольник вправо тетраэдр можно записать в виде () ∨ [() ∨ {}] как объединение с точки до равнобедренного треугольника основание, как [() ∨ ()] ∨ {} или {} ∨ {} как соединение (ортогональные смещения) двух ортогональных сегментов, двуугольный дифеноид , содержащий 4 грани равнобедренного треугольника. Он имеет симметрию C 1v в двух разных ориентациях основания и вершины и C 2v в полной симметрии.
Прямоугольная правая пирамида , записывается в виде () ∨ [{} × {}], и ромбические пирамиды , как () ∨ [{} + {}], оба имеют симметрии C 2v .
Прямоугольная пирамида | Ромбическая пирамида |
---|
Объем
Объем пирамиды (также любой конус) является , где Ь является площадь основания и ч высота от основания до вершины. Это работает для любого многоугольника, правильного или нерегулярного, и любого местоположения вершины, при условии, что h измеряется как перпендикулярное расстояние от плоскости, содержащей основание. В 499 AD Aryabhata , математик - астроном из классического возраста индийской математики и индийской астрономии , использовал этот метод в Aryabhatiya (раздел 2.6).
Формулу можно формально доказать с помощью исчисления. По подобию линейные размеры поперечного сечения, параллельного основанию, линейно увеличиваются от вершины к основанию. Коэффициент масштабирования (коэффициент пропорциональности) равен , или , где h - высота, а y - расстояние по перпендикуляру от плоскости основания до поперечного сечения. Так как площадь любого поперечного сечения пропорциональна квадрату фигуры масштабного коэффициента, площадь поперечного сечения на высоту у есть , или так как оба б и ч постоянные, . Объем задается интегралом
То же уравнение справедливо и для конусов с любым основанием. Это можно доказать с помощью аргумента, аналогичного приведенному выше; см. объем конуса .
Например, объем пирамиды, основание которой представляет собой n- сторонний правильный многоугольник с длиной стороны s и высотой h, равен
Формула также может быть получена точно без исчисления для пирамид с прямоугольными основаниями. Рассмотрим единичный куб. Проведите линии от центра куба к каждой из 8 вершин. Это делит куб на 6 равных квадратных пирамид с площадью основания 1 и высотой 1/2. Каждая пирамида явно имеет объем 1/6. Отсюда мы заключаем, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.
Затем разверните куб равномерно в трех направлениях на неравные величины, чтобы в результате были прямоугольные сплошные края a , b и c с твердым объемом abc . Каждая из шести пирамид внутри тоже расширяется. И каждая пирамида имеет одинаковый объем abc / 6. Поскольку пары пирамид имеют высоту a / 2, b / 2 и c / 2, мы снова видим, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.
Когда боковые треугольники равносторонние, формула объема имеет вид
Эта формула применима только для n = 2, 3, 4 и 5; и он также охватывает случай n = 6, для которого объем равен нулю (т. е. высота пирамиды равна нулю).
Площадь поверхности
Площадь поверхности пирамиды равна , где B - площадь основания, P - периметр основания и наклонная высота , где h - высота пирамиды, а r - внутренний радиус основания.
Центроид
Медиан пирамиды расположен на участке линии, соединяющей вершины центроида основания. Для твердой пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины.
n -мерные пирамиды
Двумерная пирамида - это треугольник, образованный ребром основания, соединенным с неколлинеарной точкой, называемой вершиной .
Четырехмерная пирамида называется многогранной пирамидой , построенной многогранником в трехмерной гиперплоскости четырехмерного пространства с другой точкой за пределами этой гиперплоскости.
Аналогично строятся и многомерные пирамиды.
Семейство симплексов представляет пирамиды в любом измерении, возрастающем из треугольника , тетраэдра , 5-ячеечного , 5-симплекса и т. Д. N-мерный симплекс имеет минимум n + 1 вершин , причем все пары вершин соединены ребрами , все тройки вершин, определяющих грани, всех четверок точек, определяющих тетраэдрические ячейки и т. д.
Многогранная пирамида
В 4-мерной геометрии , A многогранных пирамиды являются 4-многогранник строится с помощью базовой многогранники клетки и апекса точки. Боковые грани представляют собой ячейки пирамиды, каждая из которых состоит из одной грани базового многогранника и вершины. Вершины и ребра многогранных пирамид образуют примеры вершинных графов , графов, образованных добавлением одной вершины (вершины) к плоскому графу (графу основания).
Регулярные 5-клеток (или 4- симплекс ) является примером четырехгранной пирамиды . Из однородных многогранников с описанными радиусами меньше 1 можно образовать многогранные пирамиды с правильными четырехгранными сторонами. Многогранник с v вершинами, e ребрами и f гранями может быть основанием многогранной пирамиды с v + 1 вершинами, e + v ребрами, f + e гранями и 1 + f ячейками.
Четырехмерная многогранная пирамида с осевой симметрией может быть визуализирована в трехмерном виде с помощью диаграммы Шлегеля - трехмерной проекции, в которой вершина находится в центре базового многогранника.
Симметрия | [1,1,4] | [1,2,3] | [1,3,3] | [1,4,3] | [1,5,3] | |
---|---|---|---|---|---|---|
Имя | Квадратно-пирамидальная пирамида | Пирамида с треугольной призмой | Тетраэдрическая пирамида | Кубическая пирамида | Восьмигранная пирамида | Икосаэдрическая пирамида |
Сегментохорный индекс |
K4.4 | K4.7 | K4.1 | K4.26.1 | K4.3 | K4.84 |
Рост | 0,707107 | 0,790569 | 0,790569 | 0,500000 | 0,707107 | 0,309017 |
Изображение (базовое) |
||||||
База |
Квадратная пирамида |
Треугольная призма |
Тетраэдр | Куб | Октаэдр | Икосаэдр |
Любой выпуклый 4-многогранник можно разделить на многогранные пирамиды , добавив внутреннюю точку и создав по одной пирамиде от каждой грани до центральной точки. Это может быть полезно для вычисления объемов.
4-мерное гиперобъем многогранной пирамиды равно 1/4 от объема базовой раз многогранника его перпендикулярной высоты, по сравнению с площадью треугольника будучи 1/2 длиной основания раз превышают высоту и объем пирамиды быть 1/3 площади основания, умноженной на высоту.
Трехмерный объем поверхности многогранной пирамиды равен , где B - базовый объем, A - площадь базовой поверхности, L - наклонная высота (высота боковых пирамидальных ячеек) , где h - высота, а r - inradius.