Пропорционально-справедливое правило - Proportional-fair rule

В исследовании операций и социальный выбор , то пропорционально-справедливый (PF) правило есть правило о том , что среди всех возможных альтернатив, следует выбрать альтернативу , которая не может быть улучшена, где «улучшение» измеряются суммой относительных улучшений возможной для каждый отдельный агент. Он направлен на обеспечение компромисса между утилитарным правилом, которое подчеркивает общую эффективность системы, и эгалитарным правилом, которое подчеркивает индивидуальную справедливость.

Правило было впервые представлено в контексте управления скоростью в сетях связи. Однако это общее правило общественного выбора, которое также может использоваться, например, при распределении ресурсов.

Определение

Позвольте быть набор возможных "состояний мира" или "альтернатив". Общество желает выбрать из одного государства . Например, в выборах одного победителя , может представлять собой набор кандидатов; в настройке распределения ресурсов может представлять все возможные распределения ресурса. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Позвольте быть конечным набором, представляющим коллекцию лиц. Для каждого позвольте быть функцией полезности , описывающей количество счастья, которое человек i получает от каждого возможного состояния. ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle u_ {i}: X \ longrightarrow \ mathbb {R}}$

Правило социального выбора является механизм , который использует данные , чтобы выбрать какой - либо элемент (ы) из которых являются `лучший» для общества. Вопрос о том, что означает «лучшее», является основным вопросом теории социального выбора . В пропорционально-справедливо правило выбирает элемент таким образом, что для любого другого государства :${\ Displaystyle (и_ {я}) _ {я \ в I}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle y \ in X}$

${\ displaystyle 0 \ geq \ sum _ {i \ in I} {\ frac {u_ {i} (y) -u_ {i} (x)} {u_ {i} (x)}}.}$

Обратите внимание, что член внутри суммы, представляет относительный выигрыш агента i при переключении с x на y . Правило PF предпочитает состояние x состоянию y тогда и только тогда, когда сумма относительных выигрышей при переключении с x на y не положительна. ${\ displaystyle {\ frac {u_ {i} (y) -u_ {i} (x)} {u_ {i} (x)}}}$

Сравнение с другими правилами

Утилитарно правило выбирает элемент , который максимизирует сумму отдельных коммунальных услуг, то есть, для каждого другого государства :${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle y \ in X}$

${\ displaystyle 0 \ geq \ sum _ {i \ in I} \ left (u_ {i} (y) -u_ {i} (x) \ right).}$

Это правило игнорирует текущую полезность людей. В частности, он может выбрать состояние, в котором полезности некоторых людей равны нулю, если полезности некоторых других лиц достаточно велики. Уравнительное правило выбирает элемент , который максимизирует мельчайшие отдельные утилиты, то есть, для каждого другого государства :${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle y \ in X}$

${\ displaystyle 0 \ geq \ min _ {i \ in I} u_ {i} (y) - \ min _ {i \ in I} u_ {i} (x).}$

Это правило игнорирует общую эффективность системы. В частности, он может выбрать состояние, в котором полезности большинства людей очень низкие, просто чтобы немного увеличить наименьшую полезность.

Правило пропорциональной справедливости направлено на баланс между этими двумя крайностями. С одной стороны, он рассматривает сумму коммунальных услуг, а не только меньшую полезность; с другой стороны, внутри суммы он дает больший вес агентам, чья текущая полезность меньше. В частности, если полезность некоторого индивидуума в x равна 0, и есть другое состояние y, в котором его полезность больше 0, то правило PF предпочло бы состояние y, поскольку относительное улучшение индивидуального y бесконечно (это делится на 0).

Характеристики

Когда наборы полезностей выпуклые, всегда существует пропорционально-справедливое решение. Более того, он максимизирует продукт коммунальных услуг (также известный как благосостояние Нэша ).

Когда наборы полезностей не являются выпуклыми, существование пропорционально-справедливого решения не гарантируется. Однако, когда он существует, он по-прежнему максимизирует продукт коммунальных услуг.

Правило PF в определенных настройках

Пропорциональная справедливость изучалась в различных условиях.

• Сетевое планирование; см. пропорционально-справедливое планирование .
• Проблема справедливой суммы подмножества .
• Очередь.

Рекомендации