Проблема очков - Problem of points

Проблема точек , также называемая проблемой разделения доли , является классической проблемой теории вероятностей . Одна из известных проблем, которая послужила причиной зарождения современной теории вероятностей в 17 веке, она привела Блеза Паскаля к первому явному рассуждению о том, что сегодня известно как ожидаемое значение .

Проблема касается азартной игры с двумя игроками, которые имеют равные шансы на победу в каждом раунде. Игроки вносят равный вклад в призовой фонд и заранее соглашаются, что первый игрок, выигравший определенное количество раундов, получит весь приз. Теперь предположим, что игра прервана внешними обстоятельствами до того, как любой из игроков добился победы. Как тогда справедливо разделить банк? Молчаливо подразумевается, что разделение должно каким-то образом зависеть от количества раундов, выигранных каждым игроком, так что игрок, который близок к победе, получит большую часть банка. Но проблема не только в расчетах; это также включает решение, что такое «справедливое» разделение.

Ранние решения

Лука Пачоли рассмотрел такую ​​проблему в своем учебнике 1494 года « Сумма арифметики, геометрической, пропорции и пропорциональности» . Его метод заключался в том, чтобы делить ставки пропорционально количеству раундов, выигранных каждым игроком, а количество раундов, необходимых для победы, вообще не входило в его вычисления.

В середине XVI века Никколо Тарталья заметил, что метод Пачоли приводит к противоречивым результатам, если игра прерывается, когда был сыгран только один раунд. В этом случае правило Пачоли присуждает весь банк победителю одного раунда, хотя преимущество в один раунд в начале длинной игры далеко не решающее. Тарталья разработал метод, позволяющий избежать этой конкретной проблемы, основывая деление на соотношении между размером лида и продолжительностью игры. Однако это решение не лишено проблем; в игре до 100 он делит ставки таким же образом, как при отведении 65–55, так и при отведении 99–89, хотя первое по-прежнему является относительно открытой игрой, тогда как во втором случае победа ведущего игрока почти наверняка . Сам Тарталья не был уверен, можно ли вообще решить проблему таким образом, чтобы убедить обоих игроков в ее справедливости: «независимо от того, каким образом будет проведено разделение, будет повод для судебного разбирательства».

Паскаль и Ферма

Проблема снова возникла около 1654 года, когда шевалье де Мере поставил ее Блезу Паскалю . Паскаль обсуждал эту проблему в своей постоянной переписке с Пьером де Ферма . В ходе этого обсуждения Паскаль и Ферма не только представили убедительное и непротиворечивое решение этой проблемы, но и разработали концепции, которые по-прежнему являются фундаментальными для теории вероятностей.

Первоначальная идея Паскаля и Ферма заключалась в том, что разделение должно зависеть не столько от истории той части прерванной игры, которая действительно имела место, сколько от возможных способов продолжения игры, если бы она не была прервана. Интуитивно понятно, что игрок с преимуществом 7–5 в игре до 10 имеет те же шансы на победу, что и игрок с преимуществом 17–15 в игре до 20, поэтому Паскаль и Ферма считали, что прерывание в любом из двух ситуаций должны привести к одинаковому разделению ставок. Другими словами, важно не количество раундов, выигранных каждым игроком на данный момент, а количество раундов, которое необходимо выиграть каждому игроку для достижения общей победы.

Ферма рассуждал так: если одному игроку нужно r раундов для победы, а другому нужно s , игра наверняка будет кем-то выиграна после дополнительных раундов. Поэтому представьте, что игроки должны сыграть больше раундов; в целом эти раунды имеют разные возможные исходы. В некоторых из этих возможных вариантов будущего решение игры будет решаться за меньшее количество раундов, но нет ничего плохого в том, чтобы представить игроков, продолжающих играть без цели. Рассмотрение только одинаково длинных фьючерсов имеет то преимущество, что можно легко убедить себя, что каждая из возможностей одинаково вероятна. Таким образом, Ферма смог вычислить шансы на победу каждого игрока, просто записав таблицу всех возможных продолжений и подсчитав, сколько из них приведёт к победе каждого игрока. Ферма счел очевидным справедливым делить ставки пропорционально этим шансам. ${\ displaystyle r + s-1}$${\ displaystyle r + s-1}$${\ Displaystyle 2 ^ {г + s-1}}$${\ displaystyle r + s-1}$${\ Displaystyle 2 ^ {г + s-1}}$${\ Displaystyle 2 ^ {г + s-1}}$

Решение Ферма, безусловно «правильное» по сегодняшним меркам, было улучшено Паскалем двумя способами. Во-первых, Паскаль представил более подробный аргумент, почему полученное разделение следует считать справедливым. Во-вторых, он показал, как вычислить правильное деление более эффективно, чем табличный метод Ферма, который становится совершенно непрактичным (без современных компьютеров), если оно больше примерно 10. ${\ displaystyle r + s-1}$

Вместо того, чтобы просто рассматривать вероятность выиграть всю оставшуюся игру, Паскаль разработал принцип меньших шагов: предположим, что игроки смогли сыграть еще один раунд, прежде чем их прервали, и что мы уже решили, как справедливо разделить ставки. после этого еще один раунд (возможно, потому, что этот раунд позволяет одному из игроков выиграть). Воображаемый дополнительный раунд может привести к одному из двух возможных вариантов будущего с разными справедливыми делениями ставок, но поскольку у двух игроков есть равные шансы на победу в следующем раунде, они должны разделить разницу между двумя будущими делениями поровну. Таким образом, знание справедливых решений в играх с меньшим количеством оставшихся раундов может использоваться для расчета справедливых решений для игр с большим количеством оставшихся раундов.

Легче убедить себя в справедливости этого принципа, чем для таблицы возможных вариантов будущего Ферма, которые вдвойне гипотетичны, потому что нужно представить себе, что игра иногда продолжается после того, как была выиграна. Приведенный здесь анализ Паскаля - один из первых примеров использования ожидаемых значений вместо шансов при рассуждении о вероятности. Вскоре после этого эта идея стала основой для первого систематического трактата о вероятности Христиана Гюйгенса . Позже современная концепция вероятности выросла из использования математических ожиданий Паскаля и Гюйгенса.

Прямое применение пошагового правила Паскаля происходит значительно быстрее, чем метод Ферма, когда остается много раундов. Однако Паскаль смог использовать его в качестве отправной точки для разработки более продвинутых вычислительных методов. Путем умного манипулирования идентичностями с использованием того, что сегодня известно как треугольник Паскаля (включая несколько первых явных доказательств по индукции ), Паскаль наконец показал, что в игре, где одному игроку нужно r очков для победы, а другому нужно s очков для победы, правильное деление ставок производится в соотношении (используя современные обозначения)

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {s-1} {\ binom {r + s-1} {k}} {\ mbox {to}} \ sum _ {k = s} ^ {r + s-1} {\ binom {r + s-1} {k}}}$ где термин представляет собой оператор комбинации . ${\ Displaystyle {\ binom {г + с-1} {к}}}$

Проблема разделения ставок стала главным мотивирующим примером для Паскаля в его « Трактате об арифметическом треугольнике» .

Хотя вывод этого результата Паскалем не зависел от табличного метода Ферма, ясно, что он также точно описывает подсчет различных исходов дополнительных раундов, который предложил Ферма. ${\ displaystyle r + s-1}$

Примечания

Рекомендации

• Андерс Халд: История вероятностей и статистики и их приложений до 1750 года . Wiley 2003, ISBN   978-0-471-47129-5 , стр. 35, 54
• Кейт Девлин: Незаконченная игра: Паскаль, Ферма и письмо семнадцатого века, сделавшее мир современным . Основные книги 2010, ISBN   978-0465018963

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик У. «Треугольник Паскаля» . MathWorld .
• Раннее развитие математической вероятности
• Проблема баллов на MathForum
• Очень доступное объяснение проблемы баллов из Блог о вероятности и статистике .