Принципы математики -Principia Mathematica

Книгу Исаака Ньютона, содержащую основные законы физики, см. В Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica .
Не путать с « Основами математики» - другой книгой Рассела, опубликованной в 1903 году.

Титульный лист сокращенного журнала Principia Mathematica до №56.
✸54.43 : «Из этого предложения, после определения арифметического сложения, следует, что 1 + 1 = 2». - Том I, издание 1, с. 379 (с. 362 во 2-м изд.; С. 360 в сокращенном варианте). (Доказательство фактически завершено в томе II, 1-м издании, стр. 86 , сопровождаемом комментарием: «Вышеприведенное предложение иногда бывает полезным». Далее они говорят: «Оно используется по крайней мере три раза, в §113.66 и 120.123». .472. ")
Я помню, как Бертран Рассел рассказывал мне об ужасном сне. Он был на верхнем этаже университетской библиотеки, около 2100 года нашей эры. Помощник библиотеки обходил полки с огромным ведром, снимал книги, взглянул на них, складывал на полки или бросал в ведро. Наконец он дошел до трех больших томов, в которых Рассел мог распознать последнюю сохранившуюся копию Principia Mathematica . Он снял один из томов, перевернул несколько страниц, на мгновение казался озадаченным любопытной символикой, закрыл том, уравновесил его в руке и заколебался ...

Харди, Г. Х. (2004) [1940]. Извинения математика . Кембридж: Издательство университета. п. 83. ISBN 978-0-521-42706-7.

Он [Рассел] однажды сказал, после некоторого контакта с китайским языком, что он был в ужасе, обнаружив, что язык Principia Mathematica является индоевропейским.

Литтлвуд, Дж. Э. (1985). Сборник математиков . Кембридж: Издательство университета. п. 130.

Principia Mathematica (часто сокращенно PM ) является трехтомный труд по основам математики , написанных математиками Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел и опубликованный в 1910 году, 1912 и 1913. В 1925-27 он появился во втором издании с важным Введение ко второму изданию , в Приложении а , который заменил ✸9 и все-новое приложение B и Приложение C . PM не следует путать с « Основами математики» Рассела 1903 года . PM изначально была задумана как объем сиквел к 1903 году Рассела принципов , но , как PM государств, это стало невыполнимым предложение по практическим и философским причинам: «Настоящая работа была первоначально отводила нас состоять во втором объеме принципов математики . ... Но по мере того, как мы продвигались, становилось все более очевидным, что эта тема намного шире, чем мы предполагали; более того, по многим фундаментальным вопросам, которые оставались неясными и сомнительными в предыдущей работе, теперь мы пришли к тому, во что верим. быть удовлетворительными решениями ".

Согласно его введению, PM преследовал три цели: (1) максимально проанализировать идеи и методы математической логики и минимизировать количество примитивных понятий и аксиом , а также правил вывода ; (2) точно выражать математические предложения в символической логике, используя наиболее удобные обозначения, которые позволяет точное выражение; (3) разрешить парадоксы, которые преследовали логику и теорию множеств на рубеже 20-го века, такие как парадокс Рассела .

Эта третья цель мотивировала принятие теории типов в PM . Теория типов принимает грамматические ограничения на формулы, которые исключают неограниченное понимание классов, свойств и функций. Результатом этого является то, что формулы, позволяющие понять объекты, подобные множеству Рассела, оказываются плохо сформированными: они нарушают грамматические ограничения системы PM .

Нет сомнений в том, что PM имеет большое значение в истории математики и философии: как заметил Ирвин , он пробудил интерес к символической логике и продвинул предмет, популяризируя его; он продемонстрировал силу и возможности символической логики; и он показал, как успехи в философии математики и символической логики могут идти рука об руку с огромной плодотворностью. В самом деле, PM отчасти был вызван интересом к логицизму , взгляду, согласно которому все математические истины являются логическими истинами. Отчасти благодаря достижениям в PM , несмотря на его недостатки, были сделаны многочисленные достижения в мета-логике, включая теоремы Геделя о неполноте .

Для всех , что PM нотации не так широко используются сегодня: вероятно, в первую очередь причина этого заключается в том, что практикующие математики склонны считать , что фон Фонд является одной из форм системы теории множеств Цермело-Френкеля . Тем не менее, научный, исторический и философский интерес к PM велик и постоянен: например, Modern Library поместила его на 23-е место в списке 100 лучших англоязычных документальных книг двадцатого века. Есть также несколько статей о работе в рецензируемом Stanford Encyclopedia философии и научных исследователей продолжают работать с Principia , будь то по исторической причине понимания текста или его авторов, или по математическим причинам понимания или разработки Principia» s логический система.

Объем заложенных основ

Principia покрыты только теория множеств , кардинальные числа , порядковые номера , и действительные числа . Более глубокие теоремы из реального анализа не были включены, но к концу третьего тома специалистам стало ясно, что большая часть известной математики в принципе может быть развита в принятом формализме. Было также ясно, насколько длительным будет такое развитие событий.

Планировалось выпустить четвертый том по основам геометрии , но авторы признали интеллектуальное истощение после завершения третьего.

Теоретические основы

Как отмечается в критике теории Куртом Гёделем (ниже), в отличие от формалистической теории , «логицистская» теория PM не имеет «точного изложения синтаксиса формализма». Более того, в теории почти сразу видно, что интерпретации (в смысле теории моделей ) представлены в терминах истинностных значений для поведения символов «» (утверждение истины), «~» (логическое «не»). , и "V" (логическое включающее ИЛИ).

Истинные ценности : PM включает понятия «истина» и «ложь» в понятие «примитивное суждение». Необработанная (чистая) формалистическая теория не предоставила бы значения символов, образующих «примитивное суждение» - сами символы могут быть абсолютно произвольными и незнакомыми. Теория будет определять только то, как символы ведут себя на основе грамматики теории . Позже, путем присвоения «значений», модель будет определять интерпретацию того, что говорят формулы. Таким образом, в приведенном ниже формальном символе Клини «интерпретация» того, что обычно означают символы, и, косвенно, как они в конечном итоге используются, дается в скобках, например, «¬ (не)». Но это не чисто формалистская теория.

Современное построение формальной теории

Список предложений по именам

Предлагается следующая формалистическая теория в отличие от логицистской теории PM . Современная формальная система будет построена следующим образом:

  1. Используемые символы : этот набор является начальным набором, и другие символы могут появляться, но только по определению из этих начальных символов. Начальным набором может быть следующий набор, полученный из Клини 1952: логические символы : «→» (подразумевает, ЕСЛИ-ТО и «⊃»), «&» (и), «V» (или), «¬» ( нет), «∀» (для всех), «∃» (есть); предикатный символ "=" (равно); функциональные символы «+» (арифметическое сложение), «∙» (арифметическое умножение), «'» (преемник); индивидуальный символ «0» (ноль); переменные « a », « b », « c » и т.д .; и круглые скобки "(" и ")".
  2. Строки символов : теория будет строить «цепочки» из этих символов путем объединения (сопоставления).
  3. Правила формирования : теория определяет правила синтаксиса (правила грамматики) обычно как рекурсивное определение, которое начинается с «0» и указывает, как строить приемлемые строки или «правильно сформированные формулы» (wffs). Сюда входит правило «подстановки» строк на символы, называемые «переменными».
  4. Правило (а) преобразования : аксиомы, которые определяют поведение символов и их последовательностей.
  5. Правило вывода, непривязанность, modus ponens : Правило, которое позволяет теории «отделить» «вывод» от «посылок», которые к нему привели, и затем отбросить «посылки» (символы слева от строки │ или символы над линией, если они расположены горизонтально). Если бы это было не так, то замена привела бы к более длинным строкам, которые нужно было бы переносить. Действительно, после применения modus ponens не остается ничего, кроме заключения, остальное исчезает навсегда.
Современные теории часто определяют в качестве своей первой аксиомы классический или modus ponens, или «правило непривязанности»:
А , А ⊃ В │ Б
Символ «│» обычно пишется горизонтальной линией, здесь «⊃» означает «подразумевает». Символы A и B заменяют струны; эта форма записи называется «схемой аксиом» (т. е. существует счетное число конкретных форм, которые может принимать запись). Это можно прочитать аналогично IF-THEN, но с разницей: данная строка символов IF A и A подразумевает B THEN B (и сохраняет только B для дальнейшего использования). Но у символов нет «интерпретации» (например, нет «таблицы истинности», «значений истинности» или «функций истинности»), и modus ponens действует механистически, только с помощью грамматики.

Строительство

Теория ПМ имеет как значительные сходства, так и сходные различия с современной формальной теорией. Клини заявляет, что «этот вывод математики из логики был предложен как интуитивная аксиоматика. Предполагалось, что в эти аксиомы нужно верить или, по крайней мере, принимать их в качестве правдоподобных гипотез, касающихся мира». В самом деле, в отличие от формалистской теории, которая манипулирует символами в соответствии с правилами грамматики, PM вводит понятие «истинностных ценностей», то есть истины и ложности в реальном смысле, и «утверждение истины» почти сразу в качестве пятого. и шестые элементы в структуре теории ( PM 1962: 4–36):

  1. Переменные
  2. Использование различных букв
  3. Фундаментальные функции предложений : «функция противоречия», символизируемая знаком «~», и «логическая сумма или дизъюнктивная функция», символизируемая буквой «», считаются примитивными и определенными логическими импликациями (следующий пример также используется для иллюстрации 9. Определение ниже ) как
    p ⊃ q . = . ~ p ∨ q Df . ( PM 1962: 11)
    и логический продукт, определенный как
    стр . q . = . ~ (~ p ∨ ~ q ) Df . ( PM 1962: 12)
  4. Эквивалентность : логическая эквивалентность, а не арифметическая эквивалентность: «≡» дано как демонстрация того, как используются символы, т.е. «Таким образом,« p ≡ q »означает« ( p ⊃ q ) . ( Q ⊃ p ) »». ( PM 1962: 7). Обратите внимание, что при обсуждении обозначения PM идентифицирует "мета" -отношение с "[пробел] ... [пробел]":
    Логическая эквивалентность снова появляется как определение :
    p ≡ q . = . ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) ( PM 1962: 12),
    обратите внимание на появление скобок. Это грамматическое использование не указано и появляется спорадически; круглые скобки действительно играют важную роль в символьных строках, например, обозначение «( x )» для современного «∀ x ».
  5. Истинные ценности : « Истинная ценность предложения - это истина, если она истинна, и ложь, если она ложна» (эта фраза принадлежит Готтлобу Фреге ) ( PM 1962: 7).
  6. Утверждение-знак : «⊦ . Р может быть прочитан„ это правда , что“... Таким образом , „⊦ : стр . ⊃ . Q “означает„это верно , что р подразумевает д “, а '⊦ . П . ⊃⊦ « q » означает « p истинно; следовательно, q истинно». Первое из них не обязательно подразумевает истинность либо p, либо q , тогда как второе подразумевает истинность обоих »( PM 1962: 92).
  7. Вывод : версия modus ponens от PM . «[Если] '⊦ . P ' и '⊦ ( p ⊃ q )' произойдут, тогда будет '⊦ . Q ', если это желательно записать. Процесс вывода не может быть сведен к символам. Единственная запись - это появление «⊦ . Q » [другими словами, символы слева исчезают или могут быть стерты] »( PM 1962: 9).
  8. Использование точек
  9. Определения : в них используется знак "=" с "Df" в правом конце.
  10. Резюме предыдущих утверждений : краткое обсуждение примитивных идей «~ p », « p ∨ q » и «⊦», стоящих перед предложением.
  11. Примитивные предложения : аксиомы или постулаты. Это было значительно изменено во втором издании.
  12. Пропозициональные функции : понятие «пропозиция» было значительно изменено во втором издании, включая введение «атомарных» пропозиций, связанных логическими знаками, чтобы сформировать «молекулярные» пропозиции, и использование замены молекулярных пропозиций на атомарные или молекулярные предложения, чтобы создавать новые выражения.
  13. Диапазон значений и общая вариация
  14. Неоднозначное утверждение и реальная переменная : этот и следующие два раздела были изменены или исключены во втором издании. В частности, во втором издании было оставлено различие между понятиями, определенными в разделах 15. Определение и действительная переменная и 16 утверждений, связывающих действительные и кажущиеся переменные .
  15. Формальная импликация и формальная эквивалентность
  16. Личность
  17. Классы и отношения
  18. Различные описательные функции отношений
  19. Множественные описательные функции
  20. Классы юнитов

Примитивные идеи

Ср. PM 1962: 90–94, для первого издания:

  • (1) Элементарные предложения .
  • (2) Элементарные предложения функций .
  • (3) Утверждение : вводит понятия «истина» и «ложь».
  • (4) Утверждение пропозициональной функции .
  • (5) Отрицание : «Если p - это какое-либо предложение, предложение« not- p »или« p ложно »будет представлено как« ~ p »».
  • (6) Дизъюнкция : «Если p и q - какие-либо предложения, предложение« p или q » , т. Е.« Либо p истинно, либо q истинно », где альтернативы не должны быть взаимоисключающими, будет представлено как« p ∨ q "".
  • (см. раздел B)

Примитивные предложения

Первое издание (см дискуссионных относительно второго издания, ниже) начинается с определением знака «⊃»

✸1.01 . p ⊃ q . = . ~ p ∨ q . Df .

✸1.1 . Все, что подразумевается истинным элементарным предложением, верно. PP modus ponens

( 1.11 был оставлен во втором издании.)

✸1.2 . ⊦ : п ∨ п . ⊃ . стр . Принцип тавтологии пп

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q . Принцип сложения пп

✸1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p . Рр принцип перестановки

✸1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . д ∨ ( р ∨ г ). ПП ассоциативный принцип

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . п ∨ р . Рр принцип суммирования

✸1.7 . Если p - элементарное предложение, то ~ p - элементарное предложение. Пп

✸1,71 . Если p и q элементарные предложения, p ∨ q элементарное предложение. Пп

✸1,72 . Если φ p и ψ p - элементарные пропозициональные функции, которые принимают элементарные предложения в качестве аргументов, φ p ∨ ψ p - элементарное предложение. Пп

Вместе с «Введением ко второму изданию» Приложение А ко второму изданию исключает весь раздел №9 . Сюда входят шесть примитивных предложений с ✸9 по 9.15 вместе с аксиомами сводимости.

Пересмотренная теория усложняется введением черточки Шеффера («|»), чтобы символизировать «несовместимость» (т. Е. Если оба элементарных предложения p и q верны, их «штрих» p | q ложен), современный логический И-НЕ (не-И). В пересмотренной теории Введение представляет понятие «атомарного предложения», «данных», которые «относятся к философской части логики». В них нет частей, которые являются предложениями и не содержат понятий «все» или «некоторые». Например: «это красный» или «это раньше, чем это». Такие вещи могут существовать до бесконечности , т. Е. Даже «бесконечное перечисление» из них, чтобы заменить «общность» (т. Е. Понятие «для всех»). Затем ПМ «продвигается [и] к молекулярным суждениям», которые все связаны «чертой». Определения дают эквивалентности для «~», «∨», «⊃» и « . ».

Новое введение определяет «элементарные предложения» как атомные и молекулярные позиции вместе. Затем он заменяет все примитивные предложения с 1.2 по ✸1.72 одним примитивным предложением, сформулированным в терминах штриха:

«Если p , q , r - элементарные предложения, заданные p и p | ( q | r ), мы можем вывести r . Это примитивное предложение».

В новом введении сохранены обозначения «существует» (теперь преобразовано в «иногда верно») и «для всех» (преобразовано в «всегда верно»). Приложение A усиливает понятие «матрица» или «предикативная функция» («примитивная идея», PM 1962: 164) и представляет четыре новых примитивных утверждения как 8.1 – 8.13 .

№88 . Мультипликативная аксиома

✸120 . Аксиома бесконечности

Разветвленные типы и аксиома сводимости

В простой теории типов объекты - это элементы различных непересекающихся «типов». Типы неявно создаются следующим образом. Если τ 1 , ..., τ m - типы, то существует тип (τ 1 , ..., τ m ), который можно рассматривать как класс пропозициональных функций от τ 1 , ..., τ m ( которое в теории множеств по сути является множеством подмножеств τ 1 × ... × τ m ). В частности, есть тип () предложений, и может быть тип ι (йота) «индивидов», из которых построены другие типы. Обозначения Рассела и Уайтхеда для построения типов из других типов довольно громоздки, и эти обозначения здесь принадлежат Черчу .

В теории разветвленных типов ПМ все объекты являются элементами различных непересекающихся разветвленных типов. Разветвленные типы неявно строятся следующим образом. Если τ 1 , ..., τ m , σ 1 , ..., σ n - разветвленные типы, то, как и в теории простых типов, существует тип (τ 1 , ..., τ m , σ 1 , ... , σ n ) «предикативных» пропозициональных функций от τ 1 , ..., τ m , σ 1 , ..., σ n . Однако существуют также разветвленные типы (τ 1 , ..., τ m | σ 1 , ..., σ n ), которые можно рассматривать как классы пропозициональных функций от τ 1 , ... τ m, полученные из пропозициональные функции типа (τ 1 , ..., τ m , σ 1 , ..., σ n ) путем количественной оценки по σ 1 , ..., σ n . Когда n = 0 (т.е. нет σs), эти пропозициональные функции называются предикативными функциями или матрицами. Это может сбивать с толку, потому что современная математическая практика не делает различий между предикативными и непредикативными функциями, и в любом случае PM никогда точно не определяет, что на самом деле представляет собой «предикативная функция»: это понятие принято как примитивное.

Рассел и Уайтхед обнаружили, что невозможно развивать математику, сохраняя при этом разницу между предикативными и непредикативными функциями, поэтому они ввели аксиому сводимости , заявив, что для каждой непредикативной функции существует предикативная функция, принимающая одинаковые значения. На практике эта аксиома означает, что элементы типа (τ 1 , ..., τ m | σ 1 , ..., σ n ) можно отождествить с элементами типа (τ 1 , ..., τ m ), что приводит к сворачиванию иерархии разветвленных типов до простой теории типов. (Строго говоря, это не совсем правильно, потому что PM позволяет двум пропозициональным функциям быть разными, даже если они принимают одинаковые значения для всех аргументов; это отличается от современной математической практики, где обычно идентифицируются две такие функции.)

В теории множеств Цермело можно смоделировать теорию разветвленных типов PM следующим образом. В качестве типа индивидов выбирается набор ι. Например, ι может быть набором натуральных чисел или набором атомов (в теории множеств с атомами) или любым другим набором, который вас интересует. Тогда, если τ 1 , ..., τ m - типы, тип (τ 1 , ..., τ m ) - это набор степеней произведения τ 1 × ... × τ m , который также можно неформально рассматривать как набор (пропозициональных предикативных) функций от этого произведения до 2 -element set {true, false}. Разветвленный тип (τ 1 , ..., τ m | σ 1 , ..., σ n ) можно смоделировать как произведение типа (τ 1 , ..., τ m , σ 1 , ... , σ n ) с набором последовательностей из n кванторов (∀ или ∃), указывающих, какой квантор должен применяться к каждой переменной σ i . (Можно немного изменить это, разрешив количественную оценку σs в любом порядке или допустив их появление перед некоторыми τs, но это не имеет большого значения, кроме бухгалтерского учета.)

Обозначение

Основная статья: Глоссарий Principia Mathematica

Один автор отмечает, что «обозначения в этой работе были вытеснены последующим развитием логики в течение 20-го века до такой степени, что новичку вообще трудно читать PM»; Хотя большая часть символического содержания может быть преобразована в современные обозначения, исходные обозначения сами по себе являются «предметом научных споров», а некоторые обозначения «воплощают существенные логические доктрины, так что их нельзя просто заменить современным символизмом».

Курт Гёдель резко критиковал обозначения:

«Это пожалеть , что это первое всеобъемлющий и основательное представление математической логики и вывод математики из него [это] так сильно не хватают в формальной точности в фундаментах (содержащихся в ✸1-✸21 из Начал [т.е. , разделы ✸1 – ✸5 (логика высказываний), ✸8–14 (логика предикатов с тождеством / равенством), ✸20 (введение в теорию множеств) и ✸21 (введение в теорию отношений)]), которые он представляет в этом уважать значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Что не хватает, прежде всего, это точное изложение синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опускаются даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств ".

Это отражено в приведенном ниже примере символов « p », « q », « r » и «⊃», которые могут быть сформированы в строку « p ⊃ q ⊃ r ». PM требует определения того, что означает эта строка символов в терминах других символов; в современных трактовках «правила формирования» (синтаксические правила, приводящие к «хорошо сформированным формулам») предотвратили бы формирование этой строки.

Источник обозначений : Глава I «Предварительные пояснения идей и обозначений» начинается с источника элементарных частей обозначений (символов = ⊃≡ − ΛVε и системы точек):

«Обозначения, принятые в настоящей работе, основаны на обозначениях Пеано , и следующие пояснения в некоторой степени основаны на тех, которые он ставит перед своим Formulario Mathematico [то есть, Peano 1889]. Его использование точек в качестве скобок принято, и так много его символов »( PM 1927: 4).

PM изменил Пеано на ⊃, а также перенял несколько более поздних символов Пеано, таких как ℩ и ι, и практику Пеано переворачивать буквы вверх ногами.

PM принимает знак утверждения «⊦» из Begriffsschrift Фреге 1879 года :

"(I) t может быть прочитано" это правда, что ""

Таким образом, чтобы утвердить предложение p, PM пишет:

"⊦ . P. " ( PM 1927: 92)

(Обратите внимание, что, как и в оригинале, левая точка квадратная и имеет больший размер, чем точка справа.)

Большинство остальных обозначений в PM было изобретено Уайтхедом.

Введение в обозначения раздела «Математическая логика» (формулы ✸1 – ✸5.71)

Точки PM используются аналогично круглым скобкам. Каждая точка (или несколько точек) представляет собой левую или правую круглую скобку или логический символ ∧. Более одной точки обозначают «глубину» круглых скобок, например, « . », « : » Или « :. », « :: ». Однако положение совпадающих правой или левой круглой скобки не указывается явно в обозначении, но должно быть выведено из некоторых правил, которые являются сложными и временами неоднозначными. Более того, когда точки обозначают логический символ, его левый и правый операнды должны быть выведены с использованием аналогичных правил. Сначала нужно решить в зависимости от контекста, обозначают ли точки левую или правую круглую скобку или логический символ. Затем нужно решить, насколько далеко находится другая соответствующая скобка: здесь продолжается, пока не встретится либо большее количество точек, либо то же количество точек, следующее, которые имеют равную или большую «силу», либо конец строки. Точки рядом со знаками ⊃, ≡, ∨, = Df имеют большую силу, чем точки рядом с ( x ), (∃ x ) и т. Д., Которые имеют большую силу, чем точки, обозначающие логическое произведение ∧.

Пример 1. Линия

✸ 3.4 . ⊢ : стр . q . ⊃ . p ⊃ q

соответствует

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Две точки, стоящие вместе сразу после знака утверждения, указывают на то, что утверждается вся строка: поскольку их две, их область действия больше, чем область действия любой из отдельных точек справа от них. Они заменяются левой круглой скобкой, стоящей на месте точек, и правой круглой скобкой в ​​конце формулы, таким образом:

⊢ (р . Д . ⊃ . Р ⊃ д).

(На практике эти крайние круглые скобки, которые заключают всю формулу, обычно опускаются.) Первая из одиночных точек, стоящая между двумя пропозициональными переменными, представляет соединение. Он относится к третьей группе и имеет самую узкую область применения. Здесь он заменен современным символом союза «», таким образом

⊢ (p ∧ q . ⊃ . P ⊃ q).

Две оставшиеся точки выделяют главную связку всей формулы. Они иллюстрируют полезность точечной записи при выборе тех связок, которые относительно более важны, чем те, которые их окружают. Один слева от "⊃" заменяется парой круглых скобок, правая идет туда, где находится точка, а левая идет как можно дальше влево, не пересекая группу точек большей силы, в в этом случае две точки, следующие за знаком утверждения, таким образом

⊢ ((p ∧ q) ⊃ . P ⊃ q)

Точка справа от "⊃" заменяется левой круглой скобкой, которая идет туда, где находится точка, и правой круглой скобкой, которая идет как можно дальше вправо, не выходя за рамки, уже установленные группой точек большего размера. сила (в данном случае две точки, следующие за знаком утверждения). Таким образом, правая скобка, которая заменяет точку справа от "⊃", помещается перед правой круглой скобкой, которая заменяет две точки, следующие за знаком утверждения, таким образом

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Пример 2 с двойными, тройными и четверными точками:

✸9,521 . ⊢:: (∃x). φx. ⊃. q: ⊃:. (∃x). φx. v. г: ⊃. qvr

означает

((((∃x) (φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (qvr)))

Пример 3, с двойной точкой, обозначающей логический символ (из тома 1, страница 10):

p ⊃ q : q ⊃ r .⊃. п ⊃ р

означает

( p ⊃ q ) ∧ (( q ⊃ r ) ⊃ ( p ⊃ r ))

где двойная точка представляет логический символ ∧ и может рассматриваться как имеющая более высокий приоритет как нелогическая одиночная точка.

Позже в разделе ✸14 появляются квадратные скобки «[]», а в разделах following20 и далее появляются фигурные скобки «{}». Неясно, имеют ли эти символы конкретное значение или предназначены только для визуального пояснения. К сожалению, одиночная точка (а также « : », « :. », « :: » и т. Д.) Также используется для обозначения «логического продукта» (современное логическое И часто обозначается «&» или «∧»).

Логическая импликация представлена ​​«» Пеано, упрощенной до «⊃», логическое отрицание символизируется удлиненной тильдой, то есть «~» (современное «~» или «¬»), логическое ИЛИ - «v». Символ «=» вместе с «Df» используется для обозначения «определяется как», тогда как в разделах ✸13 и последующих «=» определяется как (математически) «идентично с», т. Е. Современное математическое «равенство» ( см. обсуждение в разделе 13 ). Логическая эквивалентность представлена ​​буквой «» (современное «тогда и только тогда»); «элементарные» пропозициональные функции записываются обычным образом, например, « f ( p )», но позже знак функции появляется непосредственно перед переменной без скобок, например «φ x », «χ x » и т. д.

Например, PM вводит определение «логического продукта» следующим образом:

✸3.01 . стр . q . = . ~ (~ p v ~ q ) Df .
где « p . q » - логическое произведение p и q .
✸3.02 . p ⊃ q ⊃ r . = . p ⊃ q . q ⊃ r Df .
Это определение служит просто для сокращения доказательств.

Перевод формул в современные символы : разные авторы используют альтернативные символы, поэтому окончательного перевода дать нельзя. Однако из-за критики, подобной приведенной ниже критике Курта Гёделя , лучшие современные трактовки будут очень точными в отношении «правил формирования» (синтаксиса) формул.

Первую формулу можно преобразовать в современный символизм следующим образом:

( p & q ) = df (~ (~ p v ~ q ))

попеременно

( p & q ) = df (¬ (¬ p v ¬ q ))

попеременно

( p ∧ q ) = df (¬ (¬ p v ¬ q ))

и т.п.

Вторую формулу можно преобразовать следующим образом:

( p → q → r ) = df ( p → q ) & ( q → r )

Но обратите внимание, что это (логически) не эквивалентно ни ( p → ( q → r )), ни (( p → q ) → r ), и эти два логически не эквивалентны.

Введение в обозначения «Раздела B Теории кажущихся переменных» (формулы ✸8 – ✸14.34)

Эти разделы касаются того, что сейчас известно как логика предикатов и логика предикатов с идентичностью (равенством).

  • NB: В результате критики и продвижений во втором издании PM (1927 г.) №9 заменяется новым №8 (Приложение A). Этот новый раздел устраняет различие в первом издании между действительными и кажущимися переменными, и он устраняет «примитивную идею« утверждение пропозициональной функции ». Чтобы усложнить трактовку, ✸8 вводит понятие подстановки« матрицы », и мазок Шеффера :
  • Матрица : В современном использовании PM «s матрица (по крайней мере , для пропозициональных функций ), в таблице истинности , то есть, все истинностные значения пропозициональной или предикатной функции.
  • Ход Шеффера : является ли современное логическое И- НЕ (НЕ-И), т. Е. «Несовместимость», означающее:
«Учитывая два предложения p и q , тогда ' p | q ' означает, что« предложение p несовместимо с предложением q », т. Е. Если оба предложения p и q оцениваются как истинные, тогда и только тогда p | q оценивается как ложное». После раздела ✸8 обводка Шеффера не используется.

Раздел №10: Экзистенциальные и универсальные «операторы» : PM добавляет «( x )», чтобы представить современный символизм «для всех x », то есть «∀ x », и использует E с обратными засечками для представления «существует x». «, то есть« (Ǝx) », то есть современное« ∃x ». Типичные обозначения будут похожи на следующие:

«( x ) . φ x » означает «для всех значений переменной x функция φ принимает истинное значение»
«(Ǝ х ) . Ф х » означает «при некотором значении переменной х , функция ф принимает значение истина»

Разделы №10, №11, №12: Свойства переменной распространены на всех людей : в разделе №10 вводится понятие «свойства» «переменной». PM приводит пример: φ - это функция, которая указывает «является греком», а ψ указывает «является человеком», а χ указывает, что «смертный», эти функции затем применяются к переменной x . PM теперь может писать и оценивать:

( х ) . ψ x

Приведенные выше обозначения означают «для всех x , x - человек». Учитывая совокупность людей, можно оценить приведенную выше формулу на предмет истинности или ложности. Например, с учетом ограниченного набора индивидов {Сократ, Платон, Рассел, Зевс} вышесказанное оценивается как «истинное», если мы допускаем, чтобы Зевс был человеком. Но это не для:

( х ) . φ x

потому что Рассел не грек. И это не для

( х ) . х х

потому что Зевс не смертный.

Обладая этим обозначением, PM может создавать формулы, выражающие следующее: «Если все греки - люди, и если все люди смертны, то все греки - смертные». ( PM 1962: 138)

( х ) . φ x ⊃ ψ x : ( х ) . ψ х ⊃ х х : ⊃ : ( х ) . ф х ⊃ х х

Другой пример: формула:

✸10.01 . (Ǝ х ) . ф х . = . ~ ( х ) . ~ φ x Df .

означает: «Символы, представляющие утверждение« Существует по крайней мере один x , удовлетворяющий функции φ », определяются символами, представляющими утверждение« Это неправда, что при всех значениях x не существует значений x, удовлетворяющих φ »».

Символы ⊃ x и «≡ x » появляются в 10.02 и 10.03 . Оба являются сокращениями универсальности (т. Е. Для всех), которые связывают переменную x с логическим оператором. В современных обозначениях вместо знака равенства ("=") просто использовались бы круглые скобки:

✸10.02 φ x ⊃ x ψ x . = . ( х ) . φ x ⊃ ψ x Df
Современное обозначение: ∀ x (φ ( x ) → ψ ( x )) (или вариант)
✸10.03 φ x ≡ x ψ x . = . ( х ) . φ x ≡ ψ x Df
Современное обозначение: ∀ x (φ ( x ) ↔ ψ ( x )) (или вариант)

Премьер-министр приписывает Пеано первый символизм.

В разделе ✸11 этот символизм применяется к двум переменным. Таким образом, в одной формуле могут появиться следующие обозначения: x , ⊃ y , ⊃ x, y .

Раздел ✸12 вновь вводит понятие «матрица» (современная таблица истинности ), понятие логических типов и, в частности, понятия функций и предложений первого и второго порядка .

Новый символизм «φ ! X » представляет любое значение функции первого порядка. Если над переменной помещается циркумфлекс «», то это «индивидуальное» значение y , означающее, что « ŷ » обозначает «отдельных лиц» (например, строку в таблице истинности); это различие необходимо из-за матричной / экстенсиональной природы пропозициональных функций.

Теперь, вооружившись понятием матрицы, PM может утверждать свою спорную аксиому сводимости : функция одной или двух переменных (двух достаточно для использования PM ), где все ее значения заданы (т. Е. В ее матрице) (логически) эквивалент («≡») некоторой «предикативной» функции тех же переменных. Определение одной переменной приводится ниже в качестве иллюстрации обозначения ( PM 1962: 166–167):

✸12.1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡ х . е ! x Pp ;

Pp - это «примитивное суждение» («Предложения, предполагаемые без доказательства») ( PM 1962: 12, т. Е. Современные «аксиомы»), добавляющее к 7, определенным в разделе ✸1 (начиная с 1.1 modus ponens ). Их следует отличать от «примитивных идей», которые включают знак утверждения «», отрицание «~», логическое ИЛИ «V», понятия «элементарное предложение» и «элементарная пропозициональная функция»; они настолько близки, насколько PM подходит к правилам формирования записи, т. е. синтаксису .

Это означает: «Мы утверждаем истинность следующего: существует функция f со свойством, которое: при всех значениях x их вычисления в функции φ (т. Е. Результирующая их матрица) логически эквивалентны некоторому f, вычисленному в тех же самых значения x . (и наоборот, отсюда логическая эквивалентность) ". Другими словами: для данной матрицы, определяемой свойством φ, примененным к переменной x , существует функция f, которая в применении к x логически эквивалентна матрице. Или: каждая матрица φ x может быть представлена ​​функцией f, примененной к x , и наоборот.

✸13: Оператор идентификации "=" : это определение, которое использует знак двумя разными способами, как отмечено в цитате из PM :

✸13.01 . х = у . = : (φ) : φ ! х . ⊃ . φ ! y Df

средства:

"Это определение гласит, что x и y должны называться идентичными, если каждая предикативная функция, удовлетворяемая x , также удовлетворяется y ... Обратите внимание, что второй знак равенства в приведенном выше определении сочетается с" Df "и, следовательно, не на самом деле тот же символ, что и определяемый знак равенства ".

Знак «не равно» «≠» появляется как определение в ✸13.02 .

✸14: Описание :

«А описание есть фраза в форме„термин у которого удовлетворяет ф Y , где φ сечение ■ некоторая функция удовлетворяет одному и только одному аргументу“.

Из этого PM используются два новых символа, прямая «E» и перевернутая йота «». Вот пример:

✸14.02 . E ! (℩ y ) (φ y ) . = : (Ǝ b ) : φ y . ≡ у . у = b Df .

Это имеет значение:

« Y, удовлетворяющий φ ŷ, существует», что выполняется тогда и только тогда, когда φ ŷ удовлетворяется одним значением y и никаким другим значением. ( PM 1967: 173–174)

Введение в обозначения теории классов и отношений

Текст переходит от раздела №14 непосредственно к основному разделу №20 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ и №21 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ . «Отношения» - это то, что в современной теории множеств известно как наборы упорядоченных пар . В разделах ✸20 и ✸22 представлены многие символы, которые все еще используются в наши дни . К ним относятся символы «ε», «⊂», «∩», «∪», «-», «Λ» и «V»: «ε» означает «является элементом» ( PM 1962: 188); «⊂» ( ✸22.01 ) означает «содержится в», «является подмножеством»; «∩» ( ✸22.02 ) означает пересечение (логическое произведение) классов (множеств); «∪» ( ✸22.03 ) означает объединение (логическую сумму) классов (множеств); «-» ( ✸22.03 ) означает отрицание класса (множества); «Λ» означает нулевой класс; и "V" означает универсальный класс или универсум дискурса.

Строчные греческие буквы (кроме «ε», «ι», «π», «φ», «ψ», «χ» и «θ») представляют классы (например, «α», «β», «γ»). "," δ "и т. д.) ( PM 1962: 188):

х ε α
«Использование одной буквы вместо символов, таких как ẑ (φ z ) или ẑ (φ ! Z ), практически необходимо, поскольку в противном случае обозначение быстро становится невыносимо громоздким. Таким образом,« x ε α »будет означать, что« x является член класса α '". ( PM 1962: 188)
α ∪ –α = V
Объединение множества и его инверсии является универсальным (завершенным) множеством.
α ∩ –α = Λ
Пересечение набора и его обратного - это нулевой (пустой) набор.

Применительно к отношениям в разделе ✸23 РАСЧЕТ ОТНОШЕНИЙ символы «⊂», «∩», «∪» и «-» приобретают точку: например: «⊍», «∸».

Понятие и обозначение «класса» (множества) : В первом издании PM утверждает, что не требуется никаких новых примитивных идей для определения того, что подразумевается под «классом», и только два новых «примитивных предложения», называемых аксиомами. сводимости для классов и отношений соответственно ( PM 1962: 25). Но прежде , чем это понятие можно определить, PM считает необходимым создать своеобразное обозначение « Z (φ г )» , что она называет «фиктивный объект». ( PM 1962: 188)

⊢ : x ε ẑ (φ z ) . ≡ . (ф х )
«т. е.« x является членом класса, определяемого (φ is ) »[логически] эквивалентно« x удовлетворяет (φ ẑ ) »или« (φ x ) истинно ».». ( PM 1962: 25)

По крайней мере, PM может рассказать читателю, как ведут себя эти фиктивные объекты, потому что «класс полностью определен, когда известно его членство, то есть не может быть двух разных классов, имеющих одинаковое членство» ( PM 1962: 26). Это символизируется следующим равенством (аналогично п. 13.01 выше:

ẑ (φ z ) = ẑ (ψ z ) . ≡ : ( х ) : φ х . ≡ . ψ x
«Последнее является отличительной чертой классов и оправдывает нас, когда мы рассматриваем ẑ (ψ z ) как класс, определяемый [функцией] ψ ẑ ». ( PM 1962: 188)

Возможно, сказанное выше может быть прояснено обсуждением классов во введении ко второму изданию , в котором аксиома сводимости устраняется и заменяется понятием: «Все функции функций экстенсиональны» ( PM 1962: xxxix), т. Е.

φ х ≡ х ψ х . ⊃ . ( x ) : ƒ (φ ẑ ) ≡ ƒ (ψ ẑ ) ( PM 1962: xxxix)

Это имеет разумный смысл , что «если для всех значений х в истинности значения функций ф и г о х являются [логически] эквивалентны, то функция ƒ от заданной φ Z и ƒ из ф Z являются [логически] эквивалент . " PM утверждает, что это «очевидно»:

"Это очевидно, поскольку φ может появиться в ƒ (φ ẑ ) только при подстановке значений φ вместо p, q, r, ... в [логической-] функции, и, если φ x ≡ ψ x , подмена φ х для р в [логико] функции дает то же истинностное значение истинности функции в качестве подмены ψ х . Следовательно , больше нет никаких оснований различать функции классов, потому что мы имеем, в в силу вышеизложенного,
φ х ≡ х ψ х . ⊃ . ( х ) . φ ẑ = . ψ ẑ ".

Обратите внимание на изменение знака равенства "=" справа. PM продолжает утверждать, что будет продолжать придерживаться обозначения « (φ z )», но это просто эквивалентно φ ẑ , и это класс. (все цитаты: PM 1962: xxxix).

Последовательность и критика

Согласно «Логическим основам математики» Карнапа , Рассел хотел теорию, о которой можно было бы правдоподобно сказать, что она выводит всю математику из чисто логических аксиом. Однако Principia Mathematica требовала, в дополнение к основным аксиомам теории типов, еще три аксиомы, которые казались неверными как простые вопросы логики, а именно аксиома бесконечности , аксиома выбора и аксиома сводимости . Поскольку первые две были экзистенциальными аксиомами, Рассел сформулировал математические утверждения в зависимости от них как условные. Но сводимость требовалась, чтобы быть уверенным, что формальные утверждения даже должным образом выражают утверждения реального анализа, так что утверждения, зависящие от него, не могли быть переформулированы как условные. Фрэнк П. Рэмси пытался утверждать, что разветвление Расселом теории типов было ненужным, так что сводимость могла быть устранена, но эти аргументы казались неубедительными.

Помимо статуса аксиом как логических истин , можно задать следующие вопросы о любой системе, такой как PM:

Было известно, что сама логика высказываний непротиворечива, но то же самое не было установлено для аксиом теории множеств Principia . (См . Вторую проблему Гильберта .) Рассел и Уайтхед подозревали, что система в PM неполна: например, они указали, что она не кажется достаточно мощной, чтобы показать, что кардинал ℵ ω существует. Однако можно спросить, является ли какое-то ее рекурсивно аксиоматизируемое расширение полным и непротиворечивым.

Гёдель 1930, 1931

В 1930 году теорема Гёделя о полноте показала, что логика предикатов первого порядка сама по себе полна в гораздо более слабом смысле - то есть, любое предложение, которое недоказуемо с помощью данного набора аксиом, должно на самом деле быть ложным в некоторой модели аксиом. Однако это не самое сильное чувство полноты, желаемое для Principia Mathematica, поскольку данная система аксиом (например, Principia Mathematica) может иметь множество моделей, в некоторых из которых данное утверждение истинно, а в других - это утверждение. ложно, так что утверждение остается нерешенным аксиомами.

Теоремы Гёделя о неполноте проливают неожиданный свет на эти два взаимосвязанных вопроса.

Первая теорема Гёделя о неполноте показала, что никакое рекурсивное расширение Principia не может быть одновременно непротиворечивым и полным для арифметических утверждений. (Как упоминалось выше, для некоторых неарифметических утверждений уже было известно, что сами принципы являются неполными.) Согласно теореме, в каждой достаточно мощной рекурсивной логической системе (такой как « Начала» ) существует утверждение G, которое, по сути, гласит: « утверждение G не может быть доказано ". Такое утверждение является своего рода уловкой-22 : если G доказуемо, то оно ложно, и поэтому система непоследовательна; и если G недоказуемо, то это правда, и поэтому система неполна.

Вторая теорема Гёделя о неполноте (1931) показывает, что никакая формальная система, расширяющая основную арифметику, не может использоваться для доказательства ее собственной непротиворечивости. Таким образом, утверждение «не существует никаких противоречий в Principia системе» не может быть доказана в Principia системе , если там нет противоречий в системе (в этом случае он может быть испытанной и истинным и ложным).

Витгенштейн 1919, 1939

Ко второму изданию ПМ Рассел удалил свою аксиому сводимости к новой аксиоме (хотя он и не заявляет об этом как таковую). Гёдель 1944: 126 описывает это так:

«Это изменение связано с новой аксиомой о том, что функции могут встречаться в предложениях только« через свои значения », т. Е. Экстенсионально ... [это] совершенно не вызывает возражений даже с конструктивной точки зрения ... при условии, что кванторы всегда ограничены определением. заказы ». Этот переход от квазиинтенсиональной позиции к полностью экстенсиональной позиции также ограничивает логику предикатов вторым порядком, то есть функциями функций: «Мы можем решить, что математика должна ограничиться функциями функций, которые подчиняются вышеуказанному предположению» ( PM 2nd редакция стр.401, приложение C).

Это новое предложение привело к плачевным результатам. «Экстенсиональная позиция» и ограничение логики предикатов второго порядка означают, что пропозициональная функция, распространенная на всех индивидов, например «Все« x »синие», теперь должна перечислять все «x», которые удовлетворяют (истинны в) предложение, перечислив их в возможно бесконечном соединении: например, x 1 ∧ x 2 ∧. . . ∧ x n ∧. . .. По иронии судьбы, это изменение произошло в результате критики со стороны Витгенштейна в его Логико-философском трактате 1919 года . Как описано Расселом во введении ко второму изданию PM :

"Есть еще один курс, рекомендованный Витгенштейном † († Tractatus Logico-Philosophicus , * 5.54ff) по философским причинам. Это предполагает, что функции предложений всегда являются функциями истинности и что функция может возникать в предложении только через его значения. [...] [Работая над последствиями] кажется, что все в томе I остается верным (хотя часто требуются новые доказательства); теория индуктивных кардиналов и ординалов выживает; но кажется, что теория бесконечности Дедекиндовы и хорошо упорядоченные ряды в значительной степени разрушаются, так что иррациональные и действительные числа в целом больше не могут быть адекватно рассмотрены. Также доказательство Кантора, что 2 n > n, не работает, если n не является конечным ». ( PM 2-е издание переиздано в 1962 г .: xiv, также см. Новое Приложение C).

Другими словами, тот факт, что бесконечный список не может быть определен реалистично, означает, что концепция «числа» в бесконечном смысле (т.е. континуум) не может быть описана новой теорией, предложенной во втором издании PM .

Витгенштейн в своих лекциях по основам математики в Кембридже 1939 г. критиковал Principia по разным причинам, например:

  • Он призван раскрыть фундаментальные основы арифметики. Однако фундаментальными являются наши повседневные арифметические методы, такие как счет; поскольку, если возникает стойкое несоответствие между подсчетом и принципами , это будет рассматриваться как свидетельство ошибки в Principia (например, что Principia неправильно характеризует числа или сложение), а не как свидетельство ошибки в повседневном счете.
  • Вычислительные методы в Principia можно использовать на практике только с очень маленькими числами. Для вычисления с использованием больших чисел (например, миллиардов) формулы стали бы слишком длинными, и пришлось бы использовать какой-то сокращенный метод, который, несомненно, основывался бы на повседневных методах, таких как подсчет (или еще на нефундаментальных и, следовательно, сомнительные методы, такие как индукция). Итак, Principia снова зависит от повседневных техник, а не наоборот.

Витгенштейн, однако, признал, что « Начала», тем не менее, могут прояснить некоторые аспекты повседневной арифметики.

Гёдель 1944

В своей математической логике Рассела 1944 года Гёдель предлагает «критическое, но сочувственное обсуждение логического порядка идей»:

"Следует сожалеть о том, что этому первому всеобъемлющему и исчерпывающему изложению математической логики и выведению из нее математики [] так сильно не хватает формальной точности в основах (содержащихся в * 1- * 21 Принципов ), что в этом отношении он представляет собой значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Отсутствует, прежде всего, точное изложение синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опускаются даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств. .. дело в том , особенно сомнительно для правила подстановки и замены определенных символов их дефиниенса ... это наипаче правило замещения , которая должна была бы быть доказана»(Гедель 1944: 124)

СОДЕРЖАНИЕ

Часть I Математическая логика. Том I с №1 по №43

В этом разделе описывается исчисление высказываний и предикатов, а также приводятся основные свойства классов, отношений и типов.

Часть II Пролегомены к кардинальной арифметике. Том I от 50 до 97 фунтов

В этой части рассматриваются различные свойства отношений, особенно те, которые необходимы для кардинальной арифметики.

Часть III Кардинальная арифметика. Том II от ✸100 до 126

Это охватывает определение и основные свойства кардиналов. Кардинал определяется как класс эквивалентности подобных классов (в отличие от ZFC , где кардинал - это особый вид ординала фон Неймана). С каждым типом связана своя собственная коллекция кардиналов, и для сравнения кардиналов разных типов требуется значительный объем бухгалтерского учета. PM определяют сложение, умножение и возведение в степень кардиналов и сравнивают различные определения конечных и бесконечных кардиналов. ✸120.03 - Аксиома бесконечности.

Часть IV Относительно-арифметика. Том II от 150 до 186

«Число-отношение» - это класс эквивалентности изоморфных отношений. PM определяет аналоги сложения, умножения и возведения в степень для произвольных отношений. Сложение и умножение аналогично обычному определению сложения и умножения порядковых чисел в ZFC, хотя определение возведения в степень отношений в PM не эквивалентно обычному определению, используемому в ZFC.

Часть V. Серия. Том II от 200 до 234 и том III от 250 до 276

Это охватывает серию, что является термином PM для того, что теперь называется полностью упорядоченным набором. В частности, он охватывает полные серии, непрерывные функции между сериями с топологией порядка (хотя, конечно, они не используют эту терминологию), хорошо упорядоченные серии и серии без «пробелов» (те, у которых член строго между любыми двумя заданными элементами) .

Часть VI. Количество. Том III от 300 до 375

В этом разделе строится кольцо целых чисел, поля рациональных и действительных чисел и «векторные семейства», которые связаны с тем, что сейчас называется торсорами над абелевыми группами.

Сравнение с теорией множеств

В этом разделе сравнивается система в PM с обычными математическими основами ZFC. Система PM примерно сопоставима по силе с теорией множеств Цермело (или, точнее, ее версией, где аксиома разделения ограничивает все кванторы).

  • Система логики высказываний и исчисления предикатов в PM по существу та же, что используется сейчас, за исключением того, что изменились обозначения и терминология.
  • Наиболее очевидное различие между PM и теорией множеств состоит в том, что в PM все объекты принадлежат к одному из множества непересекающихся типов. Это означает, что все дублируется для каждого (бесконечного) типа: например, у каждого типа есть свои порядковые, кардинальные, действительные числа и так далее. Это приводит к большому объему бухгалтерского учета, чтобы связать различные типы друг с другом.
  • В ZFC функции обычно кодируются как наборы упорядоченных пар. В PM функции трактуются иначе. Прежде всего, «функция» означает «пропозициональная функция», то есть нечто, принимающее значения истинное или ложное. Во-вторых, функции не определяются своими значениями: возможно иметь несколько разных функций, принимающих одинаковые значения (например, можно рассматривать 2 x +2 и 2 ( x +1) как разные функции на том основании, что компьютерные программы для оценки их разные). Функции в ZFC, заданные наборами упорядоченных пар, соответствуют тому, что PM называют «матрицами», а более общие функции в PM кодируются путем количественной оценки некоторых переменных. В частности, PM различает функции, определенные с использованием количественной оценки, и функции, не определенные с помощью количественной оценки, тогда как ZFC не делает этого различия.
  • У PM нет аналога аксиоме замещения , хотя это не имеет большого практического значения, поскольку эта аксиома очень мало используется в математике за пределами теории множеств.
  • PM делает упор на отношения как на фундаментальное понятие, тогда как в современной математической практике более фундаментальными считаются функции, а не отношения; например, теория категорий делает упор на морфизмы или функции, а не на отношения. (Однако существует аналог категорий, называемый аллегориями, который моделирует отношения, а не функции, и очень похож на систему типов PM.)
  • В PM кардиналы определяются как классы аналогичных классов, тогда как в ZFC кардиналы являются специальными порядковыми числами. В PM есть свой набор кардиналов для каждого типа с некоторыми сложными механизмами для перемещения кардиналов между типами, тогда как в ZFC есть только один вид кардиналов. Поскольку PM не имеет эквивалента аксиомы замены, он не может доказать существование кардиналов, больших, чем ℵ ω .
  • В PM порядковые числа рассматриваются как классы эквивалентности хорошо упорядоченных множеств, и, как и в случае с кардиналами, существует свой набор порядковых номеров для каждого типа. В ZFC есть только один набор ординалов, обычно определяемый как ординалы фон Неймана . Одна странная особенность PM состоит в том, что у них нет порядкового номера, соответствующего 1, что вызывает многочисленные ненужные сложности в их теоремах. Определение порядкового возведения в степень α β в PM не эквивалентно обычному определению в ZFC и имеет некоторые довольно нежелательные свойства: например, оно не непрерывно по β и не является хорошо упорядоченным (то есть даже не порядковым).
  • Конструкции целых, рациональных и действительных чисел в ZFC были значительно упрощены с течением времени с момента создания в PM.

Различия между редакциями

За исключением исправлений опечаток, основной текст ПМ не изменился между первым и вторым изданиями. Основной текст в томах 1 и 2 был сброшен, поэтому он занимает меньше страниц в каждом. Во втором издании Том 3 не был сброшен, а был переиздан фотографиями с той же нумерацией страниц; исправления все же были внесены. Общее количество страниц (без форзацев) в первом издании - 1996; во втором - 2000. Том 1 имеет пять новых дополнений:

  • 54-страничное введение Рассела, описывающее изменения, которые они бы внесли, если бы у них было больше времени и энергии. Основное изменение, которое он предлагает, - это удаление спорной аксиомы сводимости, хотя он признает, что не знает удовлетворительной замены для нее. Ему также кажется более благоприятным идея, что функция должна определяться своими значениями (как это обычно бывает в современной математической практике).
  • Приложение A, пронумерованное * 8, 15 страниц, о штрихе Шеффера.
  • Приложение B, пронумерованное * 89, обсуждает индукцию без аксиомы сводимости.
  • Приложение C, 8 страниц, обсуждают пропозициональные функции.
  • В конце 8-страничный список определений, дающий столь необходимый указатель к примерно 500 используемым обозначениям.

В 1962 году издательство Cambridge University Press опубликовало сокращенное издание в мягкой обложке, содержащее части второго издания тома 1: новое введение (и старое), основной текст до * 56 и приложения A и C.

Редакции

Первое издание было переиздано в 2009 году издательством Merchant Books, ISBN  978-1-60386-182-3 , ISBN  978-1-60386-183-0 , ISBN  978-1-60386-184-7 .

Смотрите также

Сноски

Рекомендации

Tractatus Logico-Philosophicus (Вена, 1918 г.), оригинальная публикация на немецком языке).

Внешние ссылки