Углы между квартирами - Angles between flats

Понятие углов между линиями на плоскости и между парами из двух линий, двух плоскостей или линии и плоскости в пространстве может быть обобщено до произвольного измерения . Это обобщение впервые было обсуждено Джорданом . Для любой пары квартир в евклидовом пространстве произвольной размерности можно определить набор взаимных углов, которые инвариантны относительно изометрического преобразования евклидова пространства. Если квартиры не пересекаются, их кратчайшее расстояние - еще один инвариант. Эти углы называются каноническими или главными . Понятие углов может быть обобщено на пары плоских поверхностей в конечномерном внутреннем пространстве продукта над комплексными числами .

Определение Иордании

Позвольте и быть квартирами размеров и в -мерном евклидовом пространстве . По определению, перевод из или не изменяет их взаимные углы. Если и не пересекаются, они будут делать это при любом переводе, который сопоставляет некоторую точку с некоторой точкой внутри . Поэтому без ограничения общности можно предположить, что и пересекаются.

Джордан показывает, что декартовы координаты в затем могут быть определены так, что и описываются, соответственно, системами уравнений

и

с . Джордан называет эти координаты каноническими . По определению, углы - это углы между и .

Неотрицательные целые числа ограничены

Чтобы эти уравнения полностью определяли пять неотрицательных целых чисел, помимо размеров и количества углов , необходимо указать неотрицательное целое число . Это количество координат , соответствующие оси которых полностью лежат в пределах и . Таким образом, целое число является размером . Набор углов может быть дополнен углами, чтобы указать, что он имеет этот размер.

Доказательство Джордана применяется практически без изменений, когда его заменяют -мерным внутренним пространством произведения над комплексными числами. (Для углов между подпространствами обобщение к обсуждается Галантаи и Хегедесом в терминах нижеприведенной вариационной характеристики .)

Углы между подпространствами

Пусть теперь и быть подпространства по - мерного внутреннего пространства продукта над вещественными или комплексными числами. Геометрически и являются плоскими, поэтому применимо определение взаимных углов Джордана. Если для любых канонических координат символа обозначает единичный вектор из оси, векторы образуют ортогональный базис для а векторы образуют ортогональный базис для , где

Эти базовые векторы, связанные с каноническими координатами, можно назвать каноническими .

Когда обозначают канонические основные векторы для и канонические основные векторы , то скалярное произведение равно нулю для любой пары и , кроме следующих из них.

Таким образом, при указанном выше порядке основных векторов матрица скалярных произведений диагональна . Другими словами, если и являются произвольными ортонормированными базисами в и тогда действительные, ортогональные или унитарные преобразования из базиса в базис и из базиса в базис осуществляют разложение по сингулярным значениям матрицы скалярных произведений . Элементы диагональной матрицы являются сингулярными значениями последней матрицы. Благодаря уникальности разложения по сингулярным значениям, векторы являются уникальными с точностью до действительного, ортогонального или унитарного преобразования между ними, а векторы и (и, следовательно, ) уникальны с точностью до равных действительных, ортогональных или унитарных преобразований, применяемых одновременно к множествам векторов, связанных с общим значением и с соответствующими наборами векторов (и, следовательно, с соответствующими наборами ).

Особое значение можно интерпретировать как соответствующее углам, введенным выше и связанным с, а сингулярное значение можно интерпретировать как соответствующее прямым углам между ортогональными пространствами и , где верхний индекс обозначает ортогональное дополнение .

Вариационная характеристика

Вариационная характеристика сингулярных значений и векторов вытекает как частный случай вариационной характеристики углов между подпространствами и связанными с ними каноническими векторами. Эта характеристика включает в себя углы и введенные выше, а также упорядочивает углы по возрастанию. Ему можно придать форму альтернативного определения, приведенного ниже. В этом контексте принято говорить о главных углах и векторах.

Определение

Позвольте быть внутренним пространством продукта. Учитывая два подпространства с , тогда существует последовательность углов, называемых главными углами, первый из которых определяется как

где - внутреннее произведение и индуцированная норма . Векторы и - соответствующие главные векторы.

Другие главные углы и векторы затем определяются рекурсивно через

Это означает, что главные углы образуют набор минимизированных углов между двумя подпространствами, а главные векторы в каждом подпространстве ортогональны друг другу.

Примеры

Геометрический пример

Геометрически подпространства - это плоскости (точки, линии, плоскости и т. Д.), Которые включают начало координат, таким образом, любые два подпространства пересекаются по крайней мере в начале координат. Два двумерных подпространства и образуют набор из двух углов. В трехмерном евклидовом пространстве подпространства и либо идентичны, либо их пересечение образует линию. В первом случае оба . Только в последнем случае, когда векторы и находятся на линии пересечения и имеют одинаковое направление. Угол будет углом между подпространствами и в ортогональном дополнении к . Воображая угол между двумя плоскостями в 3D, один интуитивно думает о величине угла, .

Алгебраический пример

В 4-мерном вещественном координатном пространстве R 4 , пусть двумерное подпространство быть натянутое и , и пусть двумерное подпространство быть натянутое и с каким - то реальным и таким образом, что . Тогда и являются, по сути, парой главных векторов, соответствующих углу с , а и - главные векторы, соответствующие углу с

Чтобы построить пару подпространств с любым заданным набором углов в (или большем) размерном евклидовом пространстве , возьмите подпространство с ортонормированным базисом и дополните его до ортонормированного базиса евклидова пространства, где . Тогда ортонормированный базис другого подпространства есть, например,

Основные свойства

  • Если наибольший угол равен нулю, одно подпространство является подмножеством другого.
  • Если наибольший угол равен , то в одном подпространстве есть хотя бы один вектор, перпендикулярный другому подпространству.
  • Если наименьший угол равен нулю, подпространства пересекаются, по крайней мере, по прямой.
  • Если наименьший угол равен , подпространства ортогональны.
  • Число углов, равное нулю, - это размерность пространства, в котором пересекаются два подпространства.

Дополнительные свойства

Расширения

Понятие углов и некоторых вариационных свойств можно естественным образом распространить на произвольные скалярные произведения и подпространства с бесконечной размерностью .

Вычисление

Исторически сложилось так, что главные углы и векторы сначала появляются в контексте канонической корреляции и первоначально были вычислены с использованием SVD соответствующих ковариационных матриц. Однако, как впервые было замечено в, каноническая корреляция связана с косинусом главных углов, который плохо обусловлен для малых углов, что приводит к очень неточному вычислению сильно коррелированных главных векторов в компьютерной арифметике конечной точности . В синусоидальных -На алгоритма устраняет эту проблему, но создает новую проблему очень неточного вычисление весьма некоррелированные основных векторов, так как синус функция плохо обусловленный при углах , близких к П / 2. Чтобы получить точные главные векторы в компьютерной арифметике для всего диапазона главных углов, комбинированный метод сначала вычисляет все главные углы и векторы, используя классический подход на основе косинуса , а затем повторно вычисляет главные углы меньше π / 4 и соответствующие главные углы. векторов с использованием подхода на основе синуса . Комбинированный метод реализован в библиотеках с открытым исходным кодом Octave и SciPy и внесен в MATLAB .

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ a b c Джордан, К. (1875). "Essai sur la géométrie à sizes" . Бык. Soc. Математика. Франция . 3 : 103.
  2. ^ Afriat, SN (1957). «Ортогональные и наклонные проекторы и характеризация пар векторных пространств». Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc . 53 (4): 800. DOI : 10.1017 / S0305004100032916 .
  3. ^ a b c d e Björck, Å .; Голуб, GH (1973). «Численные методы вычисления углов между линейными подпространствами». Математика. Комп . 27 (123): 579. DOI : 10,2307 / 2005662 . JSTOR   2005662 .
  4. ^ Galántai, A .; Hegedũs, Cs. J. (2006). «Главные углы Жордана в комплексных векторных пространствах». Нумер. Линейная алгебра Appl . 13 (7): 589–598. CiteSeerX   10.1.1.329.7525 . DOI : 10.1002 / nla.491 .
  5. ^ Халмош, PR (1969), "Два подпространства", Trans. Амер. Математика. Soc. , 144 : 381–389, DOI : 10.1090 / S0002-9947-1969-0251519-5
  6. ^ a b c Князев А.В.; Аргентати, МЭ (2006), "Мажоризация для изменений углов между подпространствами, значениями Ритца и спектрами лапласиана графа", SIAM J. Matrix Anal. Appl. , 29 (1): 15-32, CiteSeerX   10.1.1.331.9770 , DOI : 10,1137 / 060649070 , S2CID   16987402
  7. ^ a b c Князев А.В.; Джужунашвили, А .; Аргентати, М. Е. (2010), «Углы между бесконечномерными подпространствами с приложениями к методам Рэлея – Ритца и чередующихся проекторов», Журнал функционального анализа , 259 (6): 1323–1345, arXiv : 0705.1023 , doi : 10.1016 / j. jfa.2010.05.018 , S2CID   5570062
  8. ^ Qiu, L .; Zhang, Y .; Ли, Ч.-К. (2005), "Унитарно-инвариантные метрики в пространстве Грассмана" (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 27 (2): 507–531, doi : 10.1137 / 040607605
  9. Като, Д. Т. (1996), Теория возмущений для линейных операторов , Спрингер, Нью-Йорк
  10. ^ a b c Князев А.В.; Аргентати, М. Е. (2002), «Главные углы между подпространствами в скалярном произведении на основе A: алгоритмы и оценки возмущений», SIAM Journal on Scientific Computing , 23 (6): 2009–2041, CiteSeerX   10.1.1.73.2914 , doi : 10.1137 / S1064827500377332
  11. ^ Подпространство октавной функции
  12. ^ Функция линейной алгебры SciPy subspace_angles
  13. ^ Подпространство функции MATLAB FileExchange
  14. ^ Подпространство функции MATLAB FileExchange