Прецессия - Precession

Прецессия гироскопа

Прецессия - это изменение ориентации оси вращения вращающегося тела. В соответствующей системе отсчета это можно определить как изменение первого угла Эйлера , тогда как третий угол Эйлера определяет само вращение . Другими словами, если ось вращения тела сама вращается вокруг второй оси, то говорят, что это тело прецессирует вокруг второй оси. Движение, при котором изменяется второй угол Эйлера, называется нутацией . В физике существует два типа прецессии: без крутящего момента и индуцированная крутящим моментом.

В астрономии под прецессией понимается любое из нескольких медленных изменений вращательных или орбитальных параметров астрономического тела. Важным примером является неуклонное изменение ориентации оси вращения Земли , известное как прецессия равноденствий .

Без крутящего момента

Прецессия без крутящего момента означает, что к телу не приложен внешний момент (крутящий момент). При прецессии без крутящего момента угловой момент является постоянным, но вектор угловой скорости меняет ориентацию со временем. Это становится возможным благодаря изменяющемуся во времени моменту инерции или, точнее, изменяющейся во времени матрице инерции . Матрица инерции состоит из моментов инерции тела, вычисленных относительно отдельных осей координат (например, x , y , z ). Если объект асимметричен относительно своей главной оси вращения, момент инерции относительно каждого направления координат будет изменяться со временем, сохраняя при этом угловой момент. Результат является , что компонент угловых скоростей тела вокруг каждой оси будет изменяться обратно пропорционально каждой ось момент инерции.

Скорость прецессии без крутящего момента объекта с осью симметрии, такого как диск, вращающегося вокруг оси, не совмещенной с этой осью симметрии, может быть рассчитана следующим образом:

где ω p - скорость прецессии, ω s - скорость вращения вокруг оси симметрии, I s - момент инерции относительно оси симметрии, I p - момент инерции относительно любой из двух других равных перпендикулярных главных осей, и α представляет собой угол между моментом инерции и направлением оси симметрии.

Когда объект не является идеально твердым , внутренние вихри будут иметь тенденцию гасить прецессию без крутящего момента, и ось вращения будет совмещена с одной из осей инерции тела.

Для обычного твердого объекта без какой-либо оси симметрии эволюция ориентации объекта, представленная (например) матрицей вращения R, которая преобразует внутренние координаты во внешние, может быть смоделирована численно. Учитывая фиксированный тензор внутреннего момента инерции объекта I 0 и фиксированный внешний угловой момент L , мгновенная угловая скорость равна

Прецессия происходит путем многократного пересчета ω и применения небольшого вектора вращения ω dt на короткое время dt ; например:

для кососимметричной матрицы [ ω ] × . Ошибки, вызванные конечными шагами по времени, приводят к увеличению кинетической энергии вращения:

этой нефизической тенденции можно противодействовать, многократно применяя небольшой вектор вращения v, перпендикулярный как ω, так и L , отмечая, что

С крутящим моментом

Прецессия, вызванная крутящим моментом ( гироскопическая прецессия ) - это явление, при котором ось вращающегося объекта (например, гироскопа ) описывает конус в пространстве, когда к нему прилагается внешний крутящий момент . Это явление обычно наблюдается у вращающегося волчка , но все вращающиеся объекты могут претерпевать прецессию. Если скорость вращения и величина внешнего крутящего момента постоянны, ось вращения будет двигаться под прямым углом к направлению , которое интуитивно возникает в результате внешнего крутящего момента. В случае игрушечного верха его вес действует вниз от его центра масс, а нормальная сила (реакция) земли толкает его вверх в точке контакта с опорой. Эти две противоположные силы создают крутящий момент, который вызывает прецессию вершины.

Реакция вращающейся системы на приложенный крутящий момент. Когда устройство поворачивается и добавляется некоторый крен, колесо имеет тенденцию к тангажу.

Устройство, изображенное справа (или вверху на мобильных устройствах), установлено на карданном подвесе . Изнутри наружу есть три оси вращения: ступица колеса, ось кардана и вертикальный шарнир.

Чтобы различать две горизонтальные оси, вращение вокруг ступицы колеса будет называться вращением , а вращение вокруг оси кардана будет называться качкой . Вращение вокруг вертикальной оси вращения называется вращением .

Во-первых, представьте, что все устройство вращается вокруг (вертикальной) оси вращения. Затем добавляется раскрутка колеса (вокруг ступицы колеса). Представьте, что ось кардана заблокирована, так что колесо не может качаться. На оси кардана есть датчики, которые измеряют, есть ли крутящий момент вокруг оси кардана.

На рисунке часть колеса обозначена как dm 1 . В изображенный момент времени участок dm 1 находится по периметру вращательного движения вокруг (вертикальной) оси поворота. Таким образом, секция dm 1 имеет большую угловую скорость вращения по сравнению с вращением вокруг оси поворота, и поскольку dm 1 вынужден приближаться к оси вращения (за счет дальнейшего вращения колеса) из-за эффекта Кориолиса относительно вертикальной оси поворота dm 1 имеет тенденцию перемещаться в направлении стрелки вверху слева на диаграмме (показанной под углом 45 °) в направлении вращения вокруг оси поворота. Сечение dm 2 колеса движется от оси поворота, поэтому сила (опять же сила Кориолиса) действует в том же направлении, что и в случае dm 1 . Обратите внимание, что обе стрелки указывают в одном направлении.

То же самое относится и к нижней половине колеса, но там стрелки указывают в направлении, противоположном направлению верхних стрелок. Вместе со всем колесом возникает крутящий момент вокруг оси карданного подвеса, когда некоторое вращение добавляется к вращению вокруг вертикальной оси.

Важно отметить, что крутящий момент вокруг оси кардана возникает без задержки; ответ мгновенный.

В приведенном выше обсуждении установка оставалась неизменной, предотвращая качание вокруг оси кардана. В случае с вращающимся волчком, когда волчок начинает наклоняться, сила тяжести создает крутящий момент. Однако вместо того, чтобы перевернуться, волчок просто немного наклоняется. Это качающее движение меняет ориентацию волчка по отношению к прилагаемому крутящему моменту. В результате крутящий момент, создаваемый силой тяжести - через движение по тангажу - вызывает гироскопическую прецессию (которая, в свою очередь, дает противодействующий крутящий момент против крутящего момента силы тяжести), а не заставляет волчок упасть на бок.

Прецессия или гироскопические факторы влияют на характеристики велосипеда на высокой скорости. Прецессия также является механизмом гирокомпасов .

Классический (ньютоновский)

Крутящий момент , вызванный нормальной силой - F г , а вес верхней части вызывают изменение углового момента L в направлении этого момента. Это вызывает прецессию вершины.

Прецессия - это изменение угловой скорости и момента импульса, создаваемое крутящим моментом. Общее уравнение, связывающее крутящий момент со скоростью изменения углового момента, выглядит следующим образом:

где и - векторы момента и момента импульса соответственно.

Из-за способа определения векторов крутящего момента этот вектор перпендикулярен плоскости сил, которые его создают. Таким образом, можно видеть, что вектор углового момента изменится перпендикулярно этим силам. В зависимости от того, как создаются силы, они часто вращаются с вектором углового момента, и тогда создается круговая прецессия.

В этих условиях угловая скорость прецессии определяется выражением:

где I s - момент инерции , ω s - угловая скорость вращения вокруг оси вращения, m - масса, g - ускорение свободного падения, θ - угол между осью вращения и осью прецессии и r это расстояние между центром масс и шарниром. Вектор крутящего момента берет начало в центре масс. Используя ω = /Т, мы находим, что период прецессии определяется выражением:

Где I s - момент инерции , T s - период вращения вокруг оси вращения, а τ - крутящий момент . Однако в целом проблема более сложная.

Обсуждение

Есть простой способ понять, почему происходит гироскопическая прецессия, не прибегая к математике. Поведение вращающегося объекта просто подчиняется законам инерции, сопротивляясь любому изменению направления. Вращающийся объект обладает свойством, известным как жесткость в пространстве, что означает, что ось вращения сопротивляется любому изменению ориентации. Это свойство обеспечивает инерция материи, составляющей объект, поскольку она сопротивляется любому изменению направления. Конечно, направление движения материи постоянно меняется по мере вращения объекта, но дальнейшее изменение направления сдерживается. Если, например, к поверхности вращающегося диска приложена сила, материя не изменится в направлении в том месте, где была приложена сила (или на 180 градусов от этого места). Но 90 градусов до и 90 градусов после этого места, материя вынуждена изменить направление. Это заставляет объект вести себя так, как если бы сила была применена в этих местах. Когда к чему-либо приложена сила, объект оказывает такое же усилие в ответ, но в противоположном направлении. Поскольку фактическая сила не была приложена на 90 градусов до или после, ничто не препятствует возникновению реакции, и объект заставляет себя двигаться в ответ. Хороший способ визуализировать, почему это происходит, - представить вращающийся объект как большой полый пончик, наполненный водой, как описано в книге « Физика мышления » Льюиса Эпштейна. Пончик остается неподвижным, пока внутри него циркулирует вода. При приложении силы вода внутри меняет направление на 90 градусов до и после этой точки. Затем вода прикладывает свою силу к внутренней стенке пончика и заставляет пончик вращаться, как если бы сила была приложена на 90 градусов вперед в направлении вращения. Эпштейн преувеличивает вертикальное и горизонтальное движение воды, изменяя форму пончика с круглой на квадратную с закругленными углами.

Теперь представьте, что объект - это вращающееся велосипедное колесо, которое за оба конца своей оси держит в руках испытуемый. Колесо вращается по часовой стрелке, если смотреть со стороны зрителя справа от объекта. Положение часов на колесе дано относительно этого средства просмотра. Когда колесо вращается, составляющие его молекулы движутся точно горизонтально и вправо в момент прохождения 12-часовой отметки. Затем они перемещаются вертикально вниз в момент прохождения 3 часов, горизонтально влево в положении 6 часов, вертикально вверх в положении 9 часов и снова горизонтально вправо в положении 12 часов. Между этими положениями каждая молекула перемещается по компонентам этих направлений. Теперь представьте, что зритель прикладывает силу к ободу колеса в положении «12 часов». Для этого примера представьте, что колесо опрокидывается при приложении этой силы; он наклоняется влево, если смотреть со стороны объекта, удерживающего его на своей оси. Когда колесо наклоняется в новое положение, молекулы в положении «12 часов» (где была приложена сила), а также молекулы в положении «6 часов» по-прежнему перемещаются горизонтально; их направление не изменилось, поскольку колесо наклонялось. И их направление не изменилось после того, как колесо установило свое новое положение; они все еще движутся по горизонтали, когда проходят 12 и 6 часов. НО, молекулы, проходящие через 3 и 9 часов, были вынуждены изменить направление. Те, кто находился в положении «3 часа», были вынуждены перейти от движения прямо вниз к движению вниз и вправо, если смотреть со стороны объекта, держащего колесо. Молекулы, прошедшие 9 часов, были вынуждены измениться с движения прямо вверх, вверх и влево. Этому изменению направления препятствует инерция этих молекул. И когда они испытывают это изменение направления, они проявляют равную и противоположную силу в ответ В ЭТИХ МЕСТАХ - 3 И 9 ЧАСОВ. В 3 часа, когда они были вынуждены перейти от движения прямо вниз к движению вниз и вправо, они прикладывают свою равную и противоположную силу реакции влево. В 9 часов они прикладывают свою собственную реактивную силу вправо, если смотреть со стороны субъекта, держащего колесо. Это заставляет колесо в целом реагировать на мгновенное вращение против часовой стрелки, если смотреть прямо сверху. Таким образом, когда сила была приложена в положении «12 часов», колесо вело себя так, как если бы эта сила была приложена в положении «3 часа», что на 90 градусов вперед по направлению вращения. Или вы можете сказать, что он вёл себя так, как если бы сила с противоположного направления была приложена в 9 часов, на 90 градусов до направления вращения.

Таким образом, когда вы прикладываете силу к вращающемуся объекту, чтобы изменить направление его оси вращения, вы не меняете направление материи, составляющей объект, в том месте, где вы применили силу (ни на 180 градусов от него); направление материи в этих местах не меняется. Материя испытывает максимальное изменение направления на 90 градусов до и на 90 градусов дальше от этого места и в меньшей степени ближе к нему. Равная и противоположная реакция, которая происходит под углом 90 градусов до и после, заставляет объект вести себя так же, как и он. Эффект сильно ощущается на мотоциклах. Мотоцикл внезапно наклонится и повернет в направлении, противоположном повороту руля.

Прецессия гироскопа вызывает другое явление для вращающихся объектов, таких как велосипедное колесо в этом сценарии. Если субъект, держащий колесо, уберет руку с одного конца своей оси, колесо не перевернется, а останется в вертикальном положении, опираясь только на другой конец. Однако он немедленно примет дополнительное движение; он начнет вращаться вокруг вертикальной оси, поворачиваясь в точке опоры, продолжая вращаться. Если вы позволите колесу продолжать вращаться, вам придется повернуть свое тело в том же направлении, что и колесо. Если бы колесо не вращалось, оно, очевидно, перевернулось бы и упало, если убрать одну руку. Первоначальное действие начала опрокидывания колеса эквивалентно приложению к нему силы на 12 часах в направлении к неподдерживаемой стороне (или силы на 6 часах к опорной стороне). Когда колесо вращается, внезапное отсутствие поддержки на одном конце его оси эквивалентно той же силе. Таким образом, вместо того, чтобы опрокинуться, колесо ведет себя так, как будто к нему прилагается постоянная сила в положении 3 или 9 часов, в зависимости от направления вращения и того, какая рука была удалена. Это приводит к тому, что колесо начинает поворачиваться на одном поддерживаемом конце оси, оставаясь в вертикальном положении. Хотя в этой точке он поворачивается, он делает это только потому, что там поддерживается; Фактическая ось прецессионного вращения расположена вертикально через колесо, проходя через его центр масс. Кроме того, это объяснение не учитывает эффект изменения скорости вращающегося объекта; это только иллюстрирует, как ось вращения ведет себя из-за прецессии. Точнее, объект ведет себя в соответствии с балансом всех сил, основанным на величине приложенной силы, массы и скорости вращения объекта. Как только станет понятно, почему колесо остается вертикальным и вращается, легко понять, почему ось волчка медленно вращается, а волчок вращается, как показано на рисунке на этой странице. Верх ведет себя точно так же, как велосипедное колесо из-за силы тяжести, тянущей вниз. Точка контакта с поверхностью, на которой оно вращается, эквивалентна концу оси, на которой опирается колесо. По мере замедления вращения волчка реактивная сила, удерживающая его в вертикальном положении за счет инерции, преодолевается гравитацией. Как только причина прецессии гироскопа визуализирована, математические формулы начинают обретать смысл.

Релятивистский (эйнштейновский)

Специальная и общая теории относительности дают три типа поправок к ньютоновской прецессии гироскопа вблизи большой массы, такой как Земля, описанная выше. Они есть:

  • Прецессия Томаса , специальная релятивистская поправка, учитывающая ускорение объекта (например, гироскопа) по криволинейной траектории.
  • Прецессия де Ситтера , общерелятивистская поправка, учитывающая метрику Шварцшильда искривленного пространства вблизи большой невращающейся массы.
  • Прецессия Лензе – Тирринга , общерелятивистская поправка, учитывающая затягивание системы отсчета метрикой Керра искривленного пространства вблизи большой вращающейся массы.

Астрономия

В астрономии прецессия относится к любому из нескольких вызванных гравитацией, медленных и непрерывных изменений оси вращения или орбитальной траектории астрономического тела. Прецессия равноденствий, прецессия перигелия, изменения наклона оси Земли к ее орбите и эксцентриситет ее орбиты на протяжении десятков тысяч лет - все это важные части астрономической теории ледниковых периодов . (См. Циклы Миланковича .)

Осевая прецессия (прецессия равноденствий)

Осевая прецессия - это движение оси вращения астрономического тела, при котором ось медленно очерчивает конус. В случае с Землей этот тип прецессии также известен как прецессия равноденствий , лунно-солнечная прецессия или прецессия экватора . Земля проходит один такой полный цикл прецессии за период примерно 26000 лет или 1 ° каждые 72 года, в течение которого положения звезд будут медленно меняться как по экваториальным координатам, так и по эклиптической долготе . В течение этого цикла северный осевой полюс Земли перемещается от того места, где он находится сейчас, в пределах 1 ° от Полярной звезды , по кругу вокруг полюса эклиптики с угловым радиусом около 23,5 °.

Древнегреческий астроном Гиппарх (ок. 190-120 до н.э.) , как правило , принято , чтобы быть самым ранним известным астрономом распознавать и оценивать прецессию равноденствий примерно 1 ° в столетие (не далеко от фактического значения для античности, 1,38 °), хотя есть некоторые незначительные споры о том, был ли он. В древнем Китае , то Джин династия ученого-чиновник Ю. Си (фл. 307-345 н.э.) сделал подобные обнаружения столетий спустя, отметив , что положение Солнца во время зимнего солнцестояния отнесло примерно на один градус в течение пятидесяти лет относительно положения звезд. Прецессия земной оси позже была объяснена физикой Ньютона . Будучи сплюснутым сфероидом , Земля имеет несферическую форму, выпирающую наружу на экваторе. Гравитационные приливные силы по Луны и Солнца применять крутящий момент к экватору, пытаясь вытащить экваториальную выпуклость в плоскости эклиптики , но вместо этого вызывает его прецессию. Крутящий момент, создаваемый планетами, особенно Юпитером , также играет роль.

Маленькие белые диски, представляющие северные звезды на черном фоне, наложенные кружком, показывающие положение северного полюса во времени.
Прецессионное движение оси (слева), прецессия равноденствия относительно далеких звезд (в центре) и путь северного полюса мира среди звезд из-за прецессии. Вега - яркая звезда внизу (справа).

Апсидальная прецессия

Апсидальная прецессия - орбита постепенно вращается с течением времени.

Эти орбиты планет вокруг Солнца на самом деле не следует идентичному эллипсу каждый раза, но на самом деле проследить цветок-лепесток формы , потому что главная ось эллиптической орбиты каждой планеты также прецессирует в плоскости орбиты, частично в ответ на возмущения в виде изменения гравитационных сил, проявляемых другими планетами. Это называется прецессией перигелия или прецессией апсид .

На дополнительном изображении проиллюстрирована апсидальная прецессия Земли. Когда Земля движется вокруг Солнца, ее эллиптическая орбита постепенно вращается с течением времени. Эксцентриситет его эллипса и скорость прецессии его орбиты преувеличены для визуализации. Большинство орбит в Солнечной системе имеют гораздо меньший эксцентриситет и прецессируют с гораздо меньшей скоростью, что делает их почти круговыми и почти стационарными.

Расхождение между наблюдаемой скоростью прецессии перигелия планеты Меркурием и что предсказывается классической механикой было заметны среди форм экспериментальных данных , ведущих к принятию Эйнштейн «s теории относительности (в частности, его общая теорию относительности ), который точно предсказало аномалии. Теория гравитации Эйнштейна, отклоняясь от закона Ньютона, предсказывает дополнительный членА/r 4, что точно дает наблюдаемую избыточную скорость поворота 43 ″ каждые 100 лет.

Гравитационные силы, создаваемые Солнцем и Луной, вызывают прецессию на земной орбите. Эта прецессия является основной причиной климатических колебаний на Земле с периодом от 19 000 до 23 000 лет. Отсюда следует, что изменения параметров орбиты Земли (например, наклонения орбиты, угла между осью вращения Земли и плоскостью ее орбиты) важны для изучения климата Земли, в частности, для изучения прошлых ледниковых периодов.

Узловая прецессия

Орбитальные узлы также прецессируют со временем.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки