Прямоугольный потенциальный барьер - Rectangular potential barrier
В квантовой механике , то прямоугольный (или, иногда, кв ) потенциальный барьер является стандартной одномерной задачей , которая демонстрирует явления волнового механического туннелирования (также называемое «квантовое туннелирование») и волну-механическое отражение. Задача состоит в решении одномерного не зависящего от времени уравнения Шредингера для частицы, сталкивающейся с прямоугольным барьером потенциальной энергии. Обычно предполагается, как и здесь, что свободная частица сталкивается с барьером слева.
Хотя классически частица, ведущая себя как точечная масса , будет отражаться, если ее энергия меньше чем , у частицы, фактически ведущей себя как материальная волна, есть ненулевая вероятность проникнуть через барьер и продолжить свое движение как волна на другой стороне. В классической волновой физике этот эффект известен как затухающая связь волн . Вероятность того, что частица пройдет через барьер, определяется коэффициентом пропускания , тогда как вероятность того, что она отразится, определяется коэффициентом отражения . Волновое уравнение Шредингера позволяет вычислить эти коэффициенты.
Расчет
Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции имеет вид
где - гамильтониан , - (приведенная) постоянная Планка , - масса , энергия частицы и
- потенциал барьера с высотой и шириной .
- ступенчатая функция Хевисайда , т.е.
Барьер расположен между и . Шлагбаум можно перемещать в любое положение без изменения результата. Первый член гамильтониана - кинетическая энергия.
Барьер делит пространство на три части ( ). В любой из этих частей потенциал постоянен, что означает, что частица квазисвободна, и решение уравнения Шредингера может быть записано как суперпозиция левой и правой движущихся волн (см. Свободную частицу ). Если
где волновые числа связаны с энергией соотношением
- .
Индекс / на коэффициентах и обозначает направление вектора скорости. Обратите внимание, что если энергия частицы ниже высоты барьера, она становится мнимой, а волновая функция экспоненциально затухает внутри барьера. Тем не менее, мы сохраняем обозначение r / l, хотя в этом случае волны больше не распространяются. Здесь мы предположили . Этот случай рассматривается ниже.
Коэффициенты должны быть найдены из граничных условий волновой функции при и . Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными всюду, поэтому
- .
Подставляя волновые функции, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты
- .
E = V 0
Если энергия равна высоте барьера, второй дифференциал волновой функции внутри области барьера равен 0, и, следовательно, решения уравнения Шредингера больше не экспоненты, а линейные функции пространственной координаты
Полное решение уравнения Шредингера находится так же, как и выше, путем сопоставления волновых функций и их производных в точках и . Это приводит к следующим ограничениям на коэффициенты:
- .
Передача и отражение
Здесь поучительно сравнить ситуацию с классическим случаем. В обоих случаях частица ведет себя как свободная частица вне области барьера. Классическая частица с энергией, превышающей высоту барьера , всегда будет проходить через барьер, а классическая частица, падающая на барьер, всегда будет отражаться.
Чтобы изучить квантовый случай, рассмотрим следующую ситуацию: частица, падающая на барьер с левой стороны ( ). Он может быть отражен ( ) или передан ( ).
Чтобы найти амплитуды отражения и прохождения при падении слева, мы подставляем в приведенные выше уравнения (входящая частица), (отражение), = 0 (нет входящей частицы справа) и ( прохождение ). Затем мы исключаем коэффициенты из уравнения и решаем относительно и .
Результат:
Из-за зеркальной симметрии модели амплитуды падения справа такие же, как и слева. Обратите внимание, что эти выражения верны для любой энергии .
Анализ полученных выражений
E < V 0
Удивительный результат состоит в том, что для энергий меньше высоты барьера существует ненулевая вероятность
для прохождения частицы через барьер, с . Этот эффект, отличный от классического, называется квантовым туннелированием . Передача экспоненциально подавляется с шириной барьера, что можно понять из функциональной формы волновой функции: вне барьера она колеблется с волновым вектором , тогда как внутри барьера она экспоненциально затухает на расстоянии . Если барьер намного шире, чем длина затухания, левая и правая части практически независимы, и, как следствие, туннелирование подавляется.
E > V 0
В этом случае
- ,
где .
Не менее удивительно то, что для энергий, превышающих высоту барьера, частица может отражаться от барьера с ненулевой вероятностью
Вероятности прохождения и отражения фактически колеблются с . Классический результат идеальной передачи без какого-либо отражения ( , ) воспроизводится не только в пределе высокой энергии, но также когда энергия и ширина барьера удовлетворяют , где (см. Пики около и 1,8 на приведенном выше рисунке). Обратите внимание, что вероятности и амплитуды, как написано, относятся к любой энергии (выше / ниже) высоты барьера.
E = V 0
Вероятность передачи при оценивается в
- .
Замечания и приложения
Представленный выше расчет на первый взгляд может показаться нереальным и малополезным. Однако она оказалась подходящей моделью для множества реальных систем. Одним из таких примеров являются границы раздела двух проводящих материалов. В основной массе материалов движение электронов квазисвободно и может быть описано кинетическим членом в приведенном выше гамильтониане с эффективной массой . Часто поверхности таких материалов покрыты оксидными слоями или не идеальны по другим причинам. Этот тонкий непроводящий слой можно затем смоделировать с помощью барьерного потенциала, как указано выше. Затем электроны могут туннелировать из одного материала в другой, вызывая ток.
Работа сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) основана на этом туннельном эффекте. В этом случае барьер возникает из-за зазора между концом СТМ и нижележащим объектом. Поскольку туннельный ток экспоненциально зависит от ширины барьера, это устройство чрезвычайно чувствительно к изменениям высоты исследуемого образца.
Вышеупомянутая модель одномерная, а пространство трехмерное. Следует решить уравнение Шредингера в трех измерениях. С другой стороны, многие системы изменяются только вдоль одного координатного направления и трансляционно инвариантны относительно других; они отделимы . Уравнение Шредингера затем может быть сведено к случаю , рассмотренному здесь с помощью анзатца для волновой функции типа: .
Для другой связанной модели барьера см. Дельта потенциальный барьер (QM) , который можно рассматривать как частный случай конечного потенциального барьера. Все результаты из этой статьи сразу же применимы к дельта-потенциальному барьеру, принимая пределы при сохранении постоянства.
Смотрите также
использованная литература
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-111892-7.
- Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернард; Лалоэ, Франк; и другие. (1996). Квантовая механика . перевод с французского Сьюзан Рид Хемли. Wiley-Interscience: Wiley. стр. 231 -233. ISBN 978-0-471-56952-7.