Плоская пластинка - Planar lamina

В математике , А плоская пластина (или плоская пластина ) представляет собой фигура , представляющая собой тонкий, как правило, плоский равномерный слой твердого тела. Он также служит идеализированной моделью плоского поперечного сечения твердого тела при интеграции .

Плоские пластинки можно использовать для определения моментов инерции или центра масс плоских фигур, а также для помощи в соответствующих расчетах для трехмерных тел.

Определение

По сути, плоская пластина определяется как фигура ( замкнутое множество ) D конечной площади на плоскости с некоторой массой m .

Это полезно при вычислении моментов инерции или центра масс для постоянной плотности, потому что масса пластинки пропорциональна ее площади. В случае переменной плотности, задаваемой некоторой (неотрицательной) функцией поверхностной плотности, масса плоской пластинки D представляет собой плоский интеграл от ρ по фигуре: ${\ Displaystyle \ rho (х, у),}$${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle м = \ iint _ {D} \ rho (x, y) \, dx \, dy}$

Характеристики

Центр масс пластинки находится в точке

${\ displaystyle \ left ({\ frac {M_ {y}} {m}}, {\ frac {M_ {x}} {m}} \ right)}$

где - момент всей пластинки вокруг оси y, а - момент всей пластинки вокруг оси x: ${\ displaystyle M_ {y}}$${\ displaystyle M_ {x}}$

${\ displaystyle M_ {y} = \ lim _ {m, n \ to \ infty} \, \ sum _ {i = 1} ^ {m} \, \ sum _ {j = 1} ^ {n} \, x {_ {ij}} ^ {*} \, \ rho \ (x {_ {ij}} ^ {*}, y {_ {ij}} ^ {*}) \, \ Delta D = \ iint _ {D} х \, \ rho \ (x, y) \, dx \, dy}$

${\ displaystyle M_ {x} = \ lim _ {m, n \ to \ infty} \, \ sum _ {i = 1} ^ {m} \, \ sum _ {j = 1} ^ {n} \, y {_ {ij}} ^ {*} \, \ rho \ (x {_ {ij}} ^ {*}, y {_ {ij}} ^ {*}) \, \ Delta D = \ iint _ {D} y \, \ rho \ (x, y) \, dx \, dy}$

с суммированием и интегрированием по плоской области . ${\ displaystyle D}$

Пример

Найдите центр масс пластинки с краями, обозначенными линиями, а плотность - как . ${\ displaystyle x = 0,}$ ${\ displaystyle y = x}$${\ Displaystyle у = 4-х}$${\ Displaystyle \ rho \ (х, у) \, = 2х + 3у + 2}$

Для этого необходимо найти массу , а также моменты и . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M_ {y}}$${\ displaystyle M_ {x}}$

Масса равна массе, которая может быть эквивалентно выражена в виде повторного интеграла : ${\ Displaystyle м = \ iint _ {D} \ rho (x, y) \, dx \, dy}$

${\ displaystyle m = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ int _ {y = x} ^ {4-x} \, (2x + 3y + 2) \, dy \, dx}$

Внутренний интеграл:

${\ displaystyle \ int _ {y = x} ^ {4-x} \, (2x + 3y + 2) \, dy}$

${\ displaystyle \ qquad = \ left. \ left (2xy + {\ frac {3y ^ {2}} {2}} + 2y \ right) \ right | _ {y = x} ^ {4-x}}$

${\ displaystyle \ qquad = \ left [2x (4-x) + {\ frac {3 (4-x) ^ {2}} {2}} + 2 (4-x) \ right] - \ left [2x (x) + {\ frac {3 (x) ^ {2}} {2}} + 2 (x) \ right]}$

${\ Displaystyle \ qquad = -4x ^ {2} -8x + 32}$

Вставка этого во внешний интеграл приводит к:

${\ displaystyle {\ begin {align} m & = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ left (-4x ^ {2} -8x + 32 \ right) \, dx \\ & = \ left. \ left (- {\ frac {4x ^ {3}} {3}} - 4x ^ {2} + 32x \ right) \ right | _ {x = 0} ^ {2} \\ & = {\ frac {112 } {3}} \ end {выровнены}}}$

Аналогично рассчитываются оба момента:

${\ displaystyle M_ {y} = \ iint _ {D} x \, \ rho (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ int _ {y = x } ^ {4-x} x \, (2x + 3y + 2) \, dy \, dx}$

с внутренним интегралом:

${\ displaystyle \ int _ {y = x} ^ {4-x} x \, (2x + 3y + 2) \, dy}$

${\ Displaystyle \ qquad = \ left. \ left (2x ^ {2} y + {\ frac {3xy ^ {2}} {2}} + 2xy \ right) \ right | _ {y = x} ^ {4- Икс}}$

${\ Displaystyle \ qquad = -4x ^ {3} -8x ^ {2} + 32x}$

что делает:

${\ displaystyle {\ begin {align} M_ {y} & = \ int _ {x = 0} ^ {2} (- 4x ^ {3} -8x ^ {2} + 32x) \, dx \\ & = \ left. \ left (-x ^ {4} - {\ frac {8x ^ {3}} {3}} + 16x ^ {2} \ right) \ right | _ {x = 0} ^ {2} \ \ & = {\ frac {80} {3}} \ end {align}}}$

а также

${\ displaystyle {\ begin {align} M_ {x} & = \ iint _ {D} y \, \ rho (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ int _ {y = x} ^ {4-x} y \, (2x + 3y + 2) \, dy \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {2} (xy ^ {2} + y ^ {3} + y ^ {2}) {\ Big |} _ {y = x} ^ {4-x} \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {2} (- 2x ^ {3} + 4x ^ {2} -40x + 80) \, dx \\ & = \ left. \ Left (- {\ frac {x ^ {4}} {2}} + {\ frac {4x ^ {3}} {3}} - 20x ^ {2} + 80x \ right) \ right | _ {x = 0} ^ {2} \\ & = {\ frac {248} {3}} \ end {выровнено }}}$

Наконец, центр масс

${\ displaystyle \ left ({\ frac {M_ {y}} {m}}, {\ frac {M_ {x}} {m}} \ right) = \ left ({\ frac {\ frac {80} { 3}} {\ frac {112} {3}}}, {\ frac {\ frac {248} {3}} {\ frac {112} {3}}} \ right) = \ left ({\ frac { 5} {7}}, {\ frac {31} {14}} \ right)}$

использованная литература