Теорема Пика - Pick's theorem

В геометрии , Пика теорема дает формулу для области в виде простого многоугольника с числом вершин координат, в терминах числа целых точек внутри нее и на ее границе. Результат был впервые описан Георгом Александром Пиком в 1899 году. Он был популяризирован на английском языке Хьюго Штайнхаусом в издании 1950 года его книги « Математические снимки» . Он имеет несколько доказательств и может быть обобщен на формулы для некоторых типов непростых многоугольников.

Формула

Предположим, что у многоугольника есть целые координаты всех его вершин. Позвольте быть количеством целочисленных точек, которые являются внутренними по отношению к многоугольнику, и позвольте быть количеством целочисленных точек на его границе (включая вершины, а также точки вдоль сторон многоугольника). Тогда площадь этого многоугольника равна: ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle A}$

В показанном примере есть внутренние точки и граничные точки, поэтому его площадь составляет квадратные единицы. ${\ displaystyle i = 7}$${\ displaystyle b = 8}$${\ displaystyle A = 7 + {\ tfrac {8} {2}} - 1 = 10}$

Доказательства

Через формулу Эйлера

Одно из доказательств этой теоремы включает разбиение многоугольника на треугольники с тремя целыми вершинами и без других целых точек. Затем можно доказать, что каждый разделенный треугольник имеет ровную площадь . Следовательно, площадь всего многоугольника равна половине числа треугольников в разбиении. После соотнесения площади с количеством треугольников таким образом доказательство завершается использованием формулы Эйлера для многогранника, чтобы связать количество треугольников с количеством точек сетки в многоугольнике. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Первая часть этого доказательства показывает, что треугольник с тремя целыми вершинами и никакими другими целыми точками имеет точно площадь , как утверждает формула Пика. Доказательство использует тот факт, что все треугольники мозаичны на плоскости , а смежные треугольники повернуты на 180 ° друг от друга вокруг их общего края. Для мозаики треугольником с тремя целыми вершинами и без других целых точек каждая точка целочисленной сетки является вершиной шести плиток. Поскольку количество треугольников на одну точку сетки (шесть) в два раза больше количества точек сетки на треугольник (три), треугольники в два раза плотнее на плоскости, чем точки сетки. Любая масштабируемая область плоскости содержит вдвое больше треугольников (в пределе, когда масштабный коэффициент стремится к бесконечности), чем количество точек сетки, которые она содержит. Следовательно, у каждого треугольника есть площадь , необходимая для доказательства. Другое доказательство того, что эти треугольники имеют площадь , основано на использовании теоремы Минковского о точках решетки в симметричных выпуклых множествах. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Это уже доказывает формулу Пика для многоугольника, который является одним из этих особых треугольников. Любой другой многоугольник можно разделить на специальные треугольники. Для этого добавляйте непересекающиеся линейные сегменты внутри многоугольника между парами точек сетки до тех пор, пока больше нельзя будет добавлять линейные сегменты. Единственные многоугольники, которые нельзя разделить на более мелкие таким образом, - это специальные треугольники, рассмотренные выше. Поэтому в результирующем разбиении могут появиться только специальные треугольники. Поскольку каждый специальный треугольник имеет площадь , многоугольник площади будет разделен на специальные треугольники. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 2A}$

Подразделение многоугольника на треугольники образует плоский граф , а формула Эйлера дает уравнение, которое применяется к количеству вершин, ребер и граней любого плоского графа. Вершины - это просто точки сетки многоугольника; есть из них. Грани - это треугольники подразделения и единственная область плоскости за пределами многоугольника. Количество треугольников равно , значит, всего есть грани. Чтобы подсчитать рёбра, обратите внимание на то, что в разбиении есть стороны треугольников. Каждое внутреннее ребро многоугольника - это сторона двух треугольников. Однако есть ребра треугольников, которые лежат вдоль границы многоугольника и составляют часть только одного треугольника. Таким образом, число сторон треугольников удовлетворяет уравнению , из которого можно решить по числу ребер, . Подставление этих значений для , и в формулу Эйлера дает ${\ Displaystyle V-E + F = 2}$${\ Displaystyle V = я + Ь}$${\ displaystyle 2A}$${\ Displaystyle F = 2A + 1}$${\ displaystyle 6A}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle 6A = 2E-b}$${\ displaystyle E = {\ tfrac {6A + b} {2}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle V-E + F = 2}$

Формулу Пика можно получить, упростив это линейное уравнение и решив для . Альтернативный расчет по тем же принципам включает доказательство того, что количество ребер одного и того же подразделения равно , что приводит к тому же результату. ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle E = 3i + 2b-3}$

Также можно пойти в другом направлении, используя теорему Пика (доказанную другим способом) в качестве основы для доказательства формулы Эйлера.

Прочие доказательства

Альтернативные доказательства теоремы Пика, не использующие формулу Эйлера, включают следующее.

• Можно рекурсивно разложить данный многоугольник на треугольники, позволяя некоторым треугольникам подразделения иметь площадь больше 1/2. И площадь, и количество точек, используемые в формуле Пика, складываются таким же образом, как и друг друга, поэтому истинность формулы Пика для общих многоугольников следует из ее истинности для треугольников. Любой треугольник подразделяет свой ограничивающий прямоугольник на сам треугольник и дополнительные прямоугольные треугольники , а площади ограничивающего прямоугольника и прямоугольных треугольников легко вычислить. Объединение этих вычислений площади дает формулу Пика для треугольников, а объединение треугольников дает формулу Пика для произвольных многоугольников.
• Диаграмма Вороного из сетки целочисленный подразделяет плоскости на квадраты, по центру вокруг каждой точки сетки. Можно вычислить площадь любого многоугольника как сумму его площадей в каждой ячейке этой диаграммы. Для каждой внутренней точки сетки многоугольника вся ячейка Вороного покрывается многоугольником. Точки сетки на краю многоугольника покрывают половину своей ячейки Вороного. Ячейки Вороного угловых точек покрываются суммами, разность которых составляет от общей половины квадрата (с использованием аргумента, основанного на числе поворота ) до поправочного члена в формуле Пика.${\ displaystyle -1}$
• В качестве альтернативы, вместо использования квадратов сетки, центрированных по точкам сетки, можно использовать квадраты сетки, вершины которых находятся в точках сетки. Эти квадраты сетки разрезают данный многоугольник на части, которые можно преобразовать (сопоставив пары квадратов вдоль каждого края многоугольника) в полимино с той же площадью.
• Пика теорема может быть доказана на основе комплексной интеграции в виде двоякопериодической функции , связанные с эллиптическими функциями Вейерштрасса .
• Применение формулы суммирования Пуассона к характеристической функции многоугольника приводит к другому доказательству.

Теорема Пика была включена в веб-список «100 лучших математических теорем», датируемый 1999 годом, который позже стал использоваться Фриком Видейком в качестве эталона для проверки возможностей различных помощников по доказательству . По состоянию на 2021 год доказательство теоремы Пика было формализовано только в одном из десяти помощников по доказательству, записанных Видейком.

Обобщения

Возможны обобщения теоремы Пика на непростые многоугольники, но они более сложные и требуют больше информации, чем просто количество внутренних и граничных вершин. Например, многоугольник с отверстиями, ограниченными простыми целочисленными многоугольниками, не пересекающимися друг с другом и с границей, имеет площадь ${\ displaystyle h}$

Также возможно обобщить теорему Пика на области, ограниченные более сложными плоскими прямолинейными графами с целочисленными координатами вершин, используя дополнительные термины, определенные с использованием эйлеровой характеристики области и ее границы, или на многоугольники с одним граничным многоугольником, который может пересекать сам, используя формулу, включающую число витков многоугольника вокруг каждой целой точки, а также его общее число витков.

Тетраэдры Рив в трех измерениях имеют четыре целых точек как вершины и не содержат другие целые точек. Однако не все они имеют одинаковую громкость. Следовательно, не может быть аналога теоремы Пика в трех измерениях, который выражает объем многогранника как функцию только количества его внутренних и граничных точек. Однако вместо этого эти объемы можно выразить с помощью полиномов Эрхарта .

похожие темы

В некоторых других разделах математики площади регионов соотносятся с количеством точек сетки. Среди них теорема Блихфельдта утверждает, что любую форму можно преобразовать, чтобы она содержала по крайней мере ее площадь в точках сетки. Проблема круга Гаусса касается ограничения ошибки между площадями и количеством точек сетки в кругах. Проблема подсчета целых точек в выпуклых многогранниках возникает в нескольких областях математики и информатики. В областях применения точечный планиметр представляет собой основанное на прозрачности устройство для оценки площади формы путем подсчета точек сетки, которые она содержит. Последовательность Фарея - это упорядоченная последовательность рациональных чисел с ограниченными знаменателями, анализ которой основан на теореме Пика.

Еще один простой метод расчета площади многоугольника - это формула шнурка . Он дает площадь любого простого многоугольника как сумму членов, вычисленных из координат последовательных пар вершин многоугольника. В отличие от теоремы Пика, она не требует, чтобы вершины имели целочисленные координаты.

Рекомендации

Внешние ссылки

• Пика теоремы по Ed Пегг, младший , в Wolfram Demonstrations проект .
• Пи с использованием теоремы Пика Марка Даббса, GeoGebra