Фотонная сфера - Photon sphere

Радиоизлучение аккреционного диска, окружающего сверхмассивную черную дыру M87 * (снято в 2017 г., вычислено в 2019 г. ), полученное телескопом Event Horizon . Фотонная сфера находится внутри темной тени (радиус которой в 2,6 раза больше радиуса Шварцшильда).

Фотон сфера или фотонный круг представляет собой область или область пространства , где гравитация настолько сильна , что фотоны вынуждены путешествовать по орбитам. (Иногда его называют орбитой последнего фотона .) Радиус фотонной сферы, который также является нижней границей для любой стабильной орбиты, для черной дыры Шварцшильда равен :

${\ displaystyle r = {\ frac {3GM} {c ^ {2}}} = {\ frac {3r _ {\ rm {s}}} {2}}}$

где G - гравитационная постоянная , M - масса черной дыры, c - скорость света в вакууме, а r _s - радиус Шварцшильда (радиус горизонта событий ) - вывод этого результата см. ниже.

Из этого уравнения следует, что фотонные сферы могут существовать только в пространстве, окружающем чрезвычайно компактный объект ( черная дыра или, возможно, «ультракомпактная» нейтронная звезда ).

Фотонная сфера расположена дальше от центра черной дыры, чем горизонт событий. Внутри фотонной сферы можно представить фотон, который испускается из затылка, вращается вокруг черной дыры, только затем, чтобы быть перехваченным глазами человека, позволяя видеть затылок. Для невращающихся черных дыр фотонная сфера представляет собой сферу радиуса 3/2 r _s . Не существует стабильных орбит свободного падения, которые существуют внутри или пересекают фотонную сферу. Любая орбита свободного падения, пересекающая ее извне, по спирали попадает в черную дыру. Любая орбита, пересекающая его изнутри, ускользает в бесконечность или падает обратно и уходит по спирали в черную дыру. Никакая неускоренная орбита с большой полуосью меньше этого расстояния невозможна, но внутри фотонной сферы постоянное ускорение позволит космическому кораблю или зонду парить над горизонтом событий.

Еще одно свойство фотонной сферы - это обращение центробежной силы (примечание: не центростремительное ). Вне фотонной сферы, чем быстрее человек движется по орбите, тем большую внешнюю силу он ощущает. Центробежная сила падает до нуля на фотонной сфере, включая орбиты без свободного падения при любой скорости, т.е. вы весите одинаково независимо от того, как быстро вы вращаетесь, и становится отрицательной внутри нее. Внутри фотонной сферы, чем быстрее вы вращаетесь, тем больше ощущаемый вами вес или внутренняя сила. Это имеет серьезные последствия для гидродинамики входящего потока жидкости.

Вращающаяся черная дыра имеет два фотон сферы. Когда черная дыра вращается, она увлекает за собой пространство. Фотонная сфера, которая находится ближе к черной дыре, движется в том же направлении, что и вращение, тогда как более удаленная фотонная сфера движется против нее. Чем больше угловая скорость вращения черной дыры, тем больше расстояние между двумя фотонными сферами. Поскольку у черной дыры есть ось вращения, это справедливо только при приближении к черной дыре в направлении экватора. Если приблизиться под другим углом, например, от полюсов черной дыры к экватору, будет только одна фотонная сфера. Это связано с тем, что при приближении под этим углом не существует возможности движения с вращением или против него.

Вывод для черной дыры Шварцшильда

Поскольку черная дыра Шварцшильда обладает сферической симметрией, все возможные оси круговой фотонной орбиты эквивалентны, и все круговые орбиты имеют одинаковый радиус.

Этот вывод включает использование метрики Шварцшильда , определяемой следующим образом:

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - \ left (1- {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} ({\ textrm {sin}} ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2} + d \ theta ^ {2})}$

Для фотона , перемещающегося с радиусом г постоянной (т.е. в Ф-координату направлении), . Поскольку это фотон («светоподобный промежуток»). Мы всегда можем повернуть систему координат так, чтобы она оставалась постоянной (т. Е. ). ${\ displaystyle dr = 0}$${\ displaystyle ds = 0}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d \ theta = 0}$${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$

Обнуляя ds, dr и dθ, мы имеем:

${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} = r ^ {2} {\ textrm {sin} } ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}$

Перестройка дает:

${\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {c} {r {\ textrm {sin}} \ theta}} {\ sqrt {1 - {\ frac {r _ {\ rm { s}}} {r}}}}}$

Для продолжения нам понадобится отношение . Чтобы найти его, воспользуемся радиальным геодезическим уравнением${\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} r} {d \ tau ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {r} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} = 0.}$

Не исчезающие коэффициенты связи:, где . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma _ {tt} ^ {r} = {\ frac {c ^ {2} BB ^ {\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {rr} ^ {r} = - { \ frac {B ^ {- 1} B ^ {\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {\ theta \ theta} ^ {r} = - rB, \; \ Gamma _ {\ phi \ phi } ^ {r} = - Br \ sin ^ {2} \ theta}$${\ displaystyle B ^ {\ prime} = {\ frac {dB} {dr}}, B = 1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}}}$

Мы рассматриваем фотонные радиальные геодезические с постоянным r и , следовательно, ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ frac {dr} {d \ tau}}, \; {\ frac {d ^ {2} r} {d \ tau ^ {2}}}, \; {\ frac {d \ theta} {d \ tau}} = 0}$.

Подставляя все это в радиальное уравнение геодезических (уравнение геодезических с радиальной координатой в качестве зависимой переменной), получаем

${\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ phi} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac {c ^ {2} r _ {\ rm {s}}} {2r ^ {3} \ sin ^ {2} \ theta}}}$

Сравнивая это с тем, что было получено ранее, мы имеем:

${\ displaystyle c {\ sqrt {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {2r}}} = c {\ sqrt {1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} }}}$

где мы вставили радианы (представьте, что центральная масса, вокруг которой вращается фотон, расположена в центре координатных осей. Затем, когда фотон движется вдоль координатной линии, чтобы масса была расположена непосредственно в центр орбиты фотона, у нас должны быть радианы). ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$

Следовательно, перестановка этого последнего выражения дает:

${\ Displaystyle г = {\ гидроразрыва {3} {2}} г _ {\ rm {s}}}$

что и является результатом, который мы намеревались доказать.

Фотон вращается вокруг черной дыры Керра

Вид сбоку (l) и сверху шест (r). Вращающаяся черная дыра имеет 9 радиусов, между которыми свет может вращаться с постоянной r-координатой. На этой анимации показаны все орбиты фотонов для a = M.

В отличие от черной дыры Шварцшильда, черная дыра Керра (вращающаяся) не имеет сферической симметрии, а имеет только ось симметрии, которая имеет глубокие последствия для фотонных орбит, см., Например, Крамер для деталей и моделирования фотонных орбит и фотонных кругов. . Круговая орбита может существовать только в экваториальной плоскости, и их две (прямая и ретроградная) с разными -радиусами Бойера – Линдквиста ,

${\ textstyle r _ {\ pm} ^ {\ circ} = r _ {\ rm {s}} \ \ left [1+ \ cos \ left ({\ frac {2} {3}} \ arccos \ left ({\ гидроразрыв {\ pm | a |} {M}} \ right) \ right) \ right],}$

где - угловой момент на единицу массы черной дыры. Существуют и другие орбиты с постоянным координатным радиусом, но у них есть более сложные траектории, которые колеблются по широте вокруг экватора. ${\ displaystyle a = J / M}$

использованная литература

внешние ссылки

• Шаг за шагом в черную дыру
• Виртуальные путешествия к черным дырам и нейтронным звездам
• Путеводитель по черным дырам
• Сферический фотон вращается вокруг черной дыры Керра