Параллелограмм - Parallelogram

Параллелограмм
Параллелограмм
	Этот параллелограмм ромбовидный, так как у него нет прямых углов и неравных сторон.
Тип	четырехугольник , трапеция
Ребра и вершины	4
Группа симметрии	С 2 , [2] + ,
Площадь	b × h (основание × высота); ; ab sin θ (произведение смежных сторон и определяемый ими синус угла при вершине)
Характеристики	выпуклый

В евклидовой геометрии , A параллелограмм является простой (не самопересекающийся ) четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Противоположные или обращенные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину, а противоположные углы параллелограмма равны. Конгруэнтность противоположных сторон и противоположных углов является прямым следствием евклидова постулата и ни одно из условий могут быть доказаны , не обращаясь к евклидовому постулату или одной из ее эквивалентных формулировок.

Для сравнения: четырехугольник с одной парой параллельных сторон - это трапеция в американском английском или трапеция в британском английском.

Трехмерный аналог параллелограмма - параллелепипед .

Этимология (по-гречески παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon , форма «параллельных линий») отражает определение.

Особые случаи

Ромбовидный - четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны, а смежные стороны не равны, а углы не являются прямыми углами.
Прямоугольник - параллелограмм с четырьмя равными углами (прямыми углами).
Ромб - параллелограмм с четырьмя сторонами равной длины.
Квадрат - параллелограмм с четырьмя сторонами равной длины и равными углами (прямыми углами).

Характеристики

Простой (не самопересекающийся) Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда , когда любое одно из следующих утверждений:

Две пары противоположных сторон параллельны (по определению).
Две пары противоположных сторон равны по длине.
Две пары противоположных углов равны по меру.
Эти диагонали делят пополам друг с другом.
Одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине.
Смежные углы являются дополнительными .
Каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника .
Сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. (Это закон параллелограмма .)
Он имеет вращательную симметрию 2-го порядка.
Сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон не зависит от местоположения точки. (Это расширение теоремы Вивиани .)
В плоскости четырехугольника есть точка X , каждая прямая, проходящая через X, делит четырехугольник на две области равной площади.

Таким образом, все параллелограммы обладают всеми перечисленными выше свойствами, и наоборот , если хотя бы одно из этих утверждений верно в простом четырехугольнике, то это параллелограмм.

Прочие свойства

Противоположные стороны параллелограмма параллельны (по определению) и поэтому никогда не пересекаются.
Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, образованного одной из его диагоналей.
Площадь параллелограмма также равна величине векторного произведения двух смежных сторон.
Любая линия, проходящая через середину параллелограмма, делит область пополам.
Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм.
Параллелограмм имеет симметрию вращения 2-го порядка (до 180 °) (или 4-го порядка, если квадрат). Если он также имеет ровно две линии отражательной симметрии, тогда это должен быть ромб или продолговатый (неквадратный прямоугольник). Если он имеет четыре линии отражательной симметрии, это квадрат .
Периметр параллелограмма равен 2 ( a + b ), где a и b - длины смежных сторон.
В отличие от любого другого выпуклого многоугольника, параллелограмм нельзя вписать ни в один треугольник, площадь которого меньше удвоенной.
Центры четырех квадратов, построенных внутри или снаружи на сторонах параллелограмма, являются вершинами квадрата.
Если две прямые, параллельные сторонам параллелограмма, построены параллельно диагонали, то параллелограммы, образованные на противоположных сторонах этой диагонали, будут равны по площади.
Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Формула площади

Схема, показывающая, как параллелограмм можно преобразовать в форму прямоугольника.

Параллелограмм можно переформатировать в прямоугольник с такой же площадью.

Анимация по формуле площади .

{\ displaystyle K = bh}

Все формулы площади для общих выпуклых четырехугольников применимы к параллелограммам. Дальнейшие формулы относятся к параллелограммам:

Параллелограмм с основанием b и высотой h можно разделить на трапецию и прямоугольный треугольник и преобразовать в прямоугольник , как показано на рисунке слева. Это означает, что площадь параллелограмма такая же, как у прямоугольника с тем же основанием и высотой:

{\ displaystyle K = bh.}

Площадь параллелограмма - это область синей области, которая является внутренней частью параллелограмма.

Формулу площади основания × высоты также можно получить, используя рисунок справа. Площадь K параллелограмма справа (синяя область) - это общая площадь прямоугольника за вычетом площади двух оранжевых треугольников. Площадь прямоугольника

{\ Displaystyle К _ {\ текст {rect}} = (В + А) \ раз Н \,}

а площадь одного оранжевого треугольника равна

{\ displaystyle K _ {\ text {tri}} = {\ frac {A} {2}} \ times H. \,}

Следовательно, площадь параллелограмма равна

{\ displaystyle K = K _ {\ text {rect}} - 2 \ times K _ {\ text {tri}} = ((B + A) \ times H) - (A \ times H) = B \ times H.}

Другая формула площади для двух сторон B и C и угла θ:

{\ Displaystyle К = В \ CDOT С \ CDOT \ грех \ тета. \,}

Площадь параллелограмма со сторонами B и C ( B ≠ C ) и углом на пересечении диагоналей определяется выражением ${\ displaystyle \ gamma}$

{\ displaystyle K = {\ frac {| \ tan \ gamma |} {2}} \ cdot \ left | B ^ {2} -C ^ {2} \ right |.}

Когда параллелограмм определяется из длин B и C двух смежных сторон вместе с длиной D ₁ любой диагонали, тогда площадь может быть найдена по формуле Герона . Конкретно это

{\ Displaystyle К = 2 {\ sqrt {S (SB) (SC) (S-D_ {1})}}}

где главный множитель 2 обусловлен тем, что выбранная диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. ${\ Displaystyle S = (В + С + D_ {1}) / 2}$

Площадь в декартовых координатах вершин

Пусть векторы и пусть обозначают матрицу с элементами a и b . Тогда площадь параллелограмма, образованного элементами a и b , равна . ${\ displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b} \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle V = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} \\ b_ {1} & b_ {2} \ end {bmatrix}} \ in \ mathbb {R} ^ {2 \ times 2}}$ ${\ displaystyle | \ det (V) | = | a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} | \,}$

Пусть векторы и пусть . Тогда площадь параллелограмма, образованного элементами a и b , равна . ${\ displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle V = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & \ dots & a_ {n} \\ b_ {1} & b_ {2} & \ dots & b_ {n} \ end {bmatrix}} \ в \ mathbb {R} ^ {2 \ times n}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ det (VV ^ {\ mathrm {T}})}}}$

Пусть очки . Тогда площадь параллелограмма с вершинами в точках a , b и c эквивалентна абсолютному значению определителя матрицы, построенной с использованием a , b и c в виде строк с последним столбцом, заполненным следующими значениями: ${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$

{\ displaystyle K = \ left | \ det {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & 1 \\ b_ {1} & b_ {2} & 1 \\ c_ {1} & c_ {2} & 1 \ end { bmatrix}} \ right |.}

Доказательство того, что диагонали делят друг друга пополам

Чтобы доказать, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, воспользуемся конгруэнтными треугольниками :

{\ Displaystyle \ угол ABE \ конг \ угол CDE}

(чередующиеся внутренние углы равны по мере)

{\ displaystyle \ angle BAE \ cong \ angle DCE}

(чередующиеся внутренние углы равны по мере) .

(поскольку это углы, которые образует трансверсаль с параллельными линиями AB и DC ).

Кроме того, сторона AB равна длине стороны DC , так как противоположные стороны параллелограмма равны по длине.

Следовательно, треугольники ABE и CDE равны (постулат ASA, два соответствующих угла и включенная сторона ).

Следовательно,

{\ displaystyle AE = CE}

{\ displaystyle BE = DE.}

Поскольку диагонали AC и BD делят друг друга на отрезки равной длины, диагонали делят друг друга пополам.

По отдельности, поскольку диагонали AC и BD делят друг друга пополам в точке E , точка E является средней точкой каждой диагонали.

Решетка параллелограммов

Параллелограммы могут размещать плоскость путем перевода. Если края равны или углы прямые, симметрия решетки выше. Они представляют четыре решетки Браве в двух измерениях .

Решетки
Форма	Квадрат	Прямоугольник	Ромб	Параллелограмм
Система	Квадратный (четырехугольный)	Прямоугольный (ромбический)	Центрированный прямоугольный (ромбический)	Косой (моноклинный)
Ограничения	α = 90 °, а = Ь	α = 90 °	а = б	Никто
Симметрия	p4m, [4,4], порядок 8 n	pmm, [∞, 2, ∞], порядок 4 n		p1, [∞ ⁺ , 2, ∞ ⁺ ], порядок 2 n
Форма

Параллелограммы, возникающие из других фигур

Доказательство без слов теоремы Вариньона :

Произвольный четырехугольник и его диагонали.
Основания подобных треугольников параллельны синей диагонали.
То же самое и с красной диагональю.
Пары оснований образуют параллелограмм с половиной площади четырехугольника, A _q , как сумма площадей четырех больших треугольников, A _l равно 2 A _q (каждая из двух пар восстанавливает четырехугольник), а площадь маленького треугольников, A _s составляет четверть A _l (половина линейных размеров дает четверть площади), а площадь параллелограмма равна A _q минус A _s .

Автомедианный треугольник

Automedian треугольник является одним которого медиана в тех же пропорциях, что и его сторон (хотя и в другом порядке). Если ABC - автомедианный треугольник, в котором вершина A стоит напротив стороны a , G - центр тяжести (где три медианы ABC пересекаются), а AL - одна из расширенных медиан ABC с L, лежащим на описанной окружности ABC , то BGCL - параллелограмм.

Вариньонный параллелограмм

В серединах сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, называется его Varignon параллелограмм. Если четырехугольник выпуклый или вогнутый (то есть не самопересекающийся), то площадь параллелограмма Вариньона составляет половину площади четырехугольника.

Касательный параллелограмм эллипса

Для эллипса два диаметра называются сопряженными тогда и только тогда, когда касательная линия к эллипсу в конечной точке одного диаметра параллельна другому диаметру. Каждая пара сопряженных диаметров эллипса имеет соответствующий касательный параллелограмм , иногда называемый ограничивающим параллелограммом, образованный касательными линиями к эллипсу в четырех конечных точках сопряженных диаметров. Все касательные параллелограммы данного эллипса имеют одинаковую площадь.

Можно восстановить эллипс из любой пары сопряженных диаметров или из любого касательного параллелограмма.

Грани параллелепипеда

Параллелепипед является трехмерной фигурой, шесть граней параллелограммы.

Languages

In other projects