Группа внешних автоморфизмов - Outer automorphism group

В математике , то внешний автоморфизм группы из группы , $G$ , является фактор , $Aut (G) / Inn (G)$ , где $Aut (G)$ является группой автоморфизмов из $G$ и $Inn (G$ ) является подгруппа , состоящая из внутренних автоморфизмов . Группа внешних автоморфизмов обычно обозначается $Out (G)$ . Если $Out (G)$ тривиален и $G$ имеет тривиальный центр , то $G$ называется полной .

Автоморфизм группы, не являющейся внутренней, называется внешним автоморфизмом . Тогда смежные классы $Inn (G)$ по внешним автоморфизмам являются элементами $Out (G)$ ; это пример того факта, что факторы групп, вообще говоря, не являются (изоморфны) подгруппам. Если группа внутренних автоморфизмов тривиальна (когда группа абелева), группа автоморфизмов и группа внешних автоморфизмов естественно отождествляются; то есть группа внешних автоморфизмов действительно действует на группу.

Например, для знакопеременной группы , $п$ , внешний автоморфизм группы, как правило , группа 2 - го порядка, с исключениями , указанными ниже. Рассматривая $А$ $п$ как подгруппа симметрической группы , $S$ $п$ , конъюгации с помощью любого нечетного перестановки является внешним автоморфизмом $А$ $н$ а точнее «представляет класс (нетривиального) внешнего автоморфизм $А$ $п$ », но внешнее автоморфизм не соответствует сопряжению каким-либо конкретным нечетным элементом, и все сопряжения нечетными элементами эквивалентны с точностью до сопряжения четным элементом.

Структура

Гипотеза Шрайера утверждает, что $Out (G)$ всегда является разрешимой группой, когда $G$ конечная простая группа . Теперь известно, что этот результат является истинным как следствие классификации конечных простых групп , хотя более простого доказательства не известно.

Как двойник центра

Группа внешних автоморфизмов двойственна центру в следующем смысле: сопряжение элементом группы $G$ является автоморфизмом, дающим отображение $σ : G \to Aut (G)$ . Ядро карты сопряжения является центром, в то время как Коядро является внешней группой автоморфизмов (и изображение является внутренний автоморфизм группы). Это можно резюмировать точной последовательностью :

Z (G) ↪ G σ \to Aut (G) ↠ Out (G)

.

Приложения

Группа внешних автоморфизмов группы действует на классы сопряженности и, соответственно, на таблицу характеров . См. Подробности в таблице символов: внешние автоморфизмы .

Топология поверхностей

Внешний автоморфизм группы имеет важное значение в топологии из поверхностей , так как существует связь обеспечивается теоремой Дена-Nielsen : расширенная группа классов отображений поверхности является внешней группой автоморфизмов ее фундаментальной группы .

В конечных группах

Для групп внешних автоморфизмов всех конечных простых групп см. Список конечных простых групп . Спорадические простые группы и знакопеременные группы (кроме знакопеременной группы $A 6$ ; см. Ниже) все имеют группы внешних автоморфизмов порядка 1 или 2. Группа внешних автоморфизмов конечной простой группы лиева типа является расширением группы " диагональных автоморфизмов »(циклических, кроме $D n (q)$ , когда он имеет порядок 4), группы« полевых автоморфизмов »(всегда циклических) и группы« графовых автоморфизмов »(порядка 1 или 2, кроме $D 4 (q)$ , когда это симметрическая группа по 3 точкам). Эти расширения не всегда являются полупрямыми продуктами , как показывает случай переменной группы $A 6$ ; точный критерий того, что это произошло, был дан в 2003 году.

Группа	Параметр	$Выход (G)$	$\| Вых (G) \|$
$Z$		$C 2$	$2$ : тождество и внешний автоморфизм $x \mapsto - x$
$C n$	$п > 2$	$(ℤ / n ℤ) \times$	$φ (n) =$ ; один, соответствующий умножению на обратимый элемент вкольце $ℤ /$ $n$ $ℤ$ . ${\ displaystyle n \ prod _ {p \| n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right)}$
$Z p n$	$p$ простое, $n > 1$	$GL n (p)$	$(p n - 1) (p n - p) (p n - p 2) ... (p n - p n -1)$
$S n$	$п \neq 6$	$C 1$	$1$
$S 6$		$C 2$ (см. Ниже)	$2$
$А п$	$п \neq 6$	$C 2$	$2$
$А 6$		$C 2 \times C 2$ (см. Ниже)	$4$
$PSL 2 (п)$	$p > 3$ простое число	$C 2$	$2$
$PSL 2 (2 н.)$	$п > 1$	$C n$	$п$
$PSL 3 (4) = M 21$		$Dih 6$	$12$
$M n$	$n \in {11, 23, 24}$	$C 1$	$1$
$M n$	$n \in {12, 22}$	$C 2$	$2$
$Co n$	$n \in {1, 2, 3}$	$C 1$	$1$

В симметричных и чередующихся группах

Группа внешних автоморфизмов конечной простой группы в некотором бесконечном семействе конечных простых групп почти всегда может быть задана равномерной формулой, которая работает для всех элементов семейства. Есть только одно исключение из этого: альтернирующая группа $A 6$ имеет группу внешних автоморфизмов порядка 4, а не 2, как и другие простые альтернирующие группы (заданные сопряжением нечетной перестановкой ). Эквивалентно симметрическая группа $S 6$ - единственная симметрическая группа с нетривиальной группой внешних автоморфизмов.

{\ displaystyle {\ begin {align} n \ neq 6: \ operatorname {Out} (\ mathrm {S} _ {n}) & = \ mathrm {C} _ {1} \\ n \ geq 3, \ n \ neq 6: \ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {n}) & = \ mathrm {C} _ {2} \\\ operatorname {Out} (\ mathrm {S} _ {6}) & = \ mathrm {C} _ {2} \\\ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {6}) & = \ mathrm {C} _ {2} \ times \ mathrm {C} _ {2} \ конец {выровнено}}}

Заметим, что в случае $G = A 6 = PSL (2, 9)$ последовательность $1 ⟶ G ⟶ Aut (G) ⟶ Out (G) ⟶ 1$ не разбивается. Аналогичный результат верен для любого $PSL (2, q 2)$ , $q$ нечетное.

В редуктивных алгебраических группах

Симметрий диаграммы Дынкина ,

D 4

, соответствует внешним автоморфизмам

Spin (8)

в триальности.

Пусть теперь $G$ - связная редуктивная группа над алгебраически замкнутым полем . Тогда любые две борелевские подгруппы сопряжены внутренним автоморфизмом, поэтому для изучения внешних автоморфизмов достаточно рассмотреть автоморфизмы, фиксирующие данную борелевскую подгруппу. С подгруппой Бореля связан набор простых корней , и внешний автоморфизм может переставлять их, сохраняя при этом структуру связанной диаграммы Дынкина . Таким образом, можно отождествить группу автоморфизмов диаграммы Дынкина группы $G$ с подгруппой $Out (G)$ .

$D 4$ имеет очень симметричную диаграмму Дынкина, которая дает большую группу внешних автоморфизмов $Spin (8)$ , а именно $Out (Spin (8)) = S 3$ ; это называется тройственностью .

В сложных и вещественных простых алгебрах Ли

Предшествующая интерпретация внешних автоморфизмов как симметрия диаграммы Дынкина следует из общего факта, что для комплексной или вещественной простой алгебры Ли, $𝔤$ , группа автоморфизмов $Aut (𝔤)$ является полупрямым произведением из $Inn (𝔤)$ и $выход (𝔤)$ ; т.е. короткая точная последовательность

1 ⟶ Inn (𝔤) ⟶ Aut (𝔤) ⟶ Out (𝔤) ⟶ 1

раскалывается. В сложном простом случае это классический результат, тогда как для реальных простых алгебр Ли этот факт был доказан совсем недавно, в 2010 году.

Игра слов

Термин внешний автоморфизм поддается игре слов : термин внешний морфизм иногда используется для обозначения внешнего автоморфизма , а конкретная геометрия, на которой действует $Out (F n),$ называется внешним пространством .

Смотрите также

внешняя ссылка

ATLAS представлений конечных групп-V3 , содержит много информации о различных классах конечных групп (в частности, спорадических простых группах), включая порядок $Out (G)$ для каждой перечисленной группы.

Languages

In other projects